Patrones y Expresiones

En esta sección aprenderás cómo escribir y calcular ecuaciones algebraicas para resolver problemas de la vida diaria.

Si supieras que el Club de apoyo vendió 855 platos de espaguetis y recolecto U$6840, ¿cómo podrías escribir una ecuación para encontrar el valor de cada plato de espaguetis? Una vez que completes esta sección, aprenderás a escribir ecuaciones como esta.

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CK-12 Foundation: 0106S Write an Equation ]

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Orientación

En matemáticas, especialmente en álgebra, buscamos patrones en los números que observamos. Las herramientas del álgebra nos ayudan a describir estos patrones con palabras y ecuaciones (fórmulas o funciones). Una ecuación es una receta matemática que nos da el valor de una variante en relación con otra.

Por ejemplo, si la admisión a un parque temático cuesta U$12, entonces el número de personas que asiste a este cada día y la cantidad de dinero que recauda la boletería están relacionados matemáticamente, por lo que podemos escribir una regla para encontrar la cantidad de dinero recolectada por la boletería.

En otras palabras, podemos decir que: "la cantidad de dinero recaudado es igual a doce veces el número de personas que asistió al parque".

También podríamos crear una tabla de valores. La siguiente tabla relaciona el número de personas que asistió y el total del dinero que recaudo la boletería.

$& \text{Number of visitors} \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \qquad 7\\\& \text{Money taken in} \ (\$) \quad \ \ 12 \quad \ \ 24 \quad \ 36 \quad \ 48 \quad \ \ 60 \quad \ 72 \quad \ \ 84$

¡Claramente necesitaríamos de una tabla enorme para reflejar lo que es un día atareado en el parque en la época de vacaciones escolares!

Una tercera manera de relacionar las dos cantidades (visitantes y dinero recaudado) es escribiendo un gráfico. Si determinamos que el eje vertical representará el dinero recaudado y el eje horizontal , el número de visitantes, tendremos un gráfico similar al que aparece a continuación. Nota que gráfico muestra una línea delgada que incluye valores de numéricos decimales de $x$ (por ejemplo, $x = 2.5$ ). En la vida real, esto no tiene sentido, ya que una cantidad fraccionaria de personas no puede visitar un parque. Este es un tema referente al dominio y al rango, algo de lo cual hablaremos más adelante

El método que revisaremos en detalle en esta lección se parece a la primera forma que mostramos para describir la relación. "La cantidad de dinero recaudado es igual a doce veces el número de personas que asistió al parque" En términos matemáticos, podemos describir esta relación con variables . Una variable es una letra utilizada para representar un valor desconocido. Podemos ver el principio de una fórmula matemática en las palabras:

La cantidad de dinero recaudado es igual a doce veces el número de personas que asistió al parque.

Esto se puede traducir como:

$\text{the amount of money taken in} = 12 \times (\text{the number of people who enter the park})$

Ahora podemos saber qué cantidades debemos asignarle a cada letra . Primero, debemos establecer que letras (o variables ) se relacionarán con determinadas variables. Llamamos a esto definir las variables: :

$x =$ el número de personas que visitaron el parque.

$y =$ la cantidad total de dinero que recaudo la boletería.

Ahora tenemos una cuarta manera de describir la relación: con una ecuación algebraica.

$y = 12x$

Escribir una ecuación matemática utilizando variables es muy provechoso. Puedes realizar todas las operaciones necesarias para resolver este problema sin tener que escribir las cantidades conocidas y desconocidas una y otra vez. Al finalizar el problema, solo deberás recordar que cantidades representan $x$ e $y$ .

Escribir una ecuación

Una ecuación es un término utilizado para describir una colección de números y variables relacionados a través de operadores matemáticos. Una ecuación algebraica tiene letras que representen cantidades reales. Por ejemplo, si queremos utilizar la ecuación algebraicas del ejemplo anterior para descubrir la cantidad de dinero recaudado de una cierta cantidad de visitantes, debemos sustituir la $x$ por ese número y luego la ecuación que resulte por $y$ .

