Las Propiedades de los Números Racionales en Contraste a Los Números Irracionales

En esta sección, aprenderás a diferenciar los números racionales de los irracionales. También, aprenderás a clasificar y ordenar los números reales.

Si tuvieses que identificar un número como $\sqrt{2}$ ¿lo clasificarías como un racional o como un irracional? Una vez que completes esta sección, sabrás en que categoría clasificar números como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0210S Irrational Numbers (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

No todas las raíces cuadradas son irracionales, pues sólo son irracionales si no se pueden reducir a una forma que no tenga signo radical. Por ejemplo, $\sqrt{49}$ es racional, ya que es igual a 7, pero $\sqrt{50}$ solo se puede simplificar a $5 \sqrt{2}$ . Ese factor de $\sqrt{2}$ es irracional, lo que hace que toda la expresión sea irracional.

Ejemplo A

Identifica cuales de los siguientes números son racionales y cuales son irracionales.

a) 23.7

b) 2.8956

c) $\pi$

d) $\sqrt{6}$

Solución

a) 23.7 se puede escribir como $23 \frac{7}{10}$ , se puede escribir como.

b) 2.8956 se puede escribir como $2 \frac{8956}{10000}$ , por lo que es racional.

c) $\pi = 3.141592654 \ldots$ Por la definición de $\pi$ sabemos que los decimales no se repiten y son infinitos, por lo que $\pi$ es irracional.

d) $\sqrt{6} = \sqrt{2} \ \times \sqrt{3}$ . No podemos reducirlo a una forma que no tenga signo radical, por lo que es irracional.

Decimales que se repiten

Cualquier número cuya representación decimal no sea infinita es un número racional, ya que cada decimal se puede expresar en una fracción. Por ejemplo, $3. \overline{27} = 3.272727272727 \ldots$ este decimal es infinito, pero los números se repiten en un patrón. Los decimales que se repiten son siempre racionales; este ejemplo, de hecho, se puede expresar como $\frac{36}{11}$ .

Ejemplo B

Expresa los siguientes decimales como fracciones.

a.) 0.439

b.) $0.25 \overline{38}$

Solución:

a.) 0.439 se puede expresar como $\frac{4}{10} + \frac{3}{100} + \frac{9}{1000}$ , o simplemente $\frac{439}{1000}$ . Además, cualquier decimal que se repita es racional y se puede expresar como fracción.

b.) $0.25 \overline{38}$ se puede expresar como $\frac{25}{100} + \frac{38}{9900}$ , lo que equivale a $\frac{2513}{9900}$ .

Clasificar números reales

podemos ver que los números reales se pueden clasificar en categorías:

Si un número real se pude expresar como un número racional, este cae en dos categorías. Si el denominador de su forma simplificada es uno, entonces el número es un entero . Si ese no es el caso, es una fracción (la categoría también incluye a los decimales, ya que estos se pueden escribir como una fracción.)

Si el número no se puede expresar como la razón de dos enteros (es decir, como una fracción) es un irracional .

Ejemplo C

Clasifica los siguientes números reales.

a) 0

b) -1

c) $\frac{\pi}{3}$

d) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

e) $\frac{\sqrt{36}}{9}$

Solución

a) Entero

b) Entero

c) Irracional (aunque se escribe como una fracción, $\pi$ es irracional, por lo que cualquier facción que tenga $\pi$ también es irracional.)

d) Irracional

e) Racional (la podemos simplificar como $\frac{6}{9}$ , o $\frac{2}{3}$ .)

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Irrational Numbers

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

La raíz cuadrada de un número que da como resultado el número original si se multiplica por sí mismo. En términos algebraicos, para los números $a$ y $b$ , si $a = b^2$ , entonces $b = \sqrt{a}$ .
Una raíz cuadrada puede tener dos valores posible: un valor positivo denominado raíz cuadrada principal , y un valor negativo (el opuesto del valor positivo).
Un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un entero.
Algunas propiedades matemáticas de las raíces cuadradas son:
- $\sqrt{a} \ \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
- $A \sqrt{a} \ \times B \sqrt{b} = AB \sqrt{ab}$
- $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a}{b}}$
- $\frac{A\sqrt{a}}{B \sqrt{b}} = \frac{A}{B} \sqrt{\frac{a}{b}}$
Las raíces cuadradas que no son cuadrados perfectos (o razón de cuadrados perfectos) son números irracionales . No se pueden escribir como un número racional (la razón de dos enteros). En forma decimal, tienen una fila infinita, aparentemente al azar, de números luego de la coma decimal.
Ingresar una raíz cuadrada en una calculadora resultará en una solución aproximada ya que la calculadora solo muestra una determinada cantidad de números luego de la coma decimal.

Práctica guiada

Ordena los siguientes números de menor a mayor.

$\frac{100}{99} \qquad \frac{\sqrt{3}}{3} \qquad -\sqrt{.075} \qquad \frac{2\pi}{3}$

Solución:

Ya que $-\sqrt{.075}$ es el único número negativo, este es el más pequeño.

Ya que $100>99$ , $\frac{100}{99}>1$ .

Ya que está $\sqrt{3}<s$ , entonces $\frac{\sqrt{3}}{3}<1$ .

Ya que $\pi>3$ , entonces $\frac{\pi}{3}>1 \Rightarrow \frac{2\pi}{3}>2$

Esto significa que el orden es:

$-\sqrt{.075}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{100}{99}, \frac{2\pi}{3}$

Práctica

En los ejercicios del 1 al 7, clasifica los siguientes números como números enteros, números racionales y números irracionales.

$\sqrt{0.25}$
$\sqrt{1.35}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{100}$
$\sqrt{\pi^2}$
$\sqrt{2\cdot 18}$
Escribe 0.6278 como una fracción.
Ordena los siguientes números de menor a mayor. $\frac{\sqrt{6}}{2} \qquad \frac{61}{50} \qquad \sqrt{1.5} \qquad \frac{16}{13}$
Utiliza los puntos rojos de esta recta numérica y señala las fracciones que representan.

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