Números Racionales en Aplicaciones

En esta sección, aplicarás las propiedades de la adición y la sustracción para resolver problemas de la vida cotidiana que tengan números racionales.

Digamos que envías las invitaciones para una fiesta de cumpleaños a 64 de tus amigos y una semana después $\frac{1}{2}$ confirma su asistencia; dos semanas después, otro confirma su asistencia; en el último minuto, $\frac{1}{4}$ confirma su asistencia; en el último minuto, $\frac{1}{8}$ de las personas que confirmaron su asistencia la primera semana cambian de idea. ¿Cómo puedes determinar la cantidad de amigos que asistirá? Una vez que completes esta sección, será capaz de resolver problemas de la vida diaria como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0204S Solving Real-World Problems with Addition and Subtraction

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Utilicemos las habilidades que aprendimos en la última sección para resolver algunos problemas de la vida diaria.

Ejemplo A

Peter espera participar en un viaje organizado por su escuela con destino a Europa. El pasaje cuesta $2.400. Peter tiene algunos familiares que han ofrecido ayudarlo a costear el costo del pasaje. Sus padres le dijeron que ellos pagarán la mitad del costo del pasaje. Su abuela Zenoviea pagará un sexto y sus abuelos de Florida le enviarán dinero para cubrir un cuarto del pasaje. ¿Qué fracción del costo Peter puede esperar que costeen sus familiares?

La primera cosa que debemos hacer es extraer la información relevante. Los padres de Peter pagarán $\frac{1}{2}$ del costo; su abuela Zenoviea pagará el $\frac{1}{6}$ ; y sus abuelos de Florida $\frac{1}{4}$ . Necesitamos hallar la suma de estos números o $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ .

Para determinar la suma, primero debemos encontrar el MCD. El MCM de 2, 6 y 4 es 12, por lo que este es nuestro MCD. Ahora podemos encontrar fracciones equivalentes:

$\frac{1}{2} &= \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12}\\\\frac{1}{6} &= \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12}\\\\frac{1}{4} &= \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12}$

Al sumarlas, obtenemos: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$ .

La familia de Peter costeará $\frac{11}{12}$ del costo del viaje o $2200 de $2400.

Ejemplo B

Una empresa de administración inmobiliaria compra terrenos para construir una pequeña comunidad de condominios. La empresa compró tres terrenos adyacentes. El primero es de cuatro quintos de un acre; el segundo, cinco duodécimos de un acre y el tercero, diecinueve vigésimos de un acre. La empresa sabe que debe dejar un sexto de un acre para utilidades y una pequeña calle de acceso. ¿Cuál es la cantidad de tierra que queda para construir?

La primera cosa que debemos hacer es extraer la información relevante. Los terrenos miden $\frac{4}{5}, \frac{5}{12},$ y $\frac{19}{20}$ acres y la empresa puede usar todo el territorio, con la excepción de $\frac{1}{6}$ de un acre. Por lo tanto, la cantidad total de tierra que la empresa puede utilizar es $\frac{4}{5} + \frac{5}{12} + \frac{19}{20} - \frac{1}{6}$ acres.

Podemos sumar y restar muchas fracciones a la misma vez si tan solo encontramos un denominador común. Los factores de 5,9; 20 y 6 son:

$&5 \ \qquad 5\\\&12 \qquad 2 \cdot 2 \cdot 3\\\&20 \qquad 2 \cdot 2 \cdot 5\\\&6 \ \qquad 2 \cdot 3$

Necesitamos un 5, dos 2 y un 3 en nuestro MCD. $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ , por lo que 60 es nuestro denominador común. Ahora debemos convertir las fracciones:

$\frac{4}{5} &= \frac{12 \cdot 4}{12 \cdot 5} = \frac{48}{60}\\\\frac{5}{12} &= \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 12} = \frac{25}{60}\\\\frac{19}{20} &= \frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 20} = \frac{57}{60}\\\\frac{1}{6} &= \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 6} = \frac{10}{60}$

Podemos reescribir nuestra suma como $\frac{48}{60} + \frac{25}{60} + \frac{57}{60} - \frac{10}{60} = \frac{48 + 25 + 57 - 10}{60} = \frac{120}{60}$ .

A continuación, debemos simplificar esta fracción. Inmediatamente, podemos ver que el numerador es el doble del denominador, por lo que podemos simplificar esta fracción a $\frac{2}{1}$ simplemente 2. Algunas veces, el número uno se denomina denominador invisible , ya que todo número entero puede pensarse como un número racional que tiene denominador uno.

Solución

La empresa tiene dos acres en los que puede construir.

Evaluar Cambios Utilizando una Expresión Variable

Cuando escribimos expresiones algebraicas para representar una cantidad real, la diferencia entre dos valores es el cambio en tal cantidad.

Ejemplo C

La intensidad de la luz que llega al detector cuando se mantiene a una cierta distancia de la bombilla está expresada en la siguiente ecuación:

$Intensity = \frac{3}{d^2}$

Donde $d$ es la distancia en metros , y la intensidad está expresada en lúmenes . Calcula el cambio en la intensidad cuando el detector se mueve de dos metros a tres metros de distancia.

