Modelos de Resolución de Problemas

Digamos que te dan un problema textual como “Un taxi cobra $3 más $0,75 extra por cuarto de milla recorrida. Si tomas el taxi por 3 millas, ¿cuanto le debes al taxista?”. ¿Como podrías preparar un plan para resolver este problema? Tras completar esta sección, podrás comparar procimientos alternativos para resolver problemas como este.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0116S Problem Solving Plan

*Este video solo está disponible en inglés

Mira esto

El plan utilizado aquí para resolver problemas esta basado en las ideas de George P lya, quien describe sus estrategias de resolución de problemas en más detalle en su libro How to Solve It . Algunas de las técnicas que utiliza en su libro están en la página de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It .

Orientación

Siempre pensamos en las matematicas como la clase en la que resolvemos muchos problemas. La resolución de problemas es necesaria para todos los aspectos de la vida. Comprar una casa, arrendar un auto, entender cuál es la mejor compra son solo algunos ejemplos de situaciones en las cuales las personas necesitan utilizar técnicas de resolucion de problemas. En este libro, aprenderas diferentes estrategias y enfoques para resolver problemas. En esta sección, te presentaremos un plan de resolución de problemas que podrás utilizar a lo largo del libro.

Leer y entender una problemática concreta

El primer paso para resolver un problema escrito es leerlo y entenderlo. A continuación hay unas preguntas que deberías hacerte:

• iquest;Qué estoy tratando de averiguar?
• ¿Qué información me entregan?
• ¿Alguna vez he resolvido un problema similar?

También es un buen momento para definir cualquier variable. Cuando identificas tus variables conocidas y desconocidas , a menudo es útil asignarles letras para realizar más fácilmente las notaciones y los cálculos.

Realizar un plan para resolver problemas

El siguiente paso en un plan de resolución de problemas es desarrollar una estrategia . ¿Cómo te ayuda la información que tienes a descubrir aquellas variables desconocidas?

Aquí hay algunas estrategias comunes que debes aprender:

• Dibujar un diagrama.
• Crear una tabla de valores.
• Buscar un patrón.
• Utilizar una suposición y comprobarla
• Calcular a la inversa.
• Utilizar una fórmula.
• Leer y crear gráficos.
• Escribir ecuaciones.
• Utilizar modelos lineales.
• Utilizar análisis dimensionales.
• Utilizar la correcta función para una situacio particular.

En la mayoría de los problemas, utilizarás más de una de estas estrategias. Por ejemplo, la búsqueda de patrones es una buena estrategia en la mayoría de los problemas; crear una tabla y dibujar un gráfico son, generalmente, utilizados en conjunto; “escribir una ecuación” es una estrategia que realizarás muchas veces mientras estudies álgebra

Resolver el problema y comprobar los resultados

Una vez que tengas tu plan, puedes implementarlo y resolver el problema , al calcular las operaciones para llegar a la solucion que buscas.

El último paso para resolver cualquier problema siempre debe ser comprobar e interpretar la respuesta. Preguntate a ti mismo:

• ¿Tiene sentido la repsuesta?
• Si ingreso la respuesta al problema, ¿los números coinciden?
• ¿Puedo obtener la misma respuesta utilizando otro método?

Comparar enfoques alternativos para resolver problemas

Algunas veces, utilizar un método específico es lo mejor para resolver un problema. Sin embargo, la mayoría de los problemas se pueden resolver utilizando numerosas y diferentes estrategias. Cuando te familiarices con todas las estrategias para resolver problemas, debes elegir el método que más te acomode. En este libro, a menudo utilizaremos más de un método para resolver problemas para demostrar los pro y contras de cada estrategia de resolución.

Cual sea la estrategia que elijas, siempre debes implementar el plan de resolución de problemas cuando resuelvas problemas escritos. A continuación, un resumen del plan de resolución de problemas.

Paso 1:

Entender el problema

Lee atentamente el problema. Una vez que lo hayas leído, enlista todos los componentes y la información que se puede obtener del problema. Aquí es donde asignarás tus variables.

Paso 2:

Realizar un plan - Traduce

Crea una manera para resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, traza un gráfico o crea una tabla para comenzar a resolver el problema.

Paso 3:

Llevar a cabo el plan - Resuelve

Aquí es cuando debes resolver la ecuación que creaste en el Paso 2.

Paso 4:

Observa - Comprueba e Interpreta

Comprueba si utilizaste toda la información. Luego, comprueba las respuestas.

A menudo, las partes más difíciles de resolver problemas son los primeros dos pasos de nuestro plan de resolución de problemas. Debes leer el problema y asegurarte de entender lo que te están pidiendo. Una vez que entiendas el problema, puedes trazar una estrategia para resolver el problema.

