Ensayo y Error, Cálculo a la Inversa

Si tuvieses que encontrar el valor numérico de dos variables y te dijesen que uno de ellos es el doble del otro y la suma de los dos es 48, ¿cómo puedes saber cuáles son los dos números? Una vez que completes esta sección, serás capaz de utilizar las estrategias de “Ensayo y Error” y “Cálculo a la inversa” para resolver problemas como el anterior.

Orientación

En esta sección, aprenderás sobre los métodos Ensayo y Error y Cálculo a la inversa. . Estas son estrategias muy útiles para utilizarse en la resolución de problemas y probablemente las más utilizadas en la vida real. Revisemos el plan de resolución de problemas que estudiamos anteriormente.

Paso 1

Entender el problema.

Lee atentamente el problema. Una vez que lo hayas leído, enlista todos los componentes y la información que se puede obtener del problema. Aquí es donde asignarás tus variables.

Paso 2

Realizar un plan - Traduce

Crea una manera para resolver el problema. Escribe una ecuación, dibuja un diagrama, traza un gráfico o crea una tabla para comenzar a resolver el problema.

Paso 3

Llevar a cabo el plan - Resuelve

Aquí es cuando debes resolver la ecuación que creaste en el Paso 2.

Paso 4

Observa - Comprueba e Interpreta

Comprueba si la respuesta tiene sentido en el cálculo.

Ahora, observemos algunas estrategias que pueden ser un complemento a este plan.

Desarrollo y Uso de la Estrategia “Ensayo y Error”

En esta estrategia, debes suponer una solución y debes ingresar el valor que elijas en el problema para ver si tu suposición es correcta. Si la respuesta es muy grande o muy pequeña, piensa en otro número que supones que acerque al valor que buscas, repite esto las veces que sea necesario hasta que llegues a la solución correcta. Hacer todo esto parece mucho trabajo, pero, a menudo, encontrarás patrones que puedes usar para hacer mejores predicciones más adelante.

A continuación, un ejemplo de cómo aplicar esta estrategia en la práctica.

Ejemplo A

Nadia toma una cinta de 48 pulgadas de largo y la corta en dos. Una de las cintas resultantes mide el triple que la otra. ¿Cuánto mide cada cinta?

Solución

Paso 1: Entender

Necesitamos encontrar dos números. Uno número es el triple del otro.

Paso 2: Estrategia

Suponemos dos números al azar, uno que sea tres veces el valor del otro y luego los sumamos.

Si el resultado de la suma es un número muy pequeño, debemos pensar en números más grandes. Si el resultado de la suma es un número muy grande, debemos pensar en números más pequeños.

Luego, observamos si existe un patrón en los números que elegimos.

Paso 3: Aplica la estrategia/Resuelve

Nuestro segundo conjunto que números suma exactamente la mitad de 48. ¿Qué pasaría si dobláramos los valores?

Así obtenemos nuestra respuesta. Las nuevas cintas miden 12 y 36 pulgadas.

Paso 4: Comprueba

La respuesta es correcta.

Desarrollo y Uso de la Estrategia “Cálculo a la inversa”

El método “Cálculo a la inversa” funciona con los problemas en donde una serie de operaciones están realizadas en un número desconocido y sólo tienes la respuesta. Para utilizar este método, comienza con el resultado y aplica las operaciones a la inversa para encontrar el número principal.

Ejemplo B

Anne tiene una cierta cantidad de dinero en su cuenta bancaria en la mañana del viernes. Durante el día, escribe un cheque por $24,50, saca $80 del cajero automático y deposita un cheque por $235. Al final del día, ve que el saldo de su cuenta es de $451,25. ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta al comenzar el día?

Paso 1: Comprende

Necesitamos saber la cantidad de dinero que había en la cuneta bancaria de Anne al comienzo del día el viernes.

SSacó $24,50 más $80 y, luego, depositó $235.

Al final del día, tiene $451.25.

Paso 2: Estrategia

Comenzamos con una cantidad desconocida, realizamos operaciones y llegamos a una cantidad conocida.

Debemos comenzar con el resultado y aplicar las operaciones a la inversa.

Paso 3: Aplica la estrategia/Resuelve

Comienza con $451,25. Resta $235, suma $80 y luego suma $24.50.

Anne tenía $320,75 en su cuenta bancaria al comienzo del día viernes.

Paso 4: Comprueba

La respuesta es correcta.

Planear y Compara Enfoques Alternativos para Resolver Problemas

La mayoría de los problemas de planteo pueden resolverse en más de una manera. A menudo, un método es más directo que los otros, pero cuál es el mejor método dependerá del tipo de problemas que te planteen.

Ejemplo C

El padre de Nadia tiene 36 años. Él es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia. ¿Cuál es la edad de Nadia?

Solución

Este problema se puede resolver con cualquiera de las estrategias que hemos aprendido en esta sección. Resolvámoslo utilizando ambas estrategias.

Método Ensayo-Error

Paso 1: Entender

Necesitamos saber la edad de Nadia.

Sabemos que su padre es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia, o .

Sabemos que su padre tiene 36 años.