Primero, debemos encontrar los valores de la intensidad a dos y tres metros.

$\text{Intensity} \ (2) & = \frac{3}{(2)^2} = \frac{3}{4}\\\ \text{Intensity} \ (3) & = \frac{3}{(3)^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

La diferencia en los dos valores son dará el cambio en la intensidad. Nos movemos de dos a tres metros de lejanía.

$\text{Change} = \text{Intensity} \ (3) - \text{Intensity} \ (2) = \frac{1}{3} - \frac{3}{4}$

Para encontrar la respuesta, deberemos reescribir las fracciones con un denominador común para todas.

El MCM de 3 y 4 es 12, por lo que necesitamos reescribir cada fracción con un denominador 12:

$\frac{1}{3} &= \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12}\\\\frac{3}{4} &= \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12}$

Podemos reescribir nuestra ecuación como $\frac{4}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{5}{12}$ . El valor negativo significa que la intensidad disminuyó cuando nos alejamos de 2 a 3 metros.

Solución

Cuando nos alejamos del detector de dos a tres metros, la intensidad disminuye en $\frac{5}{12}$ lúmenes.

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CK-12 Foundation: Solving Real-World Problems Using Addition and Subtraction

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Vocabulario

Sustraer un número es lo mismo que sumar el opuesto del número ( inverso aditivo ).
Para sumar fracciones, reescríbelas con su mínimo común denominador (MCD). El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (MCM) de dos denominadores .
Cuando sumes fracciones: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
Cuando restes fracciones: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números y el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén los números sumados.
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén escritos los números sumados.
Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al primer número.
A veces, el número uno se denomina denominador invisible , ya que todo número entero puede pensarse como un número racional que tiene denominador uno.
La diferencia entre dos valores es el cambio en la cantidad.

Práctica guiada

Elsa horneó un pequeño pastel para su familia. Primero, su hermana comió un cuarto y su mamá, un quinto. ¿Cuánto pastel quedó para Elsa?

Solución:

El pastel completo está representado por 1. Para resolver este problema, debemos restar la fracción de pastel que cada persona comió.

$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}$ .

Para completar este problema, debemos reescribir los términos con denominadores comunes. Ya que los denominadores no tiene ningún factor en común, simplemente los multiplicamos: $4\cdot 3=12$ .

$&1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \qquad \text{Start with the original expression.}\\\=&1\cdot\frac{12}{12}-\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{4} \qquad \text{Give each term a common denominator.} \\\=&\frac{12}{12}-\frac{3}{12}-\frac{4}{12} \qquad \text{Simplify.} \\\= & \frac{12-3-4}{12}=\frac{5}{12}$

Queda $\frac{5}{12}$ del pastel para Elsa.

Practica

¿Qué propiedad que la adición podemos ocupar en los siguientes ejercicios?

Cualquiera sea el orden en que el cajero pasa los alimentos por el lector de barras, el total será el mismo.
Cualquiera sea la cantidad de “paleadas” que se necesitan para mover 1 tonelada de grava, el número de rocas que será transportado será el mismo.
Si Julia no tiene dinero, entonces Mark y Julia tienen la misma cantidad de dinero que Mark tiene por sí solo.

En los ejercicios del 4 al 7, practica tus habilidades de suma y resta.

$\frac{7}{15} + \frac{2}{9}$
$\frac{5}{19} + \frac{2}{27}$
$\frac{5}{12} - \frac{9}{18}$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
Ilana compra dos pasteles de igual tamaño para una fiesta. Corta el pastel de chocolate en 24 trozos y el pastel de vainilla en 20 trozos y deja que los invitados se sirvan solos. Martín toma tres trozos del pastel de chocolate y uno del de vainilla y Sheena toma un trozo del de chocolate y dos del de vainilla. ¿Cuál de los dos se sirvió más pastel?
Nadia, Peter e Ian juntan dinero para comprar un galón de helado. Nadia es la mayor y, por eso, recibe la mayor mesada. Ella paga la mitad del costo. Ian es el del medio y paga un tercio del costo. Peter, el menor, recibe una pequeña mesada y paga un cuarto del valor. Así, ellos creen que tienen el dinero suficiente. Sin embargo, cuando llegan a la registradora, se acuerdan del impuesto a las ventas y temen que no les va a alcanzar el dinero. Afortunadamente, el dinero les alcanza justo para el valor total del helado. ¿Qué fracción del costo del helado se añadió como impuesto?
El tiempo que toma viajar desde San Diego a Los Ángeles está expresado en la ecuación $time = \frac{120}{speed}$ donde el tiempo está expresado en horas y la velocidad en millas por hora (mph). Calcula el cambio en tiempo que una persona que viaja en las horas punta observará cuando, en vez de viajar en bus, viaja en tren, si el bus viaja a 40 mph y el tren a 90mph.

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