Propiedades de los Números Racionales

En esta sección, aprenderás a clasificar y simplificar números racionales y sabrás cómo dibujarlos en una recta numérica. También aprenderás a ordenarlos de menor a mayor.

Si quisieras ordenar los números 2, $-\frac{5}{2}$ , y $\frac{5}{2}$ de menor a mayor, ¿cómo lo harías? Una vez que completes esta sección, aprenderás a ordenar números como estos en una recta numérica para compararlos.

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CK-12 Foundation: 0201S Integers and Rational Numbers

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Para graficar números racionales de una manera más fácil, utiliza el generador de rectas numéricas que está en http://themathworksheetsite.com/numline.html . Puedes utilizarla para crear una recta numérica que esté dividida en las unidades que refieras, siempre y cuando las expreses en forma de decimales.

*Programa sólo disponible en inglés

Orientación

Un día, Jason salió de su casa y comenzó a caminar hacia su escuela. Luego de caminar tres cuadras, paró para poder atarse los cordones de sus zapatos y dejó su lonchera en la calle. Cuando avanzó dos cuadras más, se dio cuenta que había olvidado su lonchera y se devolvió para recuperarla. Luego de recogerla, caminó seis cuadras más hasta que llegó a su escuela. ¿A qué distancia está la escuela de la casa de Jason? ¿Cuánto camino Jason para llegar a la escuela?

Grafica y compara enteros

Los enteros son los números que utilizamos para contar (1, 2, 3...), las formas negativas de estos números (-1, -2, -3...), y el cero. Los números enteros llegan al infinito, como por ejemplo 0, 3, 76, -2, -11, y 995.

Ejemplo A

Compara los números 2 y -5.

Cuando ponemos números en una recta numérica, el número mayor es el que está más alejado a la derecha y el menor es que está más alejado a la izquierda.

En el diagrama anterior, podemos ver que el número 2 está más a la derecha que el número -5, por lo que podemos decir que 2 es mayor que -5. Utilizamos el símbolo “ $>$ ” para indicar “mayor que”, por lo que podemos escribir $2 > -5$ .

Clasificación de números racionales

Cuando dividimos un entero $a$ por otro entero $b$ (siempre y cuando $b$ no sea cero) obtenemos un número racional . Se denomina así, porque es la razón de un número y otro, además podemos escribirlo como una fracción $\frac{a}{b}$ . (Debes recordar que el número que está arriba en la fracción se llama numerador y el que está abajo se llama denominador .)

Puedes pensar que un número racional es como un trozo de un pastel. Si cortas el pastel en $b$ trozos, lo que te tocará es $a$ de esos trozos.

Por ejemplo, cuando vemos el número racional $\frac{1}{2}$ , podemos imaginarnos que cortamos el pastel en dos trozos. Nuestra parte será uno de esos dos trozos. Visualmente, el número racional $\frac{1}{2}$ es:

Si tenemos el número racional $\frac{3}{4}$ , debemos cortar el pastel en cuatro trozos y nuestra parte serían tres de esos trozos. Visualmente, el número racional $\frac{3}{4}$ es:

El número racional $\frac{9}{10}$ representa nueve trozos de un pastel que ha sido cortado en 10 partes. Visualmente, el número racional $\frac{9}{10}$ es:

Las fracciones propias son números racionales en donde el numerador es menor que el denominador. Una fracción propia representa un número menor a 1.

Las fracciones impropias son números racionales en donde el numerador es igual o mayor que el denominador. Una fracción impropia se puede escribir como un número mixto –un entero más una fracción propia. Por ejemplo, $\frac{9}{4}$ se puede escribir como $2\frac{1}{4}$ . Una fracción impropia representa un número igual o mayor que uno.

Las fracciones equivalentes son dos fracciones que representan el mismo valor. Por ejemplo, observa la representación visual de los números racionales $\frac{2}{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

Como puedes ver, las partes sombreadas son del mismo tamaño, lo que significa que las dos fracciones son equivalentes. Podemos convertir una fracción en otra simplificando simplificando la fracción o reduciendola. Para hacer esto, debemos escribir los factores primos del numerador y el denominador y suprimir los factores coincidentes que aparezcan en el numerador y el denominador.

$\frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Simplificar la fracción no cambia el valor de esta (solo simplifica la forma en que la escribimos). Una vez que suprimimos todos los factores comunes, la fracción está en su forma más simple .

Ejemplo B

Clasifica y simplifica los siguientes números racionales

a) $\frac{3}{7}$

b) $\frac{9}{3}$

Solución

a) el 3 y el 7 son números primos, por lo que no los podemos dividir. Esto significa que $\frac{3}{7}$ ya es la forma más simple. Además, es una fracción propia.

b) $\frac{9}{3}$ es una fracción impropia, ya que $9 > 3$ . Para simplificarla, debemos dividir el numerador y el denominador y suprimir: $\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} = \frac{3}{1} = 3$ .

Orden de los números racionales

Ordenar números racionales es simplemente enlistarlos de menor a mayor.

Ejemplo C

Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$

Solución

$\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$

Las fracciones simples son fáciles de ordenar, ya que sabemos que, por ejemplo, un medio es mayor que un cuarto y que dos tercios es mayor que un medio. Pero, ¿cómo comparamos fracciones más complejas?

Ejemplo D

¿Qué número es mayor, $\frac{3}{7}$ or $\frac{4}{9}$ ?

Para determinar esto, debemos escribir nuevamente la función para que las podamos comparar con mayor facilidad. Si las reescribimos como fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador las podremos comparar directamente. Para realizar esto, debemos encontrar el mínimo común denominador (MCD) o el múltiplo de menor valor de tengan en común los dos denominadores.