Ejemplo A

La admisión a un parque temático cuesta U$12. Encuentra la cantidad de dinero recaudado si 1296 personas visitaron el parque.

Desmenucemos la solución de este problema por pasos. Esto es una estrategia útil para todos los problemas de esta lección.

Paso 1: Extrae la información importante.

$(\text{number of dollars taken in}) &= 12 \times (\text{number of visitors})\\\(\text{number of visitors}) & = 1296$

Paso 2: Tradúcela a una ecuación matemática. Para realizar esto, escogeremos variables que remplacen a los números.

$\text{Let} \ y & = \text{(number of dollars taken in)}.\\\\text{Let} \ x & = \text{(number of visitors)}.$

$(\text{number of dollars taken in}) &= 12 \times (\text{number of visitors})\\\y &= 12 \times x$

Paso 3: Sustituye todos las variables por sus valores conocidos.

$y &= 12 \times x\\\x & = 1296\\\& \therefore \\\y &= 12 \times 1296$

Paso 4: Resuelve la ecuación.

$y = 12 \times 1296 = 15552$

La cantidad de dinero recaudado es U$15.552.

Paso 5: Revisa el resultado.

Si se recaudan U$15.552 en boletería y la admisión cuesta U$12, entones podemos dividir la cantidad total de dinero recaudado por el precio de cada boleto que admisión.

$(\text{number of people}) = \frac{15552}{12} = 1296$

La cantidad de personas que visitaron el parque es 1296. La respuesta es correcta.

Ejemplo B

La siguiente tabla nos muestra la relación entre dos variables. Primero, escribimos una ecuación que describa la relación. Luego, encontrar el valor de $b$ cuando $a$ equivale a.

$& a \qquad 0 \qquad \ 10 \qquad 20 \qquad 30 \qquad 40 \ \ \qquad 50\\\& b \qquad 20 \qquad 40 \qquad 60 \qquad 80 \qquad 100 \qquad 120$

Paso 1: Extrae la información importante.

Desde la tabla, podemos ver que cada vez que $a$ aumenta por 10, $b$ lo hace por 20. Sin embargo, $b$ no es simplemente el doble del valor de $a$ . Podemos ver que cuando $a = 0, \ b = 20$ , y esto nos da una idea de que regla siguen los patrones. La regla que relaciona $a$ y $b$ es:

“Para encontrar $b$ , dobla el valor de $a$ y añade 20.”

Paso 2: Tradúcela a una ecuación matemática:

Texto	Traducción	Expresión matemática
“Para encontrar $b$ ”	$\rightarrow$	$b =$
“el doble del valor de $a$ ”	$\rightarrow$	$2a$
“añade 20”	$\rightarrow$	+ 20

Nuestra ecuación es $b = 2a + 20.$

Paso 3: Resuelve la ecuación.

El problema original pedía el valor de $b$ cuando $a$ equivale 750. Cuando $a$ equivale 750, $b = 2a + 20$ se vuelve $b = 2(750) + 20$ . Siguiendo el orden de las operaciones, obtenemos:

$b &= 2(750) + 20\\\&= 1500 + 20\\\&= 1520$

Paso 4: Comprueba el resultado.

En algunos casos, puedes comprobar el resultado al colocarlo en la ecuación original. Otras veces, simplemente deberás nuevamente el desarrollo del ejercicio. En cualquier caso, siempre es una buena idea comprobar tus respuestas. En este caso, podemos insertar nuestra respuesta $b$ en la ecuación, junto con el valor de $a$ , y vemos el resultado. $1520 = 2(750) + 20$ es CORRECTO, ya que ambos lados de la ecuación tienen el mismo valor. Ya que la solución satisface la ecuación significa que el resultado es correcto .

