Suma de Números Racionales

En esta sección, aprenderás a calcular la suma y la diferencia de números racionales utilizando las propiedades de la adición y la sustracción.

Si tuvieses dos números como $\frac{5}{8}$ y $\frac{1}{4}$ ¿cómo podrías sumarlos o restarlos? Una vez que completes esta sección, serás capaz de sumar y restar números racionales como los anteriores.

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CK-12 Foundation: 0203S Adding and Subtracting Rational Numbers

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Para más práctica con la adición y sustracción de fracciones, visita los siguientes sitios y resuelve los juegos que ahí aparecen http://www.mathplayground.com/fractions_add.html , http://www.mathplayground.com/fractions_sub.html , y http://www.aaamath.com/fra66kx2.htm .

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Orientación

En la última sección, aprendimos a representar números en una recta numérica. Para añadir los números en la recta numérica, comenzamos en la posición del primer número y nos movemos a la derecha una cantidad de unidades igual al segundo número.

Ejemplo A

Representa la suma $-2 + 3$ en una recta numérica.

Comenzamos con el número -2 y nos movemos 3 unidades a la derecha. Así, nos posicionamos en +1.

Solución

$-2 + 3 = 1$

Ejemplo B

Representa la suma 2 - 3 en una recta numérica.

Sustraer un número básicamente es añadir un número negativo . En vez de movernos a la derecha, lo hacemos a la izquierda. Comenzamos con el número 2 y nos movemos 3 unidades a la izquierda; por lo que, nos posicionamos en -1.

Solución

$2 - 3 = -1$

Suma y resta de números racionales

Cuando sumamos o restamos dos fracciones, estas deben tener el mismo denominador para que podamos realizar la operación. En secciones anteriores, aprendimos a encontrar un denominador común de los números racionales.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{3}{5} + \frac{1}{6}$ .

Para combinar estas fracciones, necesitamos reescribirlas para y asignarles un denominador común. Lo que buscamos es el mínimo común denominador (MCD). Necesitamos identificar el mínimo común múltiplo (MCM) de 5 y 6. Este es el número más pequeño que puede dividir por igual tanto al 5 como al 6 (por supuesto, sin incluir números decimales).

El número más pequeño que puede ser dividido por 5 y 6 es 30. El MCM de 5 y 6 es 30, por lo que el mínimo común denominador de nuestra fracción es 30.

Debemos reescribir nuestras fracciones como nuevas fracciones equivalentes para que ambas tengan el mismo denominador 30.

Si recuerdas nuestra idea del pastel cortado en una cierta cantidad de rebanadas, $\frac{3}{5}$ significa 3 rebanadas de un pastel han sido cortadas en 5 rebanadas. Puedes observar que si cortamos el mismo pastel en 30 trozos (6 veces más) necesitaríamos multiplicar el número de rebanadas que hay por 6, para tener una ecuación equivalente; en otras palabras, tener 18 rebanas en vez de 3.

$\frac{3}{5}$ es equivalente a $\frac{18}{30}$ .

Utilizando el mismo método, podemos reescribir la fracción $\frac{1}{6}$ como una porción de un pastel que ha sido cortado en 30 rebanadas. Si cortamos el pastel cinco veces el número de trozos, necesitamos 5 veces la cantidad de rebanas que tenemos.

$\frac{1}{6}$ es equivalente a $\frac{5}{30}$ .

Nótese que ahora ambas fracciones tienen el mismo denominador; gracias a esto las podemos sumar. Si sumamos 18 rebanadas de torta a 5 rebanadas de torta, obtenemos 23 rebanadas. 23 rebanadas de una torta que ha sido cortada en 30 rebanadas significa que nuestra respuesta es $\frac{23}{30}$ .

$\frac{3}{5} + \frac{1}{6} = \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{23}{30}$

Notese que cuando tenemos fracciones con un mismo denominador, sumamos los numeradores pero no alteramos los denominadores . A continuación, la información que tenemos en términos algebraicos.

Cuando sumamos fracciones: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Hasta el momento, solo hemos trabajados con ejemplos en los cuales es fácil encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Con números más grandes, no es tan fácil estar seguros que existe un MCD. Necesitamos un sistema más sistemático. En el siguiente ejemplo, utilizaremos el método de factores primos para encontrar el mínimo común denominador.

Ejemplo D

Simplifica $\frac{29}{90} - \frac{13}{126}$ .

Para encontrar el mínimo común múltiplo de 90 y 126, primero debemos encontrar los factores primos de 90 y 126. Esto se realiza al dividir los números en factores hasta que ya no podamos dividirlos. Puede que ya hayas visto un árbol de factores. (Para practicar cómo se hacen los árboles de factores, resuelve el juego Factor Tree en la página http://www.mathgoodies.com/factors/prime_factors.html .)

