Propiedad Distributiva

En esta sección, aprenderás a utilizar la Propiedad Distributiva para simplificar expresiones que tengan números racionales y problemas de la vida cotidiana.

Si tuvieses una expresión que tiene suma y resta como $(2x^2 - 4)$ y quisieras multiplicarla por un número como $\frac{1}{2}$ ¿cómo lo calcularías? Una vez que completes esta sección, serás capaz de utilizar la Propiedad Distributiva para resolver problemas como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0208S The Distributive Property (H264)

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Para más práctica sobre cómo utilizar la Propiedad Distributiva, juega el juego Battleship en la página http://www.quia.com/ba/15357.html .

*Programa sólo disponible en inglés.

Orientación

Al final del año escolar, un profesor de escuela primaria arma una pequeña bolsa con regalos para cada uno de sus estudiantes. Cada bolsa tiene una fotografía con todos los alumnos de la clase, dos regalitos y cinco caramelos. El profesor tiene 28 estudiantes. ¿Cuál es la cantidad de cada artículo que el profesor necesita?

Utilitizar la Propiedad Distributiva

Cuando tenemos un problema como el de la introducción, podemos utilizar, la Propiedad Distributiva para resolverlo. Primero, podemos escribir una expresión para indicar los artículos que contiene cada bolsa: artículos = (fotografía + 2 regalitos + 5 caramelos), o simplemente $I = ( p + 2f + 5c)$ .

Para los 28 estudiantes, el profesor necesitará 28 veces el número de artículos de los artículo que indica la expresión anterior, así que $I = 28( p + 2f + 5c)$ .

Luego, la Propiedad Distributiva de la Multiplicación nos dice que cuando tenemos un término que se multiplica por la suma de varios términos, podemos reescribirla al multiplicar el término individual por cada uno de los otros términos. En otras palabras, $28(p + 2f + 5c) = 28(p) + 28(2f) + 28(5c)$ , (p=f / 2f=2reg / 5c=5car), lo que podemos simplificar como $28p + 56f + 140c$ . (p=f / f=reg / c=car). Por lo que, el profesor necesita 28 copias de una fotografía con todos los alumnos de la clase, 56 regalitos y 140 caramelos.

Puedes ver por qué la Propiedad Distributiva funciona si miras un ejercicio simple que tenga números dentro de paréntesis y si consideras el Orden de las Operaciones .

Ejemplo A

Determina el valor de 11(2 - 6) utilizando tanto el Orden de las Operaciones como la Propiedad Distributiva .

Solución

El Orden de las Operaciones nos indica que primero hay que calcular la cantidad dentro de un paréntesis:

$11(2 - 6) = 11(-4) = -44$

Ahora, utilicemos la Propiedad Distributiva:

$11(2 - 6) = 11(2) - 11(6) = 22 - 66 = -44$

Nota: Cuando utilices la Propiedad Distributiva, ¡ DEBES tener en cuenta los signos negativos!

Ejemplo B

Utiliza la Propiedad Distributiva para calcular los siguientes ejercicios.

a) $11(2x + 6)$

b) $\frac{2x}{7} \left ( 3y^2 - \frac{11}{xy} \right )$

Solución

a) $11(2x + 6) = 11(2x) + 11(6) = 22x + 66$

b) $\frac{2x}{7} \left ( 3y^2 - \frac{11}{xy} \right ) = \frac{2x}{7} (3y^2) + \frac{2x}{7} \left (- \frac{11}{xy} \right ) = \frac{6xy^2}{7} - \frac{22x}{7xy}$

Podemos simplificar esta respuesta anulando las $x$ ela segunda fracción y obtenemos: $\frac{6xy^2}{7} - \frac{22}{7y}$ .

Identifica Expresiones que Requieran la Propiedad Distributiva

La Propiedad Distributiva también puede aparecer en expresiones que no tengan paréntesis. En la sección 1.2, podemos ver que las líneas fraccionarias actúan como símbolos de agrupación. Ahora, veremos cómo utilizar la Propiedad Distributiva con fracciones.

Ejemplo C

Simplifica las siguientes fracciones.

a) $\frac{2x + 8}{4}$

b) $\frac{9y - 2}{3}$

Solución

Aunque estas expresiones no estén escritas en la manera que usualmente asociamos la Propiedad Distributiva, recuerda que tratamos el numerador de una fracción como si estuviese es paréntesis y eso significa que en este ejemplo podemos utilizar la Propiedad Distributiva.

a) $\frac{2x + 8}{4}$ podemos rescribirla como $\frac{1}{4} (2x + 8)$ . Luego, podemos distribuir el $\frac{1}{4}$ :

$\frac{1}{4}(2x + 8) = \frac{2x}{4} + \frac{8}{4} = \frac{x}{2} + 2$

b) $\frac{9y - 2}{3}$ podemos rescribirla como $\frac{1}{3}(9y - 2)$ , y luego podemos distribuir el $\frac{1}{3}$ :

$\frac{1}{3} (9y - 2) = \frac{9y}{3} - \frac{2}{3} = 3y - \frac{2}{3}$

Resolución de Problemas Cotidianos Utilizando la Propiedad Distributiva

La Propiedad Distributiva es una de las propiedades matemáticas más comunes que se usa en la vida cotidiana. Cada vez que tenemos dos o más grupos de objetos, podemos utilizar la Propiedad Distributiva para ayudarnos a encontrar uno que desconocemos.