Resolver problemas utilizando ecuaciones

Resolvamos es siguiente problema de la vida real utilizándola información entregada para escribir ecuaciones matemática que nos den alguna solución.

Ejemplo C

Un grupo de estudiantes están en una sala. Luego que 25 estudiantes salieran de la sala, solo $\frac{2}{3}$ del grupo original queda en la sala. ¿Cuántos estudiantes había en un principio en la sala?

Paso 1: Extraer la información importante.

Sabemos que 25 estudiantes salieron de la sala.

Sabemos que $\frac{2}{3}$ del grupo original de estudiantes todavía está en la sala.

Debemos encontrar la cantidad de estudiantes que había en un principio.

Paso 2: Traduce la información a una ecuación matemática. Inicialmente tenemos un número desconocido de estudiantes en la sala. A este nos podemos referir como número original.

Definamos la variable $x =$ como el número original de estudiantes que estaba en la sala. Luego de que 25 estudiantes salieran de la sala el número de estudiantes que se quedaron es de $x - 25$ . También sabemos que el número de estudiantes que todavía está en la sala es $\frac{2}{3}$ de $x$ . Entonces, tenemos dos expresiones que nos enseñan el número de estudiantes que está en la sala tales expresiones son iguales, ya que representan al mismo número. Esto significa que nuestra ecuación es:

$\frac{2}{3} x = x - 25$

Paso 3: Resuelve la ecuación.

Suma 25 a cada lado.

$x - 25 &= \frac{2}{3}x\\\x - 25 + 25 &= \frac{2}{3}x + 25\\\x &= \frac{2}{3}x + 25$

Sustrae $\frac{2}{3}x$ de ambos lados.

$x - \frac{2}{3}x &= \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}x + 25\\\\frac{1}{3}x & = 25$

Multiplica ambos lados por 3.

$3 \cdot \frac{1}{3}x &= 3 \cdot 25\\\x &= 75$

Recuerda que $x$ representa el número original de estudiantes que estaban en la sala. Por lo que, en un principio, había 75 estudiantes.

Paso 4: Comprueba la respuesta:

Si comenzamos con 75 estudiantes en la sala y 25 de ellos salieron, entonces: $75 - 25 = 50$ estudiantes salieron de la sala.

$\frac{2}{3}$ del número original $\frac{2}{3} \cdot 75 = 50$ .

Esto significa que están en la sala es igual a $\frac{2}{3}$ del número original. La respuesta es correcta. .

Este método de definir variables y escribir una ecuación matemática es el método que usaras más a menudo en las clases de algebra. A menudo, este método se utiliza en conjunto con otras técnicas, como: crear tablas de valores, crear gráficos, dibujar un diagrama y buscar por patrones.

Escribe una ecuación verbal

En los ejemplos anteriores, teníamos una regla , escrita en palabras y de ella desarrollábamos una ecuación algebraica. En el siguiente ejemplo, escribiremos una ecuación verbal basándonos en una tabla y utilizando esta para escribir una ecuación algebraica.

Ejemplo D

La siguiente tabla nos muestra los valores de dos cantidades relacionadas. Escribe una ecuación que describa la relación matemática.

Valor de $x-$	Valor de $y-$
-2	10
0	0
2	-10
4	-20
6	-30

Paso 1: Extrae la información importante.

Podemos ver en la tabla que $y$ es cinco veces mayor que $x$ . El valor de $y$ es negativo cuando $x$ es positivo; y es positivo cuando $x$ es negativo. Esta es la regla que relaciona $x$ e $y$ :

“ $y$ es el negativo de 5 veces el valor de $x$ ”

Paso 2: Traduce el anunciado a una ecuación matemática.

Texto	Traduce	Expresión matemática
“ $y$ es”	$\rightarrow$	$y =$
“el negativo de 5 veces el valor de $x$ ”	$\rightarrow$	$-5x$

Nuestra ecuación es $y = -5x$ .

