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Comprobación de Soluciones de las Desigualdades

En esta sección aprenderás a comprobar si un número otorgado es una solución a una desigualdad.

Si te dieran la desigualdad como -3x^3 < -81 y te dijeran que una de sus soluciones es x > 3 ¿cómo podrías determinar si esa solución es correcta? Una vez que completes esta sección, serás capaz de comprobar las soluciones de desigualdades como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0109S Check Solutions to Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

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Para practicar más sobre la solución de desigualdades, visita http://www.aaastudy.com/equ725x7.htm .

Orientación

Para comprobar la solución de una desigualdad, debemos remplazar la variable de la desigualdad con el valor de la solución. Una solución de una desigualdad satisface el problema cuando en ingresa en la desigualdad.

Ejemplo A

Comprueba que el número entregado es una solución a la desigualdad: a = 10; \ 20a \le 250

Solución

Remplaza la variable en la desigualdad con el valor entregado.

20(10) & \le 250\\\200 & \le 250

La solución satisface a la desigualdad . Esto significa que a = 10 es una solución de 20a \le 250 .

Nótese que a = 10 no es la única solución de esta desigualdad. Si dividimos las dos partes de la desigualdad por 20, obtenemos a \le 12.5 . Esto significa que cualquier número igual o menor que 12,5 puede ser una solución a la desigualdad.

Ejemplo B

Comprueba que el número otorgado es la solución de la desigualdad: b = -0.5; \ \frac{3 - b}{b} > -4

Solución:

\frac{3 - (-0.5)}{(-0.5)} & > -4\\\\frac{3 + 0.5}{-0.5} & > -4\\\- \frac{3.5}{0.5} & > -4\\\-7 & > -4

La solución no satisface a la desigualdad. . Esto significa que b = - 0.5 o es una solución de la desigualdad \frac{3 - b}{b} > -4 .

Ejemplo C

Para organizar un picnic Peter necesita al menos el doble de hamburguesas que de hot dogs. Peter tiene 24 hot dogs. ¿Cuál es el número posible de hamburguesas que Peter tiene?

Solución:

Define

x = número de hamburguesas.

Traduce

Peter necesita al menos el doble de hamburguesas que de hot dogs. Peter tiene 24 hot dogs.

Esto significa que el doble de la cantidad de hot dogs es igual o menor que al número de hamburguesas.

2 \times 24 \le x, \ \text{or} \ 48 \le x

Respuesta

Peter necesita al menos 48 hamburguesas.

Comprueba

48 hamburguesas es el doble del número de hot dogs. Así que, 48 hamburguesas es más del doble del número de hot dogs. Pudimos comprobar la respuesta. .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Check Solutions to Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

  • Una solución de una desigualdad debe satisfacer a la misma al ser ingresada en el problema.

Práctica guiada

Comprueba que el número entregado es la solución de la desigualdad: x = \frac{3}{4}; \ 4x + 5 \le 8

Solución:

4 \left ( \frac{3}{4} \right ) + 5 & \ge 8\\\3 + 5 & \ge 8\\\8 & \ge 8

La solución satisface a la desigualdad . La satisface, ya que esta desigualdad incluye un signo igual y ya que 8 es igual a sí mismo, también es “igual o mayor” que sí mismo. Esto significa que x = \frac{3}{4} es una solución a 4x + 5 \le 8 .

Practica

Para los ejercicios del 1 al 4, comprueba si el número dado es una solución a su desigualdad correspondiente:

  1. x = 12; \ 2(x + 6) \le 8x
  2. z = -9; \ 1.4z + 5.2 > 0.4z
  3. y = 40; \ - \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} < -18
  4. t = 0.4; \ 80 \ge 10(3t + 2)
  5. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas. Te pueden pagar U$1.000 al mes más una comisión del 6% del total de las ventas que realices o te pueden pagar U$1.200 al mes más una comisión del 5% por el total de las ventas que realices que sean sobre los U$2.000. ¿Cuántas ventas deben realizarse para que la primera opción sea mejor que la segunda? Asumamos que todas las ventas son sobre U$2.000.

Para los ejercicios del 6 al 14, imagina que una compañía de teléfonos ofrece tres planes de mensajes de texto. El Plan A te deja enviar una cantidad ilimitada de mensajes por U$10 al mes; el Plan B te deja enviar 60 mensajes por U$5 al mes y te cobra U$0,05 por cada mensaje adicional; y el Plan C no tiene una cuota mensual, pero te cobra U$0,10 por mensaje.

  1. Si m es el número de mensajes que envías al mes, escribe una expresión por el costo mensual de cada plan.
  2. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan A sea más barato que el Plan B?
  3. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan A sea más barato que el Plan C?
  4. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan B sea más barato que el Plan C?
  5. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan A sea más barato que todos los otros planes? Pista: ¿Qué tan barato debe ser A para que sea más conveniente que B y C?
  6. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan B sea más barato que todos los otros planes? (Qué tan barato debe ser B para que sea más conveniente que A).
  7. ¿Cuántos mensajes debe representar m para que el Plan C sea más barato que todos los otros planes?
  8. Si envías 30 mensajes al mes, ¿cuál es el plan más barato?
  9. ¿Cuál es el valor de todos los planes si envías 30 mensajes al mes?
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