Pongamos en práctica los primeros dos pasos en el siguiente problema.

Ejemplo A

Seis amigos compran una pizza y planean dividir la cuenta en forma equitativa. Una vez que piden la pizza, uno de los amigos se va inesperadamente antes de que llegue la pizza. Como resultado, los que quedan deben pagar $1 más. ¿Cuánto cuesta la pizza

Solución

Comprende

Debemos descubrir cuánto cuesta la pizza.

Sabemos que cinco personas deben pagar $1 de más cuando uno de los seis amigos tiene que irse.

Estrategia

Podemos comenzar escribiendo una lista de posibles cantidades de dinero que pueden ser el total de la pizza.

Dividimos la cantidad total por seis y luego por cinco. La cantidad total dividida por cinco debe ser de $1 más que la cantidad total dividida por seis.

Busca por cualquier patrón en los números que pudiera llevarte a la respuesta correcta.

En los que queda de esta sección, aprenderás a crear una tabla o a buscar patrones para descubrir una solución para este tipo de problemas. Luego de que termines de leer lo que queda de esta sección, puedes retroceder y resolver este problema como tarea.

Desarrolla y utiliza la estrategia: crear una tabla

El método de “crear una tabla” es útil cuando resuelves problemas que tienen relaciones numéricas. Cuando la información está organizada en una tabla, es más fácil reconocer los patrones y las relaciones entre los números. Pongamos en práctica esta estrategia para el siguiente ejemplo.

Ejemplo B

Josie comienza a ejercitarse trotando. En la primera semana, trota 10 minutos por día; en la segunda, 12 minutos por día. Cada semana incrementa 2 minutos a los minutos que trota por día. Si trota seis días a la semana, ¿cuántos minutos trotará en la sexta semana?

Solución

Comprende

Sabemos que en la primera semana Josie trota 10 minutos por día seis días a la semana.

Sabemos que en la segunda semana Josie trota 12 minutos por día seis días a la semana.

Cada semana, ella incrementa 2 minutos a los minutos que trota por día y trota 6 días por semana.

Debemos descubrir cuántos minutos trotará en la semana seis.

Estrategia

Una buena estrategia es poner la información que tenemos en una tabla y utilizar la información que nos entregan para encontrar nueva información.

Sabemos que Josie trotó 10 minutos al día durante los primeros seis días y 12 minutos al día durantes seis días de la segunda semana. Podemos poner esta información en una tabla:

Nos dicen que cada semana Josie aumenta los minutos que trota en 2 minutos por día y trota 6 veces a la semana. Podemos utilizar esta información para llenar la tabla hasta llegar a la semana seis.

Aplica la estrategia/resuelve

Para obtener la respuesta, debemos leer la información de la semana seis.

Respuesta: En la semana seis, Josie trotará un total de 120 minutos.

Comprueba

Josie aumenta en 2 minutos el tiempo que trota por día. Ella trota seis días a la semana. Esto significa que ella aumenta los minutos que trota en 12 minutos por semana.

Josie comineza trotando 60 minutos por semana y aumenta en 12 minutos por semana por 5 semanas.

Esto significa que la cantidad total de minutos que trotará serán: .

La respuesta es correcta.

Puedes ver que crear una tabla de valores nos ayuda a organizar y clarificar la información que tenemos, además de que nos guía en los siguientes pasos para resolver el problema. Resolvimos este problema utilizando solamente la tabla; en muchas situaciones, debemos combinar esta estrategia con otras para obtener una solución

Crea y utiliza la estrategia: busca patrones

Buscar un patrón es otra estrategia que puedes utilizar para resolver problemas. La meta es buscar secciones o números que se repitan o una serie de eventos que se repita. El siguiente problema se puede resolver si encontramos un patrón.

Ejemplo C

Debes ordenar las pelotas de tenis formando triángulos, como puedes ver en la imagen. ¿Cuántas pelotas habrá en un triángilo que tenga 8 filas?

Solución

Comprende

Al observar la imagen, sabemos que debemos ordenar las pelotas de tenis formando triángulos.

Deseamos saber cuántas pelotas habrá en un triángilo que tenga 8 filas.

Estrategia

Una buena estrategia es crear una tabla y enumerar la cantidad de pelotas que hay en los triángulos en diferentes filas.

Una fila: es fácil ver que un triángulo con una fila tiene una pelota.

Dos filas: para crear un triángulo con dos filas, debemos añadir las pelotas de la fila superior a las de la fila inferior. Es útil crear un boceto de las filas del triángulo dibujándolas individualmente.