Paso 3: No hay nada que resolver en este problema. Pasemos al Paso 4.

Paso 4: Comprueba el resultado.

En este caso, la manera que podemos utilizar para comprobar nuestra respuesta es usar una ecuación para generar nuestros propios pares de $xy$ . Si estos coinciden con los valores en la tabla, entonces sabremos que nuestra ecuación es correcta. Ingresemos -2, 0, 2, 4, y 6 para que representen $x$ y resuelvan $y$ :

$x$	$y$
-2	$-5(-2) = 10$
0	$-5(0) = 0$
2	$-5(2) = -10$
4	$-5(4) = -20$
6	$-5(6) = -30$

Los valores de $y-$ en la tabla coinciden con los valores en la tabla anterior. La respuesta es correcta. .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Write an Equation

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Vocabulario

Orientación

Zarina tiene una “gift card” de U$100 y ha comenzado a gastar el dinero en pequeñas comprar regulares. Ella revisa el saldo semanalmente y lo anota en la siguiente tabla.

Número de la semana	Saldo (U$)
1	100
2	78
3	56
4	34

Escribe una ecuación que muestre el dinero que queda en la “gift card” en cualquier semana determinada.

Solución:

Paso 1: Extrae la información importante.

El saldo que queda en la tarjeta no es solo un múltiplo constante del número de semanas; 100 es 100 veces 1, pero 78 no es 100 veces 2. Aunque, de igual, forma existe un patrón: el saldo disminuye por 22 cada vez que el número de semanas aumenta en 1. Estos sugiere que el saldo está relacionado con la cantidad “ - 22 veces el número de semanas”.

De hecho, el saldo es equivalente a “ - 22 veces el número de semanas más algo .” Para determinar lo que algo es, podemos ver los valores de una de las filas de la tabla, por ejemplo: en la primera fila tenemos el saldo de U$100 perteneciente a la semana 1.

Paso 2: Traduce el anunciado a una ecuación matemática.

Primero, definamos nuestras variables. Entones $n$ representará el número de semanas y $b$ el balance.

Ahora, podemos traducir la expresión verbal como:

Texto	Traduce	Expresión matemática
El saldo es equivalente a - 22 veces el número de semanas más algo .	$\rightarrow$	$b = -22n + ?$

Para descubrir lo que “?” representa, debemos ingresar el valor de la primera fila de la tabla, donde $b = 100$ y $n = 1$ . Esto nos da $100 = -22(1) + ?$ .

Así que, ¿cuál número al restarle 22 resulta en 100? La respuesta es 122, entonces este número representa “?” ahora. Nuestra ecuación final es:

$b = -22n + 122$

Paso 3: Lo que se nos pidió fue que encontráramos la expresión. No nos pidieron resolverla, por lo que podemos pasar al Paso 4.

Paso 4: Comprueba la respuesta.

Para comprobar si la ecuación es correcta, veamos si podemos reproducir la información de la tabla. Para hacer esto debemos ingresar los valores de $n$ :

$& n = 1 \rightarrow b = -22(1) + 122 = 122 - 22 = 100\\\& n = 2 \rightarrow b = -22(2) + 122 = 122 - 44 = 78\\\& n = 3 \rightarrow b = -22(3) + 122 = 122 - 66 = 56\\\& n = 4 \rightarrow b = -22(4) + 122 = 122 - 88 = 34$

La ecuación reproduce perfectamente la información en la tabla. La respuesta es correcta. .

Practica

Día	Ganancias
1	20
2	40
3	60
4	80
5	100

Para los ejercicio del 1 al 3, utiliza la tabla anterior, la cual refleja la ganancia en dólares que tiene una tienda cada día.

Escribe una ecuación matemática que refleje la relación entre las variables en la tabla.
¿Cuál es la ganancia en el día 10?
Si la ganancia de cierto día es de $200, ¿cuál es la ganancia del próximo día?

