Comparación de Modelos de Resolución de Problemas

En esta sección, aprenderás cómo trazar y comparar estartegias de resolución de problemas. Luego, eligirás el mejor enfoque para resolver problemas de la vida cotidiana.

Si te dieran un problema de la vida cotidiana con dos variables como: “solamente tienes monedas de 10 y 5 centavos en tu bolsillo y entre ellas suman $1,25. Tienes 14 monedas en tu bolsillo. ¿Cuántas monedas de 10 y 5 centavos tienes?”, ¿cómo puedes trazar un plan de resolución de problemas para saber la respuesta? Una vez que completes esta sección, serás capaz de crear una tabla o buscar patrones para ayudarte a resolver problemas como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0117S Compare Strategies for Solving

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Orientación

En esta sección, utilizaremos los métodos de resolución de problemas que aprendimos en la última sección. También compararemos los métodos de “crear una tabla” y “buscar un patrón” al usar cada método para resolver problemas.

Ejemplo A

Una cafetera tiene un descuento de 50% sobre su precio original. En la “Gran liquidación del domingo” la misma cafereta tiene un descuento adicional de 40%. Si el precio final es $21, ¿cuál es el precio original de la cafetera?

Solución

Paso 1: Comprender

Lo que sabemos: una cafetera tiene un descuento de 50% luego tiene otro descuento de 40%. El precio final es $21.

Lo que necesitamos saber: el precio original de la cafetera.

Paso 2: Estrategia

Revisemos la información que tenemos y tratemos de encontrar la relación entre la información que tenemos y la que estamos tratando de encontrar.

Un descuento de 50% del precio original significa que el nuevo precio es la mitad del original o $0.5 \ \times$ precio original.

Por lo que, el primer precio con descuento $= 0.5 \ \times$ precio original

Un descuento de 40% del nuevo precio significa que pagaste 60% del nuevo precio o $0.6 \ \times$ nuevo precio.

$0.6 \times (0.5 \times \text{original price}) = 0.3 \times \text{original price}$ es el precio luego del segundo descuento.

Sabemos que luego de los dos descuentos el precio final es $21.

Entonces $0.3 \times \text{original price} = \$21$ .

Paso 3: Resolver

Ya que $0.3 \times \text{original price} = \$21$ , podemos encontrar el precio original si dividimos $21 por 0,3.

$\text{Original price} = \$21 \div 0.3 = \$70$ .

El precio original de la cafetera es $70.

Paso 4: Comprueba

Descubrimos que el precio original de la cafetera es $70.

Para comprobar la respuesta, apliquemos los descuentos.

El 50% de $\$70 = .5 \times \$70 = \$35$ de ahorro. Por lo que el precio luego del primer descuento es $\text{original price} - \text{savings}$ o $\$70 - 35 = \$35$ .

Luego, el 40% de descuento es $.4 \times \$35 = \$14$ . Por lo que, luego del segundo descuento, el precio es $\$35 - 14 = \$21$ .

La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Andrew cobra un cheque de $180 y quiere el dinero en billetes de $10 y $20. El cajero del banco le da 12 billetes. ¿Cuánto billetes de $10 y $20 recibió?

Solución

Método 1: Crear una tabla

Comprender

Andrew le da al cajero del banco un cheque por $180.

El cajero del banco le da a Andrew 12 billetes. Estos billetes son de $10 y $20.

Queremos saber cuántos billetes de $10 y $20 le dio.

Estrategia

Comenzemos creando una tabla que muestre las diferentes maneras en que Andrew puede tener doce billetes de $10 y $20

Andrew puede tener doce billetes de $10 y ninguno de $20 u once de $10 y uno de $20, etc.

Podemos calcular la cantidad total de dinero para cada caso.

Aplicar la estrategia/resolver

Billetes de $10	Billetes de $20	Cantidad total
12	0	$\$10(12) + \$20(0) = \$120$
11	1	$\$10(11) + \$20(1) = \$130$
10	2	$\$10(10) + \$20(2) = \$140$
9	3	$\$10(9) + \$20(3) = \$150$
8	4	$\$10(8) + \$20(4) = \$160$
7	5	$\$10(7) + \$20(5) = \$170$
6	6	$\$10(6) + \$20(6) = \$180$
5	7	$\$10(5) + \$20(7) = \$190$
4	8	$\$10(4) + \$20(8) = \$200$
3	9	$\$10(3) + \$20(9) = \$210$
2	10	$\$10(2) + \$20(10) = \$220$
1	11	$\$10(1) + \$20(11) = \$230$
0	12	$\$10(0) + \$20(12) = \$240$

En la tabla tenemos todas las maneras posibles de tener billetes de $10 y $20 y la suma de cada posibilidad. La cantidad corecta ($180) es cuando Andrew tiene seis billetes de $10 y seis de $20.

