División de Números Racionales

En esta sección, aprenderás a encontrar los inversos multiplicativos de un número racional. Además, aprenderás a calcular y simplificar expresiones racionales que tengan división.

Si tuvieses dos números como $\frac{6}{5}$ y $\frac{2}{5}$ ¿cómo puedes dividir el primero por el segundo y que tu respuesta esté expresada en la forma más simple? Una vez que completes esta sección, podrás resolver problemas con divisiones como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0206S Dividing Rationals

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Para más práctica dividiendo fracciones, resuelve el juego en http://www.aaamath.com/div66ox2.htm o en http://www.mathplayground.com/fractions_div.html .

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Orientación

Un elemento neutro es un número el cual, cuando se combina en una operación matemática con otro número, no cambia el número inicial. Por ejemplo el elemento neutro de la suma y la resta es el cero , ya que cuando se suma o se resta un cero a otro número no cambia el número inicial. También, obtienes como resultado cero cuando sumas a un número con su opuesto, como 3 y -3.

Inverso multiplicativo

La operación inversa de la suma es la resta (cuando sumas un número a otro y luego restas el mismo número, terminas obteniendo el número original). También, sumar un número opuesto a otro es lo mismo que restarlo; por ejemplo, $4 + (-3)$ es lo mismo que $4 - 3$ .

La multiplicación y la división también son operaciones inversas (cuando multiplica un número por otro y luego divides por el mismo número, terminas obteniendo el número original). La multiplicación y la división también tienen un elemento neutro, ya que cuando multiplicas o divides un número por uno , el número original se mantiene igual.

Tal como puedes sumar un número más su opuesto y obtener como resultado cero al multiplicar un número y su reciproco obtendrás uno. Finalmente, al igual que al sumar un número y un opuesto es lo mismo que restar, multiplicar un número y un opuesto es dividir por el opuesto.

El recíproco de un número $x$ se llama el inverso multiplicativo . Cualquier número que se multiplique por su inverso multiplicativo será igual a uno y el inverso multiplicativo de $x$ se escribe $\frac{1}{x}$ .

Para encontrar el inverso multiplicativo de un número racional, simplemente debemos invertir la fracción: es decir, darla vuelta. En otras palabras:

El inverso multiplicativo de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$ , siempre y cuando $a \neq 0$ .

Entenderás el por qué de esto en el siguiente ejercicio.

Ejemplo A

Encuentra el inverso multiplicativo de los siguientes ejercicios.

a) $\frac{3}{7}$

b) $\frac{4}{9}$

c) $3\frac{1}{2}$

d) $-\frac{x}{y}$

e) $\frac{1}{11}$

Solución

a) Al invertir la fracción $\frac{3}{7}$ , obtenemos $\frac{7}{3}$ . Nótese que si multiplicamos $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$ , podemos suprimir los 3 y los 7 y obtenemos $\frac{1}{1}$ , o solo 1.

b) De forma similar, el inverso de $\frac{4}{9}$ es $\frac{9}{4}$ ; si multiplicamos la fracción, podemos suprimir los 4 y los 9, por lo que obtenemos 1. Es por esto que la regla de “invertir la fracción para encontrar el inverso multiplicativo” funciona; siempre se suprimen el numerador y el denominador, lo que nos da como resultado 1.

c) Para encontrar el inverso multiplicativo de $3\frac{1}{2}$ primero debemos convertirla a una fracción impropia. Tres enteros es seis mitades, por lo que $3\frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ . Eso significa que el inverso es $\frac{2}{7}$ .

d) No permitas que el signo negativo te confunda. ¡El inverso multiplicativo de un número negativo también es un número negativo! Solamente ignora el signo negativo y da vuelta la fracción.

El inverso multiplicativo de $-\frac{x}{y}$ is $-\frac{y}{x}$ .

e) El inverso multiplicativo de $\frac{1}{11}$ es $\frac{11}{1}$ , o simplemente 11.

