Raíces Cuadradas y Números Irracionales

En esta sección, aprenderás a encontrar y aproximar raíces cuadradas. También, aprenderás a simplificar expresiones que tengan raíces cuadradas.

Si tuvieses un número como 1000, ¿cómo puedes saber cuál es su raíz cuadrada? Una vez que completes esta sección, podrás calcular la raíz cuadrada de un número tanto a mano como con calculadora.

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CK-12 Foundation: 0209S Square Roots (H264)

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También, puedes calcular la raíz cuadrada utilizando solo un lápiz y un papel utilizando un método más largo de división. (Para una explicación sobre este método visita la página http://www.homeschoolmath.net/teaching/square-root-algorithm.php )

Orientación

La raíz cuadrada de un número es cualquier otro número que, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado el primer número. En otras palabras, si $a = b^2$ , podemos decir que $b$ es la raíz cuadrada de $a$ .

Nota: Tanto los números negativos y los positivos tienen resultados positivos cuando se elevan al cuadrado, así que cada número positivo tiene una raíz cuadrada positiva y una negativa. (Por ejemplo, tanto el 3 como el -3 pueden elevarse al cuadrado y dar 9). La raíz cuadrada positiva de un número se denomina raíz cuadrada principal .

La raíz cuadrada de un número $x$ se escribe $\sqrt{x}$ o , a veces $\sqrt[2]{x}$ . El símbolo $\sqrt{\;\;}$ a veces se denomina signo radical .

Los números con raíces cuadradas que son números enteros se llaman cuadrados perfectos . A continuación, les mostramos los primeros cinco cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16, y 25).

Puedes determinar si un número es un cuadrado perfecto observando sus factores primos. Si cada número que aparece en el árbol de factores aparece un número par de veces, el número es un cuadrado perfecto. Para encontrar la raíz cuadrada de un número, simplemente toma uno de cada conjunto par de factores y multiplícalos.

Ejemplo A

Encuentra la raíz cuadrada principal de cada uno de estos cuadrados perfectos.

a) 121

b) 225

c) 324

Solución

a) $121 = 11 \times 11$ , por lo que $\sqrt{121} = 11$ .

b) $225 = (5 \times 5) \times (3 \times 3)$ , por lo que $\sqrt{225} = 5 \times 3 = 15$ .

c) $324 = (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3)$ , por lo que $\sqrt{324} = 2 \times 3 \times 3 = 18$ .

Para adquirir más práctica sobre encontrar las raíces cuadradas de los números, intenta jugar el juego Flash en http://www.quia.com/jg/65631.html .

*Programa sólo disponible en inglés

Cuando hay algunos factores primos que no están en pares, “factorizamos” aquellos que están en pares (los sacamos del radical) y el resto lo dejamos dentro del radical. Escribimos la respuesta como $a \sqrt{b}$ , donde $a$ es el producto de la mitad de los factores que estaban en pares, los cuales sacamos del radical, y $b$ es el producto de los factores que quedaron dentro del radical.

Ejemplo B

Encuentra la raíz cuadrada principal de los siguientes números.

a) 8

b) 48

c) 75

Solución

a) $8 = 2 \times 2 \times 2$ . Esto nos da un par de 2 y nos deja un 2 sobrante, así que $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

b) $48 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times 3$ , así que $\sqrt{48} = 2 \times 2 \times \sqrt{3}$ , o $4 \sqrt{3}$ .

c) $75 = (5 \times 5) \times 3$ , así que $\sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$ .

Nótese que, en el último ejemplo, primero agrupamos los factores primeros que estaban en pares y luego agrupamos los factores que no estaban en pares y los dejamos dentro del radical. A continuación, las cuatro reglas que se deben seguir cuando se trabaja con raíces cuadradas.