Respuesta: Andrew tiene seis billetes de $10 y seis de $20

Comprueba

Seis billetes de $10 y seis de $20 $\rightarrow 6(\$10) + 6(\$20) = \$60 + \$120 = \$180$

La respuesta es correcta.

Resolvamos el mismo problema utilizando el metodo de “buscar un patrón”.

Método 2: buscar un patrón

Comprender

Andrew le da al cajero del banco un cheque por $180.

El cajero del banco le da a Andrew 12 billetes. Estos billetes son de $10 y $20.

Queremos saber cuántos billetes de $10 y $20 le dio.

Estrategia

Comencemos creando una tabla tal como lo hicimos en el primer método. Sin embargo, esta vez busquemos patrones en la tabla que podamos utilizar para encontrar la solución.

Aplicar la estrategia /resolver

Llenemos las filas en la tabla hasta que encontremos un patrón.

Billetes de $10	Billetes de $20	Cantidad total
12	0	$\$10(12) + \$20(0) = \$120$
11	1	$\$10(11) + \$20(1) = \$130$
10	2	$\$10(10) + \$20(2) = \$140$

Podemos observar que cada vez que reducimos la cantidad de billetes de $10 en uno y aumentamos los billetes de $20 en uno, la cantidad total de dinero aumenta en $10. La última entrada de la tabla tiene una cantidad total de $140, por lo que necesitamos $40 más para llegar a los $180. Esto significa que debemos reducir la cantidad de billetes de $10 en cuatro unidades y aumentar la cantidad de billetes de $20 en cuatro unidades. Lo que nos da seis billetes de $10 y seis billetes de $20.

$6(\$10) + 6(\$20) = \$60 + 120 = \$180$

Respuesta: Andrew tiene seis billetes de $10 y seis de $20.

Comprueba

Seis billetes de $10 y seis de $20 $\rightarrow 6(\$10) + 6(\$20) = \$60 + 120 = \$180$

La respuesta es correcta.

Puedes ver que el segundo método que utilizamos fue menos tedioso. En el primer método, enumeramos todas las opciones posibles y así encontramos la respuesta que buscábamos. En el segundo método, comenzamos enumerando las opciones, pero encontramos un patrón que nos ayudo a encontrar la solucion más rápido. Los métodos de “crear una tabla” y “buscar un patrón” son más utiles si se utilizan en conjunto con otros métodos para resolver problemas.

Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias específicas como parte de un plan

Ejemplo C

Anne está haciendo una caja sin tapa. Comienza con un cartón cuadrado de 20 pulgadas y corta cuatro cuadrados iguales para cada esquina. Luego, dobla los lados de la caja y pega los bordes. ¿Qué tan grandes debe cortar los cuatro pedazos para quela caja tenga el mayor volumen posible?

Solución

Paso 1:

Comprender

Anne crea una caja de pedazo de cartulina de $20 \ in \times 20 \ in$ .

Corta cuatro pedazos iguales para hacer las esquinas.

Dobla los lados y los pega para hacer la caja

¿Qué tan grandes debe cortar los cuatro pedazos para que la caja tenga el mayor volumen posible?

Paso 2:

Estrategia

Necesitamos recordar la fórmula para obtener el volumen de una caja.

$\text{Volume} = \text{Area of base} \times \text{height}$

$\text{Volume} = \text{width} \times \text{length} \times \text{height}$

Crea una tabla de valores y elige distintos valores para los lados de los cuadros que vamos a cortar y calcula el volumen.

Paso 3:

Aplica la estrategia/resolver

“Hagamos” una caja al cortar cuatro cuadros iguales que se utilizarán como esquinas con lados iguales de una pulgada. El diagrama sería:

Podemos ver que cuando doblamos los lados para hacer la caja, el altura es de 1 pulgada, el ancho es de 18 pulgadas y la longitud es de 18 pulgas

$\text{Volume} = \text{width} \times \text{length} \times \text{height}$

$\text{Volume} = 18 \times 18 \times 1 = 324 \ in^3$

Hagamos una tabla que muestre el volumen de la caja con diferentes tamaños del cuadrado:

Lado del cuadrado	Altura	Ancho	Longitud	Volumen
1	1	18	18	$18 \times 18 \times 1 = 324$
2	2	16	16	$16 \times 16 \times 2 = 512$
3	3	14	14	$14 \times 14 \times 3 = 588$
4	4	12	12	$12 \times 12 \times 4 = 576$
5	5	10	10	$10 \times 10 \times 5 = 500$
6	6	8	8	$8 \times 8 \times 6 = 384$
7	7	6	6	$6 \times 6 \times 7 = 252$
8	8	4	4	$4 \times 4 \times 8 = 128$
9	9	2	2	$2 \times 2 \times 9 = 36$
10	10	0	0	$0 \times 0 \times 10 = 0$

Nos detuvimos en un cuadrado de 10 pulgadas, ya que en este punto ya no nos queda más cartón para hacer más cajas. Al observar la tabla, podemos ver que para hacer la caja más grande debemos cortar cuadrados de tres pulgadas de longitud. Esto nos da $588 \ in^3$ .

