Dominio y Rango de una Función

En esta sección aprenderás a encontrar el dominio y el rango de una función y harás una tabla de valores para una función específica.

Si una regla que relaciona dos variables, como $f(x) = 5x^2 + 1$ ¿cómo podrías encontrar el dominio y el rango de la función definidos por esta regla? Una vez que completes esta sección, serás capaz de identificar el dominio y el rango de funciones como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0110S Introduction to Functions

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Para otra explicación sobre el dominio de una función, ve el siguiente video, en donde el narrador resuelve un problema sacado de la Prueba Normalizada de California sobre encontrar el dominio de una función inusual.

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Khan Academy: CA Algebra I: Functions

Orientación

Una función es una regla que relaciona dos o más variables. Por ejemplo, el dinero que le pagas a la compañía de teléfonos puede depender del número de minutos que hablar por teléfono. Podríamos decir que el dinero que le pagas a la compañía de teléfonos es una función del número de minutos que hablas por teléfono. Considera la siguiente situación.

Josué va a un parque de diversiones donde paga U$2 por subirse a cada juego.

Existe una relación entre el número de veces que Josué se sube a los juegos y el dinero total que gasta en el parque. Para averiguar la cantidad de dinero que gastó, debemos multiplicar el número de veces que se subió a los juegos por dos. Esta regla es un ejemplo de una función . Las funciones, a menudo, pero no siempre están basadas en operaciones matemáticas. Puedes imaginar que una función es una caja o una máquina que contiene una operación matemática.

Cualquier número que insertamos en la caja funciones cambia debido a las diferentes operaciones otorgadas y un número nuevo sale por el otro lado de la caja. Cuando ponemos diferentes números que representen las veces que Josué se subió a los juego obtenemos diferentes valores que representan el dinero que gastó.

El valor que insertamos (input) se denomina variable independiente ya que su valor puede representar cualquier número. El valor que obtenemos del otro lado de la caja (output) se denomina variable dependiente ya que su valor depende de valor que ingresamos en la variable independiente.

A menudo, las funciones contienen más de una operación matemática. A continuación, hay una situación que es un poco más complicada que el ejemplo anterior.

Jason va a un parque de diversiones donde paga U$8 por admisión más U$2 casa vez que se sube a cada juego.

La siguiente función representa la cantidad total de dinero que Jason gastó. La regla de esta función es: “multiplica el número de veces que se subió a los juegos por 2 más 8”

Cuando ponemos diferentes números que representen las veces que Jason se subió a los juego obtenemos diferentes valores que representan el dinero que gastó.

Estos diagramas de flujo son útiles para observar cómo es una función. Sin embargo, son difíciles de poner en práctica. En álgebra, la siguiente notación abreviada:

$& \quad \ input\\\& \quad \ \ \ \downarrow\\\& \quad \underbrace{f(x)}= y \leftarrow output\\\& \ function\\\& \quad \ \ box$

Primero, definimos la variable:

$x =$ el número de veces que Jason se subió a los juegos.

$y =$ la cantidad total de dinero que gastó Jason en el parque de diversiones.

Entonces, $x$ representa el número a ingresar e $y$ el resultado. La notación $f()$ representa la función o la operación matemática utilizada en el input para obtener el output. En el último ejemplo, el costo total es el doble de la cantidad de veces que Jason se subió a los juegos más 8. Al escribirla como una función, queda:

$f(x) = 2x + 8$

En álgebra, las notaciones $y$ las $f(x)$ son típicamente utilizadas intercambiablemente. Aunque, técnicamente, $f(x)$ representa la función en sí e $y$ representa el resultado (output) de la función.

Identifica el dominio y el rango de una función

En el último ejemplo, podemos ingresar el número de veces que se subió a juegos para obtener la cantidad total gastada en el parque de diversiones. El conjunto de valores que utilizamos en el input se denomina dominio de la función y el conjunto de valores que resulta en el output se denomina rango. En muchas situaciones, el dominio y el rango de una función simplemente son el conjunto de todos los números reales, aunque este no siempre es el caso. Veamos el ejemplo del parque de diversiones.

Ejemplo A

Encuentra el dominio y el rango que describan esta situación:

Jason va a un parque de diversiones donde paga U$8 por admisión más U$2 cada vez que se sube a un juego a cada juego.

