Funciones en un Plano Cartesiano

Si te diesen una tabla con los valores de x e y para representar una función, ¿cómo podrías utilizar estos valores para graficar una función? Una vez que completes esta sección, serás capaz de graficar una función como la mencionada en un plano de coordenadas.

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CK-12 Foundation: 0112S Graph a Function from a Table

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Graficamos funciones mediante gráficas al dibujar puntos en un plano de coordenadas (algunas veces también denominado plano cartesiano ). El plano de coordenadas es una red formada por una recta de números horizontal y una vertical que intersecan en un punto llamado origen . Este se llama sí, ya que es el punto de “comienzo”; cada punto de la red se describe en relación a la distancia que tiene del origen.

La recta numérica horizontal se llama eje y el vertical eje . Podemos representar cada valor de una función como un punto en el plano al representar el valor de como una distancia en el eje y el valor de como una distancia en el eje Por ejemplo, si el valor de en una función es 2 cuando el valor de es 4, podemos representar estos valores con un punto que esté a 4 unidades a la derecha del origen (es decir, 4 unidades en el eje ) ) y 2 unidades arriba (2 unidades en el eje ).

Escribimos la ubicación de los puntos como (4, 2).

Ejemplo A

Dibuja las siguientes coordenadas en un plano cartesiano.

a) (5, 3)

b) (-2, 6)

c) (3, -4)

d) (-5, -7)

Solución

Aquí están todas las coordenadas en un mismo plano.

Nótese que al lado derecho tenemos los valores positivos de y a la izquierda, los negativos, del mismo modo en que los números están dispuestos en una recta numérica. Así mismo, los valores positivos de están arriba y los negativos, abajo.

Los ejes e dividen el plano de coordenadas en cuatro cuadrantes . Los cuadrantes están enumerados en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el espacio superior derecho, por esto el punto (a) está en el primer cuadrante, (b) en el segundo cuadrante, (c) en el cuarto cuadrante, y (d) en el tercer cuadrante.

Graficar una función que se encuentra en la tabla

Si sabes sobre una regla o tenemos una tabla de valores que describe una función, podemos dibujar una gráfica para la función. Una tabla de valore nos da coordenadas que podemos trazar en el plano cartesiano.

Ejemplo B

Grafica la función que se describe en la siguiente tabla de valores.

Solución

La tabla nos da los siguientes conjuntos de coordenadas: (-2, 6), (-1, 8), (0, 10), (1, 12), y (2, 14).

Para graficar la función, debemos trazar todas las coordenadas. Ya que no sabemos el dominio de la función y no tenemos un contexto de la situación, podemos asumir que el dominio es el conjunto de todos los números reales. Para demostrar que contiene todos los valores en el dominio, conectamos todos los puntos con una línea suave (esto nos da a entender que la línea continúa infinitamente en ambas direcciones).

Ejemplo C

Grafica la función que se describe en la siguiente tabla de valores.

La tabla nos da los siguientes conjuntos de coordenadas: (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), y (4, 16).

Para graficar la función, debemos trazar todas las coordenadas. Ya que no sabemos el dominio de la función, podemos asumir que el dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. Para demostrar que contiene todos los valores en el dominio, conectamos todos los puntos con una suave curva. No tiene sentido trazar la curva para los valores negativos de la variable independiente, por lo que esta se detiene en , pero continua infinitamente en la dirección de los valores positivos.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graph a Function from a Table

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

• Graficamos funciones mediante gráficas al dibujar puntos en un plano de coordenadas (algunas veces también denominado plano cartesiano ). El plano de coordenadas es una red formada por una recta de números horizontal y una vertical que intersecan en un punto llamado origen . La recta numérica horizontal se llama eje y el vertical axis .

• Los ejes e dividen el plano de coordenadas en cuatro cuadrantes . . Los cuadrantes están enumerados en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el espacio superior derecho, por esto el punto (a) está localizado en el primer cuadrante, (b) el en segundo cuadrante, (c) en el cuarto cuadrante, y (d) en el tercer cuadrante.

Práctica guiada

Grafica la función que se describe en la siguiente tabla de valores.

Esta función representa el costo total de los globos entregados a tu hogar. Cada globo cuesta $3 y la tienda los entrega a domicilio si compras una docena o más. Los gastos de entrega tiene un cargo fijo de $5.

Solución

La tabla nos da los siguientes conjuntos de coordenadas: (12, 41), (13, 44), (14, 47), (15, 50), y (16, 53).

Para graficar la función, debemos trazar todas las coordenadas. Ya que los valores de representan el número de globos para una docena o más, el dominio de esta función son todos los enteros iguales o mayores que 12. En este problema, no debemos conectar los puntos con una línea o una curva, ya que no tiene sentido tener un número decimal de globos.

Para dibujar un gráfico de una función basándote en la regla de la función, primero debemos crear una tabla de valores que nos dé un conjunto de punto para trazar. Escoger los valores correctos para la tabla es una habilidad que desarrollarás practicando. Aquí hay algunas cosas que debes tomar en cuenta a la hora de escoger los valores que utilizarás.

• Elige valores provenientes sólo del dominio de la función.
• Si el dominio es el conjunto de todos los números reales, el gráfico tendrá una curva continua.
• Si el dominio es el conjunto de todos los enteros de un subconjunto de enteros, la gráfica será un conjunto de puntos que no estarán conectados por una curva.
• Es mejor escoger números enteros, ya que el cálculo se realiza más fácilmente; sin embargo, a veces debemos elegir otros valores para capturar todos los detalles de la función.
• A menudo, comenzamos con un conjunto de valores; pero luego de dibujar el gráfico, nos damos cuenta que debemos escoger valores distintos y dibujar el gráfico nuevamente.

Practica

Para los ejercicios del 1 al 5, traza las coordenadas en el plano cartesiano.

1. (4, -4)
2. (2, 7)
3. (-3, -5)
4. (6, 3)
5. (-4, 3)
6. Escribe las coordenadas de cada punto de este plano cartesiano. .

Para los ejercicios del 7 al 10, grafica la función que se describe en la siguiente tabla de valores.