Ejemplo D

Cada estudiante en una excursión al bosque necesita un kit para emergencias. El kit contiene una linterna, un botiquín, y raciones de comida para emergencias. Las linternas cuestan $12 cada una, los botiquines cuestan $7 cada uno y las raciones de comida cuestan $2 y duran un día. Hay un presupuesto de $500 y 17 estudiantes. ¿Cuántos días de raciones de comida se entregan en cada kit?

La cantidad que desconocemos en este problema es el número de días de raciones. Esto se expresará con la variable $x$ .

Cada kit contiene una linterna que cuesta $12, un botiquín que cuesta $7 y $x$ raciones de comida que cuestan $2, por un costo total de $(12 + 7 + 2x)$ dólares. Por lo tanto, 17 kits costarán: $17(12 + 7 + 2x)$ dólares.

En esta expresión, podemos utilizar la Propiedad Distributiva:

$17(12 + 7 + 2x) = 204 + 119 + 34x$

Ya que el presupuesto es de $500, podemos igualar la expresión con 500 y encontrar el valor de la variable $x$ . (En la siguiente unidad, aprenderás en más detalle a resolver ecuaciones como esta.)

$204 + 119 + 34x & = 500\\\323 + 34x & = 500\\\323 + 34x - 323 & = 500 -323\\\34x & = 177\\\\frac{34x}{34} & = \frac{177}{34}\\\x & \approx 5.206$

Ya que esto representa el número de días para cada ración de comida, debemos redondear al número entero menor más cercano . No tenernos el dinero suficiente para comprar raciones para seis días.

Solución

Se pueden comprar raciones de comida para cinco días para cada kit de supervivencia.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: The Distributive Property

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Vocabulario

Propiedad Distributiva el producto de un número y la suma de dos números es igual al primer número por el segundo número más el primer número por el tercer númer.
Cuando utilices la Propiedad Distributiva, ¡ DEBES tener en cuenta los signos negativos!

Práctica guiada

Simplifica las siguientes expresiones:

a) $7(3x - 5)$

b) $\frac{2}{7} (3y^2 - 11)$

c) $\frac{z + 6}{2}$

Solución:

a) Nótese el signo negativo en el segundo término.

$7(3x - 5) = 21x - 35$

b) $\frac{2}{7} (3y^2 - 11) = \frac{2}{7} (3y^2) + \frac{2}{7}(-11) = \frac{6y^2}{7} - \frac{22}{7}$ , or $\frac{6y^2 - 22}{7}$

c) Reescribe $\frac{z + 6}{2}$ como $\frac{1}{2} (z + 6)$ , y distribuye $\frac{1}{2}$ :

$\frac{1}{2}(z + 6) = \frac{z}{2} + \frac{6}{2} = \frac{z}{2} + 3$

Práctica

En los ejercicios del 1 al 7, utiliza la Propiedad Distributiva para simplificar las siguientes expresiones.

$(x + 4) - 2(x + 5)$
$\frac{1}{2} (4z + 6)$
$(4 + 5) - (5 + 2)$
$x(x + 7)$
$y(x + 7)$
$x \left ( \frac{3}{x} + 5 \right )$
$xy \left ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} \right )$

En los ejercicios del 8 al 15, utiliza la Propiedad Distributiva para remover los paréntesis de las siguientes expresiones.

$\frac{1}{2}(x - y) - 4$
$0.6(0.2x + 0.7)$
$6 + (x - 5) + 7$
$6 - (x - 5) + 7$
$4(m + 7) - 6 (4 - m)$
$-5(y - 11) + 2y$
$-(x - 3y) + \frac{1}{2}(z + 4)$
$\frac{a}{b} \left ( \frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{b}{5} \right )$

En los ejercicios del 16 al 23, utiliza la Propiedad Distributiva para simplificar las siguientes fracciones.

$\frac{8x + 12}{4}$
$\frac{9x + 12}{3}$
$\frac{11x + 12}{2}$
$\frac{3y + 2}{6}$
$- \frac{6z - 2}{3}$
$\frac{7 - 6p}{3}$
$\frac{3d - 4}{6d}$
$\frac{12g + 8h}{4gh}$
Un librero tiene cinco repisas y cada repisa tiene siete libros de poesía y once novelas. ¿Cuántos libros de poesía y cuántas novelas tiene el libero?
Amar está horneando grandes galletas navideñas para sus amigos de la escuela. Hornea cada galleta con 6 onzas de mezcla para galletas y las decora con nueces de macadamia. Si Amar tiene 5 libras de mezcla para galletas y 60 nueces de macadamia, calcula lo siguiente.
1. ¿Cuántas galletas (enteras) puede preparar?
2. ¿Qué cantidad de nuez de macadamia puede poner en cada galleta, si en todas debe poner la misma cantidad?
3. Si cada mezcla de galletas tiene 4 tazas de harina y una de azúcar, ¿cuánta harina y cuánta azúcar ocupó Amar para hornear las 5 libras de mezcla de galletas?

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