Respuesta la caja tiene un volumen mayor si cortamos cuadrados de una longitud de tres pulgadas.

Paso 4:

Comprueba

Podemos ver que $588 \ in^3$ es el mayor volumen que aparece en la tabla. Escogimos valores enteros para los caudrados que vamos a cortar. ¿Es posible obtener un volumen mayor si escogemos valores decimales? Ya que obtenemos el volumen mayor si cortamos pedazos de tres pulgadas, creemos una tabla con valores decimales cercanos a tres pulgadas:

Lado del cuadrado	Altura	Ancho	Longitud	Volumen
2,5	2,5	15	15	$15 \ \times \ 15 \ \times \ 2.5 = 562.5$
2,6	2,6	14,8	14,8	$14.8 \times 14.8 \times 2.6 = 569.5$
2,7	2,7	14,6	14,6	$14.6 \times 14.6 \times 2.7 = 575.5$
2,8	2,8	14,4	14,4	$14.4 \times 14.4 \times 2.8 = 580.6$
2,9	2,9	14,2	14,2	$14.2 \times 14.2 \times 2.9 = 584.8$
3	3	14	14	$14 \times 14 \times 3 = 588$
3,1	3,1	13,8	13,8	$13.8 \times 13.8 \times 3.1 = 590.4$
3,2	3,2	13,6	13,6	$13.6 \times13.6 \times 3.2 = 591.9$
3,3	3,3	13,4	13,4	$13.4 \times 13.4 \times 3.3 = 592.5$
3,4	3,4	13,2	13,2	$13.2 \times 13.2 \times 3.4 = 592.4$
3,5	3,5	13	13	$13 \ \times \ 13 \ \times \ 3.5 = 591.5$

Nótese que el mayor volumen no ocurre cuando cortamos los cuadrados en tres pulgadas, sino que en 3,3 pulgadas.

Nuestra respuesta original no es incorrecta, pero no es la mejor respuesta. Podemos obtener una mejor respuesta si utilizamos incrementos más pequeños en la longitud de los cuadrados. Para hacer esto, debemos escoger valores más pequeños que sean cercanos a 3,3 pulgadas.

Mientras tanto, nuestra primera respuesta es correcta si no deseamos tener números decimales, pero una respuesta más correcta sería 3,3 pulgadas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores

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CK-12 Foundation: Compare Strategies for Solving Real-World Problems

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Cualquiera que sea la estrategia que uses, siempre implementa el plan de resolución de problemas cuando resuelvas problemas escritos. A continuación, un resumen del plan de resolución de problemas.

Paso 1:

Entender el problema

Lee atentamente el problema. Una vez que lo hayas leído, enlista todos los componentes y la información que se puede obtener del problema. Aquí es donde asignarás tus variables.

Paso 2:

Realizar un plan - Traduce

Crea una manera para resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, traza un gráfico o crea una tabla para comenzar a resolver el problema.

Paso 3:

Llevar a cabo el plan - Resuelve

Aquí es cuando debes resolver la ecuación que creaste en el Paso 2.

Paso 4:

Observa - Comprueba e Interpreta

Comprueba si utilizaste toda la información. Luego, comprueba las respuestas.

Práctica guiada

Las entradas para un evento valen $20 seis semanas antes del evento y suben $5 cada semana. ¿Cuánto valen las entradas a una semana del evento?

Solución:

Queremos saber cuánto valen las entradas a una semana del evento. Sabemos que a seis semanas las entradas valen $20 y suben $5 cada semana.

Semanas antes del evento.	Precio de las entradas.
6	$\$20$
5	$\$20+\$5 = \$25$
4	$\$25+\$5=\$30$
3	$\$30+\$5 = \$35$
2	$\$35+\$5 = \$40$
1	$\$40+\$5 = \$45$

Una semana antes del evento, las entradas cuestan $45.