El mínimo común múltiplo de 7 y 9 es 63. Nuestra fracción será representada por una forma dividida en 63 secciones. Esta vez utilizaremos un rectángulo que estará cortado en 9 por $7 = 63$ secciones.

7 dividido en 63 nueve veces, por lo que $\frac{3}{7} = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{27}{63}$ .

Podemos multiplicar el numerador y el denominador por 9, ya que eso es exactamente lo opuesto a simplificar la fracción; es decir, para simplificar $\frac{27}{63}$ a $\frac{3}{7}$ , simplemente debemos dividirlo por 9 o, en términos más formales:

Las fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c \cdot a}{c \cdot b}$ equivalentes siempre y cuando $c \neq 0$ .

Por esto, $\frac{27}{63}$ es una fracción equivalente a $\frac{3}{7}$ . Aquí podemos ver el caso visualmente:

63 se divide 9 siete veces, por lo que $\frac{4}{9} = \frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 9} = \frac{28}{63}$ .

$\frac{28}{63}$ es una fracción equivalente a $\frac{4}{9}$ . Aquí podemos ver el caso visualmente:

Al escribir las fracciones con un denominador común de 63, podemos compararlas fácilmente. Si tomamos las 28 cajas sombreadas (de la imagen de $\frac{4}{9}$ ) y las arreglamos en filas en vez de columnas, podemos ver que cubren más espacio que las 27 cajas de la imagen de $\frac{3}{7}$ :

Solución

Ya que $\frac{28}{63}$ es mayor que $\frac{27}{63}$ , $\frac{4}{9}$ es mayor que $\frac{3}{7}$ .

Graficar y ordenar números racionales

Para dibujar números racionales no-enteros en una recta numérica, podemos convertirlos a números mixtos (graficar es una de las pocas ocasiones en álgebra en que es mejor utilizar número mixtos que fracciones impropias) o podemos convertirlos en números decimales.

Ejemplo E

Dibuja los siguientes números racionales en la recta numérica.

a) $\frac{2}{3}$

b) $-\frac{3}{7}$

Dividimos la recta numérica en sub-intervalos basados en el denominador de la fracción, podemos utilizar el numerador de la fracción para determinar cuántas veces sub-intervalos necesitaremos incluir.

a) $\frac{2}{3}$ está entre 0 y 1. Ya que el denominador es 3, podemos dividir el intervalo de 0 a 1 en tres unidades más pequeñas. Ya que el numerador es 2, podemos contar dos unidades desde 0.

b) $-\frac{3}{7}$ está entre 0 y -1. Dividamos el intervalo en siete unidades y movámonos tres unidades a la izquierda de cero.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Los Enteros (o numeros enteros ) son los números que utilizamos para contar (1, 2, 3, ...), las formas negativas de estos números (-1, -2, -3, ...), y el cero.
Un número racional es la razón entre un entero y otro, como $\frac{3}{5}$ o $\frac{a}{b}$ . El número que está arriba en la fracción se llama numerador y el que está abajo (el cual no puede ser un 0) se llama denominador .
Las fracciones propias son números racionales en donde el numerador es menor que el denominador.
Las fracciones impropias son números racionales en donde el numerador es igual o mayor que el denominador.
Las fracciones equivalentes son dos fracciones que representan el mismo valor. Las fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c \cdot a}{c \cdot b}$ son equivalentes siempre y cuando $c \neq 0$ .
Para simplificar una fracción (escribirla en su forma más simple ), escribe todos los factores primos de el numerador y el denominador, suprime los factores comunes y reconvina.
Para comparar dos fracciones es más fácil utilizar un denominador común. .

Práctica guiada

1. Clasifica y simplifica el número racional $\frac{50}{60}$ .

2. Escribe el número racional $\frac{17}{5}$ en la recta numérica.

Solución

1. $\frac{50}{60}$ es una fracción propia y podemos simplificarla de la siguiente manera: $\frac{50}{60} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$ .

2. $\frac{17}{5}$ convertido en un número mixto es $3\frac{2}{5}$ y está entre 3 y 4. Dividimos el intervalo en cinco unidades y movemos dos unidades.

Otra manera de graficar esta función sería escribirla como un decimal. El número . $3\frac{2}{5}$ es igual a 3,4, así que, en vez de dividir el intervalo de 3 y 4 en 5 unidades, podemos dividirlo en 10 unidades (cada una representa una distancia de 0,1) y luego contar las 4 unidades. De todas maneras, acabaríamos en el mismo lugar en la recta numérica.

Practica

Resuelve el problema planeado en la Introducción.
Las líneas con números en la recta numérica representan enteros equidistantes. Encuentra los valores de $a, b, c, d$ y $e$ .

Para los ejercicios del 3 al 5, determina qué fracción representan las regiones sombreadas.

Para los ejercicios del 6 al 10, ubica los siguientes conjuntos de números racionales en orden (de menor a mayor).

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$
$\frac{1}{10}, \frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{1}{4}, \frac{7}{20}$
$\frac{39}{60}, \frac{49}{80}, \frac{59}{100}$
$\frac{7}{11}, \frac{8}{13}, \frac{12}{19}$
$\frac{9}{5}, \frac{22}{15}, \frac{4}{3}$

Para los ejercicios del 11 al 15, encuentra la forma más simple de escribir los siguientes números racionales.

$\frac{22}{44}$
$\frac{9}{27}$
$\frac{12}{18}$
$\frac{315}{420}$
$\frac{244}{168}$

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