Solución

Aquí podemos ver la función que describe la situación:

$f(x) = 2x + 8 = y$

En esta función, $x$ es el número de veces que se subió a los juegos e $y$ el dinero que gastó. Para encontrar el dominio de la función, necesitamos que número utilizaremos como input $(x)$ .

Los valores deben ser cero o algún número positivo, ya que Jason no puede haberse subido - 1 vez.
Los valores deben ser enteros, ya que Jason no puede haberse subido 2,25 veces.
Siendo realistas, debe haber un máximo de veces que Jason pudo haberse subido a los juegos, ya que pudo hacerse quedado sin dinero, el parque debe cerrar, etc. Sin embrago, ya que no nos dan ninguna información sobre la cantidad máxima de veces que se subió a los juegos, debemos considerar que todos los enteros positivos son valores posibles sin importan que tan grande sea el número.

Respuesta para esta función, el dominio es el conjunto de todos los enteros positivos.

Para encontrar el rango de la función debemos determinar cuál será el valor de $y$ cuando calculemos la función con el valor del input. El dominio es el conjunto de todos los números enteros positivos: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Luego, ingresamos los valores en la función para que estos remplacen a $x$ . Si ingresamos 0, obtenemos 8; si ingresamos 1, obtenemos 10; si ingresamos 2, obtenemos 11; y así sigue, siempre sumando 2 en el putput anterior. Por lo tanto, los valores posibles de $y$ son 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20... o en otras palabra todos los enteros pares iguales o mayores que 8.

Respuesta el rango de la función es el conjunto de todos los enteros pares iguales o mayores que 8.

Ejemplo B

Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones.

a) Un balón es lanzado desde una altura desconocida y rebota el 75% del total de dicha altura.

b) $y = x^2$

Solución

a) Definamos las variables:

$x =$ altura desde donde es lanzado

$y =$ altura que rebota

La función que describe esta situación es $y = f(x) = 0.75x$ . $x$ puede representar cualquier valor real mayor a cero, ya que podemos lanzar un balón desde cualquier altura mayor que cero. Al pensar un poco, podemos decir que $y$ también puede representar cualquier valor real mayor a cero.

Respuesta

El dominio es el conjunto de números reales mayores que cero. Así mismo, el rango es el conjunto de números reales mayores que cero.

b) Ya que la ecuación no está escrita en palabras, asumimos que podemos utilizar podemos números real que represente el valor de $x$ . Cuando multiplicamos el cuadrado de cualquier número real, siempre obtenemos como resultado un número positivo, por lo que $y$ puede ser cualquier número real positivo.

Respuesta

El dominio de la función son todos los números reales. El rango de la función son todos los números reales positivos.

En las funciones que hasta el momento hemos visto, se le denomina variable independiente a $x$ , ya que puede ser cualquier valor del dominio y se le denomina variable dependiente a $y$ , ya que su valor depende de la variable $x$ . Sin embrago, cualquier letra o símbolo puede utilizarse para representar las variables dependientes e independientes. Aquí podemos ver tres ejemplos diferentes:

$y &= f(x) = 3x\\\R &= f(w) = 3w\\\v &= f(t)= 3t$

Todas estas expresiones representan la misma función: una donde la variable independiente vale tres veces lo que vale la variable dependiente. Solamente los símbolos utilizados son diferentes. En la práctica, a menudo escogemos los símbolos de las variables dependientes e independientes basándonos en lo que representan en el mundo real: $t$ por tiempo, $d$ por distancia, $v$ etc. Sin embargo, si no representa nada en la vida real, o incluso si representa algo, tradicionalmente dictamos que la $x$ representa la variable dependiente y la $y$ representa la variable independiente.

Crea una tabla de valores para una función

Una tabla de valores es una herramienta bastante útil para ordenar la información representada por una función. Podemos ajustar los valores de input y output y ordenarlos en una tabla. Por ejemplo, se pueden ordenar los valores del Ejemplo 1 de la siguiente forma:

$& x \quad 0 \quad 1 \quad \ \ 2 \quad \ 3 \quad \ \ 4 \quad \ 5 \quad \ \ 6\\\& y \quad 8 \quad 10 \quad 12 \quad 14 \quad 16 \quad 18 \quad 20$

La tabla de valores nos permite ordenar la información de manera compacta. También nos permite ordenarla de modo que sea más fácil encontrarla y, además, nos da un conjunto de coordenadas para crear un gráfico de la función.