Para los ejercicios del 4 al 6, escribe una ecuación matemática que describa cada una de las situaciones siguientes, asumiendo que el jarro de galletas tiene 24 galletas para empezar.

¿Cuántas galletas quedan en el jarro tras haberte comido algunas?
¿Cuántas galletas hay en el jarro tras comerte 9 galletas?
¿Cuántas galletas hay en el jarro tras comerte 9 galletas y, después, comerte 3 más?

Para los ejercicios del 7 al 12, escribe una ecuación matemática para las siguientes situaciones y resuelve.

Siete veces cierto número es 35. ¿Cuál es ese número?
Tres veces cierto número, más 15, es 24. ¿Cuál es el número?
Dos veces cierto número es tres veces menos que cinco veces otro número. Tres veces el segundo número es 15. ¿Cuáles son los números?
Un número es mayor por 25 que 2 veces otro número. Si cada número se multiplicara por cinco, su suma sería 350. ¿Cuáles son los números?
La suma de dos enteros consecutivos es 35. ¿Cuáles son los números?
Pedro tiene tres veces la edad que tenía hace seis años. ¿Cuántos años tiene Pedro?

Para los ejercicios del 13 al 16, Jae acaba de tomar un examen de matemáticas con 20 preguntas, todas con la misma cantidad de puntos. La prueba tiene 100 puntos en total.

Escribe una ecuación relacionando el número de preguntas que Jae contestó bien con el puntaje total que obtendrá en el examen.
Si un puntaje de 70 puntos equivale a la nota $C-$ , ¿cuantas preguntas debe acertar Jae para obtener un $C-$ en el examen?
Si un puntaje de 83 puntos equivale a la nota $B$ , ¿cuantas preguntas debe acertar Jae para obtener un $B$ en el examen?
Supongamos que Jae tiene un puntaje del 60% y se le permite retomar el examen. En el segundo examen, acierta todas las preguntas que había acertado la primera vez y, además, acierta la mitad de las preguntas en las que se había equivocado la primera vez. ¿Cuál es su nuevo puntaje?

Para los ejercicios del 17 al 21, resuelve el problema escribiendo una ecuación.

¿Cuánta agua debe añadirse a un litro de alcohol puro para hacer una mezcla de 25% de alcohol?
A una mezcla de 50% alcohol y 50% agua se le añade 4 litros de agua. Ahora tiene un 25% de alcohol. ¿Cuál fue el volumen total de la mezcla original?
En el cajón de cubiertos de Crystal, hay el doble de cucharas que de tenedores. Si Crystal añade nueve tenedores al cajón, habrá el doble de tenedores que de cucharas. ¿Cuántos tenedores y cuántas cucharas hay en el cajón ahora?
1. Mia conduce a casa de Javier a 40 kilómetros por hora. La casa de Javier está a 20 kilómetros de distancia. Mia llegó a la casa de Javier a las 2:00 pm. ¿A qué hora se fue?
2. Mia dejó la casa de Javier a las 6:00 pm para volver a casa. Esta vez, manejó un 25% más rápido. ¿A qué hora llegó a casa?
3. Al día siguiente, Mia tomó la autopista para ir a casa de Javier. Esta ruta tiene 24 kilómetros de largo, pero ella condujo a 60 kilómetros por hora. ¿Cuánto demoró el viaje?
4. Cuando Mia tomó la misma ruta de vuelta, el tráfico en la autopista era un 20% más lento. ¿Cuánto demoró el viaje de regreso?
El precio de un reproductor de MP3 disminuyó en un 20% este año en comparación al año pasado. Este año, el precio del reproductor es de U$120. ¿Cuánto costaba el año pasado?
SmartCo vende artefactos de lujo a U$60 cada uno, lo que incluye el costo de fabricación más un 20% extra en el precio. ¿Cuánto le cuesta a SmartCo fabricar cada artefacto?

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