Tres filas: añadimos las pelotas de la fila superior del triángulo a las pelotas de la fila inferior.

Ahora podemos llenar las primeras tres filas de la tabla.

Ahora podemos ver un patrón.

Para crear el próximotriángulo, añadimos una nueva fila en la parte inferior al triángulo que ya tenemos.

La nueva fila inferior tiene el mismo número de pelotas que el número de filas. (Por ejemplo, un triángulo con 3 filas tiene 3 pelotas en la fila inferior)

Para saber el número total de pelotas de un nuevo triángulo, debemos añadir el número de pelotas del triángulo anterior al número de pelotas que el triángulo nuevo tiene en la fila inferior.

Aplica la estrategia/resuelve:

Podemos completar la tabla siguiendo el patrón que descubrimos.

Número de pelotas= número de pelotas en el triángulo anterior + número de filas en el nuevo triángulo.

Número de filas	Número de pelotas
1	1
2	3
3	6
4
5
6
7
8

Respuesta hay 36 pelotas en un triángulo que tiene 8 filas.

Comprueba

Cada fila del triángulo tiene una más que la anterior. En un triángulo con 8 filas,

la fila 1 tiene 1 pelota; la fila 2 tiene 2 pelotas; la fila 3 tiene 3 pelotas; la fila 4 tiene 4 pelotas; la fila 5 tiene 5 pelotas; la fila 6 tiene 6 pelotas; la fila 7 tiene 7 pelotas; y la fila 8 tiene 8 pelotas.

Cuando las sumamos, obtenemos:

La respuesta es correcta.

Nótese que, en este ejemplo, creamos tablas y dibujamos diagramas para ayudarnos a organizar la información y así encontrar un patrón. Utilizar numerosos métodos es una práctica común y es muy útil a la hora de resolver problemas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Problem Solving Plan

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Cualquiera sea la estrategia que utilices, siempre debes implementar el plan de resolución de problemas cuando trabajes con problemas escritos. A continuacion, un resumen del plan de resolución de problemas.

• Paso 1:

Entender el problema

Lee atentamente el problema. Una vez que lo hayas leído, enlista todos los componentes y la información que se puede obtener del problema. Aquí es donde asignarás tus variables.

• Paso 2:

Realizar un plan - Traduce

Crea una manera para resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, traza un gráfico o crea una tabla para comenzar a resolver el problema.

• Paso 3:

Llevar a cabo el plan - Resuelve

Aquí es cuando debes resolver la ecuación que creaste en el Paso 2.

• Paso 4:

Observa - Comprueba e Interpreta

Comprueba si utilizaste toda la información. Luego, comprueba las respuestas.

Práctica guiada

Casey tiene el doble de la edad de Marietta, quien en dos años más joven que Jake. Si Casey tiene 14, ¿cuál es la edad de Jake?

Solución:

representará la edad de Casey, la edad de Marietta y la edad de Jake. Con esto, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

y

Podemos sustituir la segunda ecuación en la primera, por lo que obtenemos:

.

Lo que nos da

¿Cuáles son las edades posibles de Jake que haría que Casey tuviera 14? Podemos crear una tabla basada en la ecuación:

Al observar la tabla, cuando la edad de Casey es 14, la edad de Jake es 9.

Para comprobar la respuesta, calculemos la ecuación con la variante :

