Multiplicación de Números Racionales

En esta sección, aprenderás a calcular y simplificar expresiones racionales que tengan multiplicación. También aprenderás a identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación.

Si tuvieses dos números como $\frac{5}{6}$ y $\frac{2}{5}$ ¿cómo los podrías multiplicar para que tu respuesta esté expresada en la forma más simple? Una vez que completes esta sección, podrás resolver problemas con multiplicaciones como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0205S Multiplying Rationals

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Para más práctica con la multiplicación de fracciones, resuelve el juego de fracciones en http://www.aaamath.com/fra66mx2.htm , o en http://www.mathplayground.com/fractions_mult.html .

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Orientación

Siempre que multiplicamos un número por -1, el signo del número cambia. En términos más matemáticos, multiplicar cualquier número por -1, convierte el número en su opuesto. La siguiente recta numérica nos muestra dos ejemplos: $3 \cdot -1 = 3$ y $-1 \cdot -1 = 1$ .

Cuando multiplicamos un número por -1, el valor absoluto del nuevo número es el mismo del antiguo, ya que los dos números están a la misma distancia de cero.

El producto de un número “ $x$ ” y -1 es $-x$ . ¡Esto no significa que $-x$ necesariamente es menor que cero! Si $x$ por sí mismo es negativo, entonces $-x$ será positivo, ya que un número negativo por otro número negativo resulta en un número positivo.

Cuando multiplicas una expresión por -1, recuerda multiplicar toda la expresión por -1.

Ejemplo A

Multiplica los siguientes ejercicios por -1.

a) 79.5

b) $\pi$

c) $(x + 1)$

d) $| x |$

Solución

a) -79.5

b) $-\pi$

c) $-(x + 1) \ \text{or} \ -x - 1$

d) $-| x |$

Nótese que, en el último caso, el signo negativo fuera del valor absoluto se aplica después del valor absoluto. Multiplicar el argumento argumento de una ecuación de valor absoluto (el término dentro del símbolo de valor absoluto) no cambia el valor absoluto. $| x |$ es siempre positivo. $| -x |$ es siempre positivo. $-| x |$ es siempre negativo.

Cada vez que trabajes con expresiones, puedes comprobar tus respuestas al sustituir las variables por los números. Por ejemplo, puedes comprobar la parte $d$ el Ejemplo 1 al sustituir $x = -3$ . Luego verás que $| -3 | \neq -| 3 |$ , porque $| -3 | = 3$ y $-| 3 | = -3$ .

¡Cuidado, al sustituir los números podrás saber si tu respuesta es incorrecta, pero no te asegura saber si tu respuesta es la correcta!

Multiplicar números racionales

Ejemplo B

Simplificar $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$ .

Una manera de resolver esto es pensar en dinero. Por ejemplo, sabemos que tercio de sesenta dólares se escribe $\frac{1}{3} \cdot \$ 60$ . Podemos leer el ejemplo como un tercio y dos quintos . A continuación, una imagen de las fracciones un tercio y dos quintos .

Si dividimos horizontalmente nuestro rectángulo en tres partes y verticalmente en cinco partes, obtenemos:

Aquí está la intersección de las los regiones sombreadas. La figura ha sido dividida horizontalmente en tres piezas y verticalmente en cinco. Tenemos dos piezas de un total de quince piezas.

Solución

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

Nótese que $1 \cdot 2 = 2$ y $3 \cdot 5 = 15$ . En general, esto es verdad. Cuando multiplicas números racionales, debes multiplicar los numeradores y después los denominadores. O, de forma más formal:

Cuando multipliques fracciones: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Esta regla no solo se utiliza para el producto de dos fracciones, sino que para cualquier conjunto de fracciones.

Ejemplo C

Calcula y simplifica $\frac{12}{25} \cdot \frac{35}{42}$ .

Solución

Podemos ver que 12 y 42 son múltiplos de seis, 25 y 35 son múltiplos de cinco y 35 y 42 son múltiplos de siete. Esto significa que podemos escribir el ejercicio como $\frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{6 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}$ . Luego, podemos suprimir los 5, los 6 y los 7; lo que nos deja $\frac{2}{5}$ .

Identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación

Las cuatro propiedades matemáticas de la multiplicación son propiedad conmutativa, propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad Distributiva .

CPropiedad conmutativa: Cuando multiplicas dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que los números estén.

Ejemplo: $4 \cdot 2 = 2 \cdot 4$

A la derecha, podemos ver una interpretación geométrica de la propiedad conmutativa de la multiplicación. El área de la figura $(length \times width)$ es la misma sin importar el sentido de orientación en el cual la dibujemos.

Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén los números.

Ejemplo: $2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4$

Elemento neutro: La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el primer número.

Ejemplo: $5 \cdot 1 = 5$

Propiedad Distributiva: la multiplicación de un número y la suma de dos números es igual al primer número por el segundo número más el primer número por el tercer número.

Ejemplo: $4(6 + 3) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot 3$

Ejemplo D

Un jardinero planta vegetales para la temporada de cultivo que se aproxima. Desea plantar patatas y debe decidir si plantarlas en un terreno de $8 \times 7$ metros o en dos terreno más pequeños de $3 \times 7$ y $5 \times 7$ metros. ¿Con cuál de las opciones podrá sembrar una mayor cantidad de patatas?

Solución

En la primera opción, el jardinero tiene un área tota de $(8 \times 7)$ o 56 metros cuadrados para sembrar.

En la segunda opción, el jardinero tiene $(3 \times 7)$ o 21 metros cuadrados, más $(5 \times 7)$ o 35 metros cuadrados. $21 + 35 = 56$ , por lo que el área de esta opción es la misma que la primera.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Multiplying Rational Numbers

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Vocabulario

Cuando multiplicas una expresión por -1, recuerda multiplicar toda la expresión por -1.

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y los denominadores por separado: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

La propiedades de la multiplicación son:

Propiedad conmutativa: Cuando multiplicas dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que los números estén. Ejemplo: $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$
Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que estén los números. Ejemplo: $2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4$
Elemento neutro: La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el primer número. Ejemplo: $2 \cdot 1 = 2$
Propiedad Distributiva: la multiplicación de un número y la suma de dos números es igual al primer número por el segundo número más el primer número por el tercer número. Ejemplo: $4(2 + 3) = 4(2) + 4(3)$

Práctica guiada

Multiplica los siguientes números racionales:

a) $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9}$

b) $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5}$

c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Solución

a) En este problema, podemos suprimir los cincos: $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{2}{9}$ .

b) En este problema, debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores :

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{4}{105}$

c) En este problema, debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores y luego podemos suprimir la mayoría de ellos. Podemos suprimir los 2, los 3 y los 4, lo que nos deja $\frac{1}{5}$ .

Con la multiplicación de fracciones, podemos simplificar antes o después de multiplicar. El siguiente ejemplo utiliza factores para ayudarnos a simplificar antes de multiplicar

Practica

En los ejercicios del 1 al 4, multiplica las siguientes expresiones por -1 .

25
-105
$x^2$
$( 3 + x)$

En los ejercicios del 5 al 10, multiplica los siguientes números racionales. Escribe tu respuesta en la forma más simple .

$\frac{5}{12} \times \frac{9}{10}$
$\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$
$\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}$
$\frac{15}{11} \times \frac{9}{7}$
$\frac{1}{13} \times \frac{1}{11}$
$\frac{12}{15} \times \frac{35}{13} \times \frac{10}{2} \times \frac{26}{36}$

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