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$A \sqrt{a} \times B \sqrt{b} = AB \sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\frac{A \sqrt{a}}{B \sqrt{b}} = \frac{A}{B} \sqrt{\frac{a}{b}}$

Ejemplo C

Simplifica los siguientes problemas de raíces cuadradas

a) $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$

b) $3 \sqrt{4} \times 4 \sqrt{3}$

c) $\sqrt{12} \ \div \sqrt{3}$

d) $12 \sqrt{10} \div 6 \sqrt{5}$

Solución

a) $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$

b) $3 \sqrt{4} \times 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{12} = 12 \sqrt{(2 \times 2) \times 3} = 12 \times 2 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3}$

c) $\sqrt{12} \ \div \sqrt{3} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

d) $12 \sqrt{10} \div 6 \sqrt{5} = \frac{12}{6} \sqrt{\frac{10}{5}} = 2 \sqrt{2}$

Aproximar raíces cuadradas

Los términos como $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ y $\sqrt{7}$ (raíces cuadradas de números primos) no se pueden escribir como números racionales . Es decir, no se pueden expresar como la razón de dos números enteros. Los llamamos números irracionales . En forma decimal, tienen una fila infinita, aparentemente al azar, de números luego de la coma decimal.

Para encontrar los valores aproximados de las raíces cuadradas, utilizamos los botones $\sqrt{\;\;}$ o $\sqrt{x}$ de una calculatoria. Cuando el número que ingresamos es un cuadrado perfecto o el cuadrado de un número racional, obtendremos una respuesta exacta. Cuando el número no es un cuadrado perfecto, la respuesta será un número irracional y se verá como una serie de números aleatorios. Ya que la calculadora solo nos puede enseñar una cierta cantidad de la serie infinita de números que están en la respuesta, realmente solo nos está mostrando una respuesta aproximada no es exactamente la respuesta correcta, sino que es lo más cercano a la respuesta.

Ejemplo D

Utiliza una calculadora para calcular las siguientes raíces cuadradas. Solo escribe los primeros tres decimales.

a) $\sqrt{99}$

b) $\sqrt{5}$

c) $\sqrt{0.5}$

d) $\sqrt{1.75}$

Solución

a) $\approx 9.950$

b) $\approx 2.236$

c) $\approx 0.707$

d) $\approx 1.323$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Square Roots

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Vocabulario

La raíz cuadrada de un número que da como resultado el número original si se multiplica por sí mismo. En términos algebraicos, para los números $a$ y $b$ , si $a = b^2$ , entonces $b = \sqrt{a}$ .
Una raíz cuadrada puede tener dos valores posibles: un valor positivo denominado raíz cuadrada principal , y un valor negativo (el opuesto del valor positivo).
Un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un entero.
Algunas propiedades matemáticas de las raíces cuadradas son:
- $\sqrt{a} \ \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
- $A \sqrt{a} \ \times B \sqrt{b} = AB \sqrt{ab}$
- $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a}{b}}$
- $\frac{A\sqrt{a}}{B \sqrt{b}} = \frac{A}{B} \sqrt{\frac{a}{b}}$
Las raíces cuadradas que no son cuadrados perfectos (o razón de cuadrados perfectos) son números irracionales . No se pueden escribir como un número racional (la razón de dos enteros). En forma decimal, tienen una fila infinita, aparentemente al azar, de números luego de la coma decimal.
Ingresar una raíz cuadrada en una calculadora resultará en una solución aproximada , ya que la calculadora solo muestra una determinada cantidad de números luego de la coma decimal.

Práctica guiada

Encuentra la raíz cuadrada de.

a) 576

b) 216

Solución

a) $576 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3)$ , por lo que $\sqrt{576} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$ .

b) $216 = (2 \times 2) \times 2 \times (3 \times 3) \times 3$ , por lo que $\sqrt{216} = 2 \times 3 \times \sqrt{2 \times 3}$ , o $6 \sqrt{6}$ .

Practica

En los ejercicios del 1al 10, calculas las siguientes raíces cuadradas de forma exacta sin utilizar calculadora , escribe tu respuesta de manera simplificada.

$\sqrt{25}$
$\sqrt{24}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{200}$
$\sqrt{2000}$
$\sqrt{\frac{1}{4}}$ (Pista: ¡Las reglas de la división que aprendiste se pueden aplicar de forma inversa!)
$\sqrt{\frac{9}{4}}$
$\sqrt{0.16}$
$\sqrt{0.1}$
$\sqrt{0.01}$

En los ejercicios del 11 al 20, utiliza una calculadora para calcular las siguientes raíces cuadradas. Solo escribe los primeros dos decimales.

$\sqrt{13}$
$\sqrt{99}$
$\sqrt{123}$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2000}$
$\sqrt{.25}$
$\sqrt{1.35}$
$\sqrt{0.37}$
$\sqrt{0.7}$
$\sqrt{0.01}$

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