Ejemplo C

Creemos una tabla de valores para la función $f(x) = \frac{1}{x}$ . Utilicemos los siguientes valores como input: -1, -0.5, -0.2, -0.1, -0.01, 0.01, 0.1, 0.2, 0.5, 1.

Solución

Crea una tabla de valores rellenando la primera fila con los valores de input y la siguiente fila con los valores de output calculados utilizando la función otorgada.

$& x \qquad \qquad -1 \quad -0.5 \quad -0.2 \ \ -0.1 \ \ -0.01 \quad 0.01 \quad 0.1 \quad \ 0.2 \quad \ 0.5 \quad 1\\\& f(x) = \frac{1}{x} \quad \frac{1}{-1} \quad \frac{1}{-0.5} \quad \frac{1}{-0.2} \quad \frac{1}{-0.1} \quad \frac{1}{-0.01} \quad \frac{1}{0.01} \quad \frac{1}{0.1} \quad \frac{1}{0.2} \quad \frac{1}{0.5} \quad \frac{1}{1}\\\& y \qquad \qquad -1 \quad -2 \qquad -5 \quad -10 \quad \ -100 \quad 100 \quad \ 10 \qquad 5 \qquad 2 \quad \ \ 1$

Cuando te entregan una función, a menudo no te dirán los valores de input; por lo que tu tendrás que decidir qué valores escoger basándote en el tipo de función que te entregan. Más adelante discutiremos sobre cómo escoger valores de input.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Introduction to Functions

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Una función es una regla que relaciona dos o más variables (variables de input y output). El valor que insertamos (input) se denomina variable independiente ya que su valor puede representar cualquier número. El valor que obtenemos del otro lado de la caja (output) se denomina variable dependiente , ya que su valor depende de valor que ingresamos en la variable independiente. El conjunto de valores que utilizamos en el input se denomina dominio de la función y el conjunto de valores que resulta en el output se denomina rango .

Práctica guiada

Identifica el dominio y crea una tabla de valores para la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ . Utiliza los siguientes números como valores de input: 0.01, 0.16, 0.25, 1, 4.

Solución

Ya que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo, estos no pueden ser el dominio. Ya que no podemos tener un 0 en el denominador, este tampoco puede ser el dominio. Esto significa que es dominio son todos los números reales mayores que cero.

Crea una tabla de valores rellenando la primera fila con los valores de input y la siguiente fila con los valores de output calculados utilizando la función otorgada.

$& x \qquad \qquad 0.01 \quad 0.16 \quad \ 0.25 \quad \ 1 \quad 4\\\& f(x) = \frac{1}{x} \quad \frac{1}{\sqrt{0.01}} \quad \frac{1}{\sqrt{0.16}} \quad \frac{1}{\sqrt{0.25}} \quad \frac{1}{\sqrt{1}} \quad \frac{1}{\sqrt{4}}\\\& y \qquad \qquad 10 \quad \ 2.5 \qquad 2 \qquad 1 \quad \ \ 0.5$

Practica

Para los ejercicios del 1 al 6, identifica el dominio y el rango de las siguientes funciones.

A Dustin le pagan U$10 la hora por cortar el césped.
A María cobra U$25 la hora por una clase de matemáticas, con una tarifa mínima de U$15.
$f(x) = 15x - 12$
$f(x) = 2x^2 + 5$
$f(x) = \frac{1}{x}$
$f(x) = \sqrt[3]{x}$
¿Cuál es el rango de la función $y = x^2 - 5$ donde el dominio es -2, -1, 0, 1, 2?
¿Cuál es el rango de la función $y = 2x - \frac{3}{4}$ donde el dominio es -2.5, -1.5, 5?
¿Cuál es el dominio de la función $y = 3x$ donde el rango es 9, 12, 15?
¿Cuál es el rango de la función $y = 3x$ donde el dominio es 9, 12, 15?
A Ángela le pagan U$6,50 la hora en su trabajo de cajera en un almacén. Crea una que muestre cuánto gana si trabaja 5, 10, 15, 10, 25 o 30 horas.
El área de un triangulo es $A = \frac{1}{2}bh$ . Si la base del triángulo mide 8 centímetros, crea una tabla de valores que muestre el área del triángulo si tiene una altura de 1, 2, 3, 4, 5 o 6 centímetros.
12. Crea una tabla de valores para la función $f(x) = \sqrt{2}x + 3$ en donde los valores de input son -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

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