Paso 2: Estrategia

Debemos pensar en números aleatorios que puedan ser la edad de Nadia.

Multiplicamos el número por 4 y, al producto de esto, le sumamos 16, luego comprobamos para ver si el resultado es igual a 36.

Si el resultado de la suma es un número muy pequeño, debemos pensar en números más grandes. Si el resultado de la suma es un número muy grande, debemos pensar en números más pequeños.

Debemos seguir pensando en números hasta que obtengamos la respuesta 36.

Paso 3: Aplica la estrategia/Resuelve

Suponer que Nadia tiene 9, nos da un número es 16 unidades mayor que la edad de su padre. Sin embargo, nótese que, cuando restamos una unidad a la edad de Nadia, la edad del padre disminuyó en cuatro. Esto sugiere que podemos disminuir nuestra respuesta final en 16 años si disminuimos nuestra suposición para la edad de Nadia en 4 años.

4 años menos 9 es 5. , esta es la edad correcta.

Respuesta: Nadia tiene 5 años.

Paso 4: Comprueba

Nadia tiene 5 años. Su padre tiene . Esto está correcto. La respuesta es correcta.

Te pediremos que utilices el método “Cálculo a la inversa” en la sección: Práctica guiada.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenid (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Problem Solving Strategies- Guess and Check and Work Backwards

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Los cuatro pasos en el plan de resolución son:

• Entender el problema
• Realizar un plan – Traduce
• Llevar a cabo el plan – Resuelve
• Observa – Comprueba e interpreta

Las dos estrategias más comunes para resolver problemas:

Ensayo y Error

Piensa en una solución y utiliza el número que pensaste pata ver si la respuesta es correcta. Si la respuesta es muy grande o muy pequeña, piensa en otro número que supones se acerque al valor que buscas.

Cálculo a la inversa

Este método funciona con los problemas en donde una serie de operaciones fueron aplicadas a un número desconocido y sólo tienes la respuesta. Para utilizar este método, comienza con el resultado y aplica las operaciones a la inversa para encontrar el número principal.

Práctica guiada

El padre de Nadia tiene 36 años. Él es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia. Determina la edad de Nadia utilizando el método Cálculo a la inversa.

Solución:

Método Cálculo a la inversa

Paso 1: Entender

Necesitamos saber la edad de Nadia.

Sabemos que su padre es 16 años mayor que cuatro veces la edad de Nadia, o .

Sabemos que su padre tiene 36 años.

Paso 2: Estrategia

Para conocer la edad de Nadia sólo conociendo la edad de su padre, debemos multiplicar la edad de Nadia por cuatro y, al producto de esto, sumarle 16.

El cálculo a la inversa nos significa que comenzaremos con la edad del padre, le restamos 16 y el resultado lo dividimos por 4.

Paso 3: Aplica la estrategia/Resuelve

Respuesta Nadia tiene 5 años.

Paso 4: Comprueba

Nadia tiene 5 años. Su padre tiene . Esto está correcto. La respuesta es correcta.

Puedes ver que en este problema la estrategia “Cálculo a la inversa” trabaja de una forma más directa que el método “Ensayo y Error”. La estrategia “Cálculo a la inversa” siempre nos da los mejores resultados si conocemos el resultado de una serie de operaciones, sin conocer el número principal. En la próxima unidad, aprenderemos métodos algebraicos basados en el método “Cálculo a la inversa”.