Programa sólo disponible en inglés

El árbol de factores del número 90 es:

El árbol de factores del número 126 es:

El MCM de 90 y 126 está en el conjunto de los números primos más pequeños posibles que nos permite construir cualquiera de los dos números. Solo tomamos suficientes ejemplos de cada primo para crear el número con la mayor cantidad de ejemplos de ese primo en su árbol de factores.

Primo	Factores en 90	Factores en 126	Necesitamos
2	1	1	1
3	2	2	2
5	1	0	1
7	0	1	1

Por lo que, necesitamos un 2, dos 3, un 5 y un 7. Eso nos da $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 630$ como el mínimo común múltiplo de 90 y 126. Por lo que, 630 es el MCD de nuestro ejercicio.

90 divide 630 siete veces (nótese que el 7 es el único factor en 630 que no está en 90), por lo que $\frac{29}{90} = \frac{7 \cdot 29}{7 \cdot 90} = \frac{203}{630}$ .

126 divide 630 cinco veces (nótese que el 5 es el único factor en 630 que no está en 126), por lo que $\frac{13}{126} = \frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 126} = \frac{65}{630}$ .

Ahora completamos el problema: $\frac{29}{90} - \frac{13}{126} = \frac{203}{630} - \frac{65}{630} = \frac{138}{630}$ .

Esta fracción puede simplificarse . Para asegurarnos de encontrar la forma más simple de $\frac{138}{630}$ , escribimos los factores primos del numerador y el denominador. Ya sabemos los factores primos de 630. Los factores primos de 138 son: 2, 3 y 23.

$\frac{138}{630} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 23}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}$ ; un factor de 2 y un factor de 3 se eliminan, lo que nos deja $\frac{23}{3 \cdot 5 \cdot 7}$ o $\frac{23}{105}$ como nuestra respuesta.

Identificar y Aplicar las Propiedades de la Adición

Las tres propiedades matemáticas que involucran la adición son: propiedad conmutativa, propiedad asociativa y el elemento neutro .

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén los números sumados.

Ejemplo: $3 + 2 = 2 + 3$

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén escritos los números sumados.

Ejemplo: $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)$

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al primer número.

Ejemplo: $5 + 0 = 5$

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CK-12 Foundation: Adding and Subtracting Rational Numbers

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Vocabulario

Sustraer o restar un número es lo mismo que sumar el opuesto del número ( inverso aditivo ).
Para sumar fracciones, reescríbelas con su mínimo común denominador . (MCD). El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (MCM) de dos denominadores.
Cuando sumes fracciones: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
Cuando restes fracciones: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números y el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén los números sumados.
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén escritos los números sumados.
Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al primer número.
A veces, el número uno se denomina denominador invisible , ya que todo número entero puede pensarse como un número fraccional que tiene denominador uno.
La diferencia entre dos valores es el cambio en la cantidad.

Práctica guiada

Simplifica $\frac{1}{3} - \frac{1}{9}$ .

Solución:

El mínimo común múltiplo de 9 es 3, por lo que 9 es nuestro denominador común. Esto significa que no necesitamos alterar la segunda fracción.

3 divide 9 tres veces, por lo que: $\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$ . Nuestra suma se convierte en $\frac{3}{9} - \frac{1}{9}$ . Podemos sustraer fracciones con un denominador común al restar sus numeradores, al igual que la adición. En otras palabras:

Cuando restes fracciones: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

Práctica

Escribe la suma que representan los siguientes movimientos en la recta numérica.

En los ejercicios del 2 al 7, suma los siguientes números racionales. Escribe todas las respuestas en su forma más simple: .

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$
$\frac{3}{10} + \frac{1}{5}$
$\frac{5}{16} + \frac{5}{12}$
$\frac{3}{8} + \frac{9}{16}$
$\frac{8}{25} + \frac{7}{10}$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

En los ejercicios del 8 al 14, resta los siguientes números racionales. Asegúrate de escribir tu respuesta en la forma más simple .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$
$\frac{15}{11} - \frac{9}{7}$
$\frac{2}{13} - \frac{1}{11}$
$\frac{7}{27} - \frac{9}{39}$
$\frac{6}{11} - \frac{3}{22}$
$\frac{13}{64} - \frac{7}{40}$
$\frac{11}{70} - \frac{11}{30}$
Considera la ecuación $y = 3x + 2$ . Determina los cambios de $y$ entre $x = 3$ y $x = 7$ .
Considera la ecuación $y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ . Determina los cambios de $y$ entre $x = 1$ y $x = 2$ .

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