Funciones que Describen Situaciones

En esta sección, aprenderás cómo escribir una regla funcional para una tabla de valores y cómo representar problemas de la vida real.

Si te dieran una tabla que tenga los contenidos de x e y , ¿cómo podrías escribir una regla que describa la relación entre las dos variables? Una vez que completes esta sección, aprenderás a escribir reglas funcionales para tablas de valores como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0111S Write a Function Rule

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Orientación

En muchas situaciones, recolectamos información al realizar una encuesta o un experimento, y luego organizamos la información en tablas de valores. A menudo, queremos encontrar la regla funcional o la fórmula que se adecue a los conjuntos de valores en la tabla, para que así podamos utilizar la regla para predecir lo que podría pasar con los valores que no están en la tabla.

Ejemplo A

Escribe una regla funcional para la siguiente tabla:

$& \text{Number of CDs} \qquad 2 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 8 \qquad 10\\\& \text{Cost in} \ \$ \qquad \qquad \ \ 24 \quad \ \ 48 \quad \ \ 72 \quad \ 96 \quad \ \ 120$

Solución

Puedes pagar U$24 por 2 CD, U$48 por 4 CD, U$120 por 10 CD. Esto significa que cada CD cuesta U$12.

Podemos escribir una regla funcional:

Costo $= \$12 \ \times$ (número de CD) o $f(x) = 12x$

Ejemplo B

Escribe una regla funcional para la siguiente tabla:

$& x \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3\\\& y \qquad 3 \ \qquad 2 \qquad \ 1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

Solución

Puedes ver que un número negativo se convierte en el mismo número pero positivo, mientras que los números positivos no cambian. Esto significa que la función que usamos es el valor absoluto de la función: $f(x) = \mid x \mid$ .

Establecer una función basada en un conjunto de valores es verdaderamente tan difícil como parece. No existe ninguna regla que te diga con qué tipo de función estarás trabajando, por lo que deberás pensar en todos los tipos de funciones que conoces y reflexionar sobre cual se adecuará más al problema y luego comprobar si tu propuesta es correcta. Aunque, en este libro, nos enfocaremos en solo escribir funciones para relaciones lineares, las cuales pertenecen al tipo de funciones más fáciles.

Representa una situación de la vida real con una función

Observemos unas pocas situaciones del mundo real que pueden ser representadas mediante una función.

Ejemplo C

Maya tiene un servicio de Internet por el cual paga una tarifa de acceso de U$11,95 al mes más una tarifa de conexión de U$0,50 por cada hora utilizada. Representa su tarifa total mensual como una función de tiempo de conexión.

Solución

Define

$x =$ número de hora mensuales que Maya está conectada a Internet.

$y =$ costo mensual total que paga Maya.

Traduce

El costo tiene dos partes: la tarifa invariable de U$11,95 y la tarifa por hora de U$0,50. Por lo que el gasto total es: tarifa invariable $+$ tarifa por hora $\times$ número de horas.

Respuesta

La función es $y = f(x) = 11.95 + 0.50x$ .

Ejemplo D

Alfredo quiere construir una cubierta alrededor de su piscina. Las dimensiones de la piscina con $12 \ feet \times 24 \ feet$ y los entablados cuestan U$3 por metro cuadrado. Escribe el costo de la cubierta como una función del ancho de la cubierta.

Solución

Define

$x =$ ancho de la cubierta.

$y =$ costo de la cubierta

Realiza un bosquejo y márcalo

Traduce

Puedes imaginar que los entablados están formados por muchos rectángulos y cuadros. Podemos encontrar las áreas de todos las piezas individuales y luego sumarlas todas:

$\text{Area} &= 12x + 12x + 24x + 24x + x^2 + x^2 + x^2 + x^2 \\\ &= 72x + 4x^2$

Para encontrar el costo total, debemos multiplicar el área por el costo de cada metro cuadrado.

Respuesta

$f(x) = 3(72x + 4x^2) = 216x + 12x^2$

Mira este video para ayudarte con los Ejercicios anteriores.

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CK-12 Foundation: Write a Function Rule

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Vocabulario

A menudo, queremos encontrar la regla funcional o la fórmula que se adecue a los conjuntos de valores en la tabla, para que así podamos utilizar la regla para predecir lo que podría pasar con los valores que no están en la tabla.

Práctica guiada

Una compañía de teléfonos móviles vende dos millones de teléfonos en su primer año. El número de ventas se duplica cada año. Escribe una función del número de teléfonos vendidos como una función de la edad de la compañía.

Solución

Define

$x =$ edad de la compañía en años.

$y =$ número de teléfonos vendidos por años.

Crea una tabla

$& \text{Age (years)} \qquad \qquad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \ 5 \quad \ \ 6 \quad \ \ 7\\\& \text{Millions of phones} \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 16 \quad 32 \quad 64 \quad 128$

Escribe una regla funcional

El número teléfonos vendidos por años se dobla cada año, por lo que si la compañía vendió 2 millones teléfonos el primer año, al siguiente año vendió $2 \times 2$ millones, el año siguiente $2 \times 2 \times 2$ millones, etc. Puede que recuerdes que cuando multiplicamos un número por sí mismo muchas veces, podemos usar notaciones exponenciales: $2 = 2^1, \ 2 \times 2 = 2^2, \ 2 \times 2 \times 2 = 2^3,$ etc. En este problema, el exponente es igual a los años de la compañía, lo que hace que nuestra función sea más fácil de describir.

Respuesta

$y = f(x) = 2^x$

Practica

Escribe una regla funcional para la siguiente tabla: $& x \quad 3 \quad 4 \quad \ \ 5 \quad \ 6\\\& y \quad 9 \quad 16 \quad 15 \quad 36$
Escribe una regla funcional para la siguiente tabla: $& \text{Hours} \quad 0 \quad \ 1 \quad \ 2 \quad \ \ 3\\\& \text{Cost} \quad \ 15 \quad 20 \quad 25 \quad 30$
Escribe una regla funcional para la siguiente tabla: $& x \quad 0 \quad \ \ 1 \quad \ 2 \quad 3\\\& y \quad 24 \quad 12 \quad 6 \quad 3$
Escribe una función que represente el número de cortes que necesitas para cortar una cinta en x trozos .
5. Escribe una función que represente el número de cortes que necesitas para dividir una pizza en $x$ trozos.

Para los ejercicios del 6 al 8, imagina que Salomón cobra una tarifa fija de U$40 más una tarifa de U$25 por hora para reparar cañerías dañadas.

Escribe una función que represente la tarifa total como una función de horas trabajadas.
¿Cuánto gana Salomón por un trabajo que le lleva 3 horas?
¿Cuánto gana Salomón por tres trabajos diferentes que le toman 1 hora cada uno?

Para los ejercicios del 9 al 12, imagina que Rochelle ha invertido U $2500 en un kit para hacer joyería. Hace brazaletes que puede vender a U$12,50 cada uno.

Escribe una función que muestre cuánto dinero gana Rochelle por vender $b$ brazaletes.
Escribe una función que muestre cuánto dinero gana Rochelle luego de vender $b$ brazaletes menos el dinero invertido en el kit.
¿Cuántos brazaletes debe vender Richelle para recuperar su inversión?
Si ella compra una vitrina de U$50 para exhibir sus brazaletes, ¿cuántos brazaletes debe vender para recuperar su inversión?

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