Practica

1. Nadia está en casa y Peter es la escuela que está a 6 millas de la casa. Viajan para encontrarse al mismo tiempo. Nadia está caminando a 3,5 millas por hora y Peter viaja en una patineta a 6 millas por hora. ¿Cuánto se encontraran y a qué distancia esta ese lugar de su casa?
2. Peter compró muchos cuadernos en la tienda Staples a $2,25 cada uno; luego, compró más cuadernos en la tienda Rite-Aid a $2 cada uno. Gastó la misma cantidad de dinero en ambas tiendas y compró 17 cuadernos en total. ¿Cuántos cuadernos compró Peter en cada tienda?
3. Andrew tomó un puñado de cambio de su bolsillo y notó que solo tenía monedas de 10 y 25 centavos. Las contó y descubrió que tenía 22 monedas y que sumaban $4,00. ¿Cuántas monedas de 10 y de 25 centavos tiene Andrew?
4. Anne quiere poner una cerca alrededor de su jardín de flores, cuyo largo es una y media veces mayor que su ancho. Utilizó 50 pies para levantar la cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?
5. Peter está fuera de su casa mirando los cerdos y las gallinas que están en el patio. Nadia está dentro de la casa y no puede ver los animales. Peter le dice un acertijo: le dice que él puede ver 13 cabezas y 36 pies y le pregunta cuántos cerdos y cuántas gallinas hay en el patio. Ayuda a Nadia a encontrar la respuesta.
6. Andrew invierte $8.000 en dos tipos de de cuentas bancarias: una cuenta de ahorro que paga 5,25% de interés anual y una cuenta más arriesgada que paga 9% de interés anual. Al final del año, Andrew recibió $450 en intereses de las dos cuentas. Encuentra lo que pagó por cada cuenta.
7. Se vendieron 450 entradas para un concierto: galería a $35 y primera fila a $25. La ganancia total fue de $13.000, ¿cuántas entradas de galería y cuántas entradas de primera fila se vendieron?
8. Hay un tazón con caramelos en la mesa de la cocina. Una mañana, Nadia toma un sexto del contenido. Más tarde esa mañana, Peter toma un cuarto de lo que queda. Esa tarde, Andrew toma un quinto de lo que queda. Si al final del día, quedan 16 caramelos, ¿cuántos caramelos habían cuando comenzó el día?
9. Nadia puede cortar el pasto del jardín en 30 minutos. Peter puede cortar el césped en 45 minutos. ¿Cuánto se demorarán si lo hacen juntos?
10. Tres monos pasan el día recolectando cocos. Cuando terminan, están muy cansados y se quedan dormidos. La mañana siguiente, el primer mono se despierta. Sin querer molestar a sus amigos, reparte los cocos en tres partes iguales. Sobra uno, por lo que lo tira, toma su parte y se va a su hogar. Unos minutos después, se despierta el segundo mono. Al no darse cuenta que el primer mono ya se fue, reparte los cocos en tres partes iguales. Sobra uno, por lo que lo tira, toma su parte y se va a su hogar. En la mañana, el tercer mono se despierta y se da cuenta que está solo. Ve los dos cocos que tiraron el primer y segundo mono y los une a la pila que queda, lo que le da un total de doce cocos.
    1. ¿Cuántos cocos tomó el primer mono?
    2. ¿Cuántos cocos en total recolectaron los monos?
11. El producto de dos números primos es 51 ¿Cuáles son los números?
12. El producto de dos números primos es 65 ¿Cuáles son los números?
13. El cuadrado de un número positivo es ocho veces el doble del número ¿Cuál es el número?
14. ¿Es 91 un número primo? (Pista: si no es primo)
15. ¿Es 73 un número primo?
16. Los días que Alison a la escuela debe levantarse a las 8:30, pero hoy ella quiere llegar diez minutos antes para discutir un trabajo con su profesor de lenguaje. Si también llevará a su amiga Sherice a la escuela y le toma 12 minutos llegar a la casa de su amiga y otros 15 minutos llegar a la escuela, ¿a qué hora necesita Alison salir de su casa?
17. Kelly, quien trabaja en una tienda como vendedora, recibe un aumento de sueldo del 10% cada seis meses. Luego de su tercer aumento, ahora gana $13,31 por hora. ¿Cuánto ganaba cundo recién comenzó a trabajar en la tienda?
18. 18. Hace tres años, la hermana pequeña de Kevin, Becky, cumplió cinco años. Si Kevin tenía ocho años cuando Becky nació, ¿qué edad tiene ahora?
19. Una bodega está llena de cajas de embalaje; la mitad de ellas se enviarán a Boston y la otra mitad a Filadelfia. Un camión llega a recoger 20 de las cajas que se enviarán a Boston y, más tarde, otro camión se lleva un tercio de las cajas que se enviarán a Filadelfia. Una hora después, la mitad de las cajas que quedan se llevan al muelle de embarque que está fuera de la bodega. Si quedan 40 cajas en la bodega, ¿cuántas habían originalmente?
20. Gerald es un conductor de bus, quien toma el lugar de otro conductor en la mitad de su recorrido. No se da cuenta del número de pasajeros que hay en el bus cuando se sube, pero si nota que tres pasajeros se bajaron en la primera parada que hizo; un total de ocho pasajeros más se bajan en las siguientes tres paradas; dos pasajeros se suben y cuatro se bajan en la siguiente parada y en la siguiente un tercio de los pasajeros se baja.
    1. Si quedan 14 pasajeros en el bus, ¿cuántos pasajeros habían cuando Gerald comenzó su turno?
    2. Si la mitad de los pasajeros que se subieron durante el turno de Gerald pagó la tarifa de adulto de $1,50 y la otra mitad pagó la tarifa de la tercera edad o de estudiante, quienes pagan $1,00, ¿cuánto dinero había en la caja de dinero del bus al inicio del turno de Gerald si ahora hay $73,50?
    3. Cuando el turno de Gerald comenzó, todos los pasajeros que todavía estaban en el bus habían pagado la tarifa completa. Sin embargo, algunos de los pasajeros que se subieron y bajaron del bus eran estudiantes o ciudadanos de la tercera edad y pagaron la tarifa de $1,00. Basándonos en la cantidad de dinero que hay en la caja de dinero, si 28 pasajeros se hubiesen subido y bajado del bus antes del turno de Gerald (además de los pasajeros que se subieron y todavía están ahí cuando comenzó el turno de Gerald), ¿cuántos de esos pasajeros pagaron la tarifa especial?
    4. ¿cuánto dinero habría en la caja si todos los pasajeros que se subieron ese día hubiesen pagado la tarifa completa?

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook “CK-12 Texas Instruments Algebra I”, hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo Visita http://www.ck12.org/flexr/chapter/9612 .