Práctica

1. Un suéter cuesta $35. Encuentra el valor total si, además, debes pagar un impuesto de 7,75%.
2. Este año, tu salario aumento en un 5%. Si tu nuevo salario es de $45.000, ¿cuál era tu salario anterior?
3. Mariana deposita $500 en su cuenta de ahorros, la cual le da 3% de interés anual. ¿Cuánto dinero habrá en su cuenta en tres años?
4. Cuesta $250 alfombrar un cuarto de 14 por 18 pies. ¿Cuánto cuesta alfombrar un cuarto de 9 por 10 pies?
5. Una tienda departamental entrega un 15% de descuento a sus trabajadores. Imagina que un trabajador tiene un cupón de $10 de descuento y desea comprar un bolso de $65. ¿Cuál es el precio que debe pagar por el bolso si primero restan el descuento por ser trabajador y, luego, el del cupón?
6. Para organizar baile en un hotel, debes pagar $250 más $20 por invitado. ¿Cuánto debes pagar si tienes 25 invitados?
7. El plan telefónico de Yusef cuesta $10 al mes más $0,05 por minuto. Si su cuenta telefónica del último mes fue de $25,80; ¿cuántos minutos habló por teléfono?
8. Cuesta $12 ingresar a la Feria del Condado San Diego y cuesta $1,50 subirse a cada juego.
   1. Si Rena gasta $24 en total, ¿cuántas veces se subió a los juegos?
   2. ¿Cuánto hubiese gastado si se hubiese subido a cinco juegos más?
9. Una tienda de helados vende helados en conos pequeños a $2,95, los medianos a $3,50 y los grandes a $4,25. El sábado pasado, la tienda vendió 22 conos pequeños, 26 conos medianos y 15 conos grandes. ¿Cuánto ganó la tienda?
10. En la clase de química de Lise, hay dos exámenes semestrales, cada uno vale 30% de su nota final, además de un examen final que vale 40%. Si Lise obtiene un 90 en ambos exámenes semestrales y un 80 en su examen final, ¿cuál será su nota final en la clase?
11. La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. Si el segundo ángulo es dos veces el primer ángulo y el tercer ángulo es tres veces el primer ángulo, ¿cuáles son las medidas de los ángulos?
12. Una televisión que normalmente cuesta $120 tiene un descuento de 20%. ¿Cuánto cuesta ahora?
13. La receta de un pastel dice que hay que tener tazas de harina. Jeremy quiere hornear cuatro pasteles. ¿Cuántas tazas de harina va a necesitar?
14. Kylie corta césped para ganar dinero y comprar una nueva bicicleta. Luego de cortar el césped de cuatro jardines, le falta juntar $40 para comprar la bicicleta. Luego de cortar el césped de tres jardines más, le falta $5 más para comprar la bicicleta.
    1. ¿Cuánto gana por cortar el césped de un jardín?
    2. ¿Cuánto cuesta la bicicleta?
15. Jared va a buscar dulces de Halloween con su hermano y su hermana. En la primera casa, le dan tres caramelos a cada uno; en la siguiente casa, le dan dos caramelos a cada uno; en las siguientes tres casas, le dan dos caramelos a cada uno. Luego, se separan y van a diferentes casas; Jared obtiene 12 caramelos y su hermana y su hermano obtienen 14 caramelos cada uno.
    1. ¿Cuántos caramelos recolectó Jared en total?
    2. ¿Cuántos caramelos en total recolentaron?
16. La hija de Marco, Elena, tiene cuatro cajas de bloques de juguetes, las cuales tienen 50 bloques cada una. Un día, ella deja todos en el piso y algunos se pierden. Cuando Marcos trata de guardarlos: 45 bloques quedan en la primera caja; 53 en la segunda; 46 en la tercera; y 51 en la cuarta. ¿cuántos bloques se perdieron?
17. Un show de TV que dura una hora pasa 16 minutos de comerciales. Si el episodio de final de temporada dura dos horas y media, ¿cuántos minutos de comerciales debería pasar para tener el mismo promedio de los episodios pasados?
18. Karen y Chase apuestan sobre un partido de béisbol: si el equipo local gana, Karen le deberá pagar a Chase cincuenta centavos por cada cuadrangular que ganen ambos equipos; Chase le deberá pagar lo mismo si gana el equipo visitante. El juego tiene nueve entradas y el equipo local gana un cuadrangular en cada entrada impar, mientras que el equipo visitante gana dos cuadrangulares en la tercera entrada y dos en la sexta. ¿Quién gana la apuesta?
19. Kelly, Chris, y Morgan comienzan un juego de cartas. En este juego, el primer jugador que quede sin cartas se queda con los puntos que valen las cartas que tiene sus oponentes: los ases valen un punto, las cartas con caras valen 10 puntos y todas las otras cartas valen lo que dice su número.Cuando Kelly se queda sin cartas, Morgan sostiene dos ases, un rey y un tres; Chris sostiene un cinco, un siete y una reina. ¿Cuántos puntos obtiene Kelly?
20. Un club local arrienda un salón comunitario para realizar un evento. El precio del arriendo es $350 y esperan recuperar el dinero cobrando una admisión de $15 por persona. ¿Cuántas personas deben asistir para que el club recupere el dinero?
21. Planeas organizar una parrillada y esperas que llegen 10 amigos, 8 vecinos y 7 familiares.
    1. Si esperas que cada persona, incluyéndote, coma dos onzas de ensalada de patatas, ¿cuántos recipientes de media-onza debes comprar?
    2. Si los hot dogs vienen en paquetes de 10 que cuestan $4,80 cada uno y los panes de hot dog vienen en paquetes de 8 que cuestan $2,80 cada uno, ¿cuánto gastaras para tener suficientes hot dogs y panes de hot dogs para todos?