Mira nuevamente el último ejemplo. Cuando multiplicamos el inverso multiplicativo de $\frac{1}{11}$ obtuvimos un número entero, 11. Esto se debe que podemos tratar este número entero como una fracción si ponemos un 1 en el denominador. Cualquier número, incluso uno irracional, puede ser tratado de esta manera, por lo que siempre podemos encontrar el inverso multiplicativo de un número de esta manera.

Dividir números racionales

Anteriormente, mencionamos que multiplicar por el recíproco de un número es lo mismo que dividir el número. Así es como podemos dividir números racionales: para dividir por un número racional, solo hay multiplicar por el reciproco del número. En términos más formales:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}.$

Ejemplo B

Divide los siguientes números racionales, escribe tu respuesta de manera simplificada .

a) $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$

b) $\frac{7}{3} \div \frac{2}{3}$

c) $\frac{x}{2} \div \frac{1}{4y}$

d) $\frac{11}{2x} \div \left ( -\frac{x}{y} \right )$

Solución

a) Remplaza $\frac{1}{4}$ con $\frac{4}{1}$ y multiplica: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$ .

b) Remplaza $\frac{2}{3}$ con $\frac{3}{2}$ y multiplica: $\frac{7}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{7}{2}$ .

c) $\frac{x}{2} \div \frac{1}{4y} = \frac{x}{2} \times \frac{4y}{1} = \frac{4xy}{2} = \frac{2xy}{1} = 2xy$

d) $\frac{11}{2x} \div \left ( -\frac{x}{y} \right ) = \frac{11}{2x} \times \left ( -\frac{y}{x} \right ) = -\frac{11y}{2x^2}$

Resuelve problemas de la vida cotidiana utilizando la división

Velocidad, distancia y tiempo

Un objeto que se mueve a una cierta velocidad recorrerá una distancia fija en un cierto tiempo . velocidad, la distancia y el tiempo están relacionados en la ecuación: $\text{Speed} = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}}$ .

Ejemplo C

Anne corre una milla y media en un cuarto de hora. ¿A qué velocidad corre? (escriba la respuesta en mph)

Solución

Ya tenemos la distancia y el tiempo en las unidades de medida correctas (millas y horas), por lo que debemos escribirlas como fracciones e insertarlas en la ecuación.

$\text{Speed} = \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Anne corre a 6 millas por hora.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

El inverso multiplicativo de un número es el número que produce 1 cuando se multiplica por el número original. El inverso multiplicativo de $x$ es el recíproco $\frac{1}{x}$ . Para encontrar los inversos multiplicativos de una fracción, simplemente invierte la fracción: : $\frac{a}{b}$ se invierte a $\frac{b}{a}$ .

Para dividir fracciones, invierte el divisor y multiplica: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Un objeto que se mueve a una cierta velocidad recorrerá una distancia fija en un cierto tiempo . La velocidad, la distancia y el tiempo están relacionados en la ecuación $\text{Speed} = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}}$ .

Práctica guiada

Divide los siguientes números racionales, escribe tu respuesta de manera simplificada .

a) $\frac{3}{10} \div \frac{7}{5}$

b) $\frac{9x}{5} \div \frac{9}{5}$

Solución

a) Remplaza $\frac{7}{5}$ con $\frac{5}{7}$ y multiplica: $\frac{3}{10} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{70} =\frac{3}{10}$ .

b) Remplaza $\frac{9}{5}$ con $\frac{5}{9}$ y multiplica: $\frac{9x}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{45x}{45} = x$ .

Practice

En los ejercicios del 1 al 5, encuentra el inverso multiplicativo de los siguientes ejercicios.

100
$\frac{2}{8}$
$-\frac{19}{21}$
7
$-\frac{z^3}{2xy^2}$

En los ejercicios del 6 al 10, divide los siguientes números racionales. Escribe tu respuesta de manera simplificada.

$\frac{5}{2} \div \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \div \frac{7}{9}$
$\frac{5}{11} \div \frac{6}{7}$
$\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$
$-\frac{x}{2} \div \frac{5}{7}$

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