Practica

Britt tiene $2,25 en monedas de 10 y 5 centavos. Si tiene 40 monedas, ¿cuántas monedas de 10 y de 5 centavos tiene?
Jeremy divide un jardín de 160 pies al cuadrado en terrenos de 10 y 12 pies al cuadrado cada uno. Si hay 14 terrenos en total, ¿Cuántos terrenos de cada tamaño puede haber?
Un patrón de cuadrados se unen como se ve en la imagen. ¿cuántos cuadrados hay en el $12^{th}$ diagrama? $\;$
En Harrisville, una ley domestica local específica cuántas personas pueden vivir en un departamento o una casa. El número máximo de habitantes es el doble de habitaciones que tenga la casa o departamento, más una persona. Si Jan, Pat y sus cuatro hijos quieren arrendar una casa, ¿cuántas habitaciones debe tener?
Un restaurante celebra cumpleaños de niños a un costo de $120 por los primeros seis niños (incluido el cumpleañero) más $30 por cada niño adicional. Si los padres de Jaden tienen un presupuesto de $200 para gastar en la fiesta, ¿cuántas personas puede invitar Jaden?
Un cine con 200 asientos cobra $8 por entrada general y $5 a los estudiantes. Si la función de las 5:00 se vende completamente y el cine gana $1468, ¿cuántos asientos fueron ocupados por estudiantes?
Oswald trata de tomar menos café. Su meta es tomar 6 tazas a la semana. Si comienza tomando 24 tazas la primera semana, luego toma 21 tazas la segunda semana y 18 tazas la tercera semana, ¿cuántas semanas se demorará en alcanzar su meta?
Taylor pide un libro de la biblioteca y ahora tiene un retraso de 5 días para entregarlo. La tarifa de retraso de 10 centavos por día. ¿cuánto deberá pagar?
Mikhail está llenando un saco con naranjas.
1. Si cada naranja pesa 5 onzas y el saco aguanta 2 libras, ¿cuántas naranjas caerán en el saco antes que reviente?
2. Mikhail planea utilizar estas naranjas hacer batidos de frutas para el desayuno. Si cada batido necesita $\frac{3}{4}$ de una taza y cada naranja llena la mitad de una taza, ¿cuántos batidos puede preparar?
Jessamyn pide un préstamo de $150 de una agencia que le cobra 12% del préstamo original en intereses por semana. Si se demora cinco semanas en pagar el préstamo, ¿cuánto deberá pagar (incluido los intereses)?
¿Cuántas horas se tardará un auto que viaja a 75 millas por hora alcanzar a otro auto que viaja a 55 millas por hora si el último comenzó el viaje dos horas antes?
Grace comienza a andar en bicicleta a 12 millas por hora. Una hora después, Dan comienza a andar en bicicleta a 15 millas por hora, siguiendo la misma ruta. ¿Cuánto se demorará en alcanzar a Grace?
Un nuevo parque temático abre en Milford. En el día de la inaguracion, el parque tiene 120 visitantes; en cada uno de los tres días siguientes el paruqe tiene 10 visitantes más que el día anterior; en los tres días que les siguen, el parque tiene 20 visitantes más que el día anterior.
1. ¿Cuántos visitantes tiene en el séptimo día?
2. ¿Cuántos visitantes en total tendrá el parque en toda la semana?
Lemuel quiere encerrar un terreno triangular con una cerca. Tiene una cerca de 24 pies. ¿Cuánto es el area máxima posible que puede encerrar con esta cerca?
Las pruebas en la clase de historia de Keiko valen 20 puntos cada una. Keiko obtiene 15 y 18 puntos en sus últimos dos pruebas. ¿Cuánto necesita obtener en su tercera prueba para promediar 17 puntos?
Mark es tres años mayor que Janet ynla suma de sus edades es 15. ¿Qué edad tienen Mark y Janet?
En un partido de baloncesto, Jane anotó $1 \frac{1}{2}$ veces los puntos que tuvo Russell. Si ellos dos anotaron 10 puntos, ¿cuántos puntos anotó Jane?
Los científicos siguen a dos grupos de ballenas durante la época migratoria. En el primer día de Junio, un grupo está a 120 millas al norte de un cierto grupo de islas y cada día se acercan 15 millas más a las islas. El 3 de Junio, el segundo grupo está a 160 millas al este de las islas y se acerca a las islas a una velocidad de 20 millas por día.
1. ¿Qué grupo llegará primero y en qué día?
2. ¿Cuánto tiempo después se demorará en llegar el otro grupo?
3. Imagina que el grupo que llega primero a las islas se dirije al sur de la isla inmeditamente a una velocidad de 15 millas por día, y el grupo de llega segundo sigue esa misma dirección a una velocidad de 25 millas. ¿En qué día se encontrarán?
4. ¿Qué distancia habrán recorrido?

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook “CK-12 Texas Instruments Algebra I”, hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este capítulo. Véase: http://www.ck12.org/flexr/chapter/9611 .

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