Ecuaciones de un Paso y Operaciones Inversas

En esta parte del capítulo aprenderás cómo utilizar la adición y la sustracción para resolver la variable incógnita de las ecuaciones algebraicas.

Digamos que tienes una ecuación algebraica que requiere de adición y sustracción como por ejemplo $x - \frac{2}{5} = \frac{5}{8}$ ¿Cómo podráas resolver la variable incógnita x ? Al finalizar esta sección, podrás resolver ecuaciones como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0301S Solving Equations with Addition and Subtraction (H264)

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Orientación

Nadia está comprando un nuevo reproductor mp3. Peter mira como ella paga por el reproductor con un billete de $100. Nadia recibe cambio de $22,00, y solo con esta información Peter logra resolver cuánto costó el reproductor. ¿Cuál es el precio?

En algebra, podemos resolver problemas como este utilizando una ecuación . Una ecuación es una expresión algebraica que utiliza el signo igual. Si utilizamos la letra $x$ para representar el valor del reproductor mp3, podemos escribir esta ecuación $x + 22 = 100$ . Esto nos dice que el valor del reproductor más el valor del cambio recibido es igual a los $100 que Nadia pagó.

Otra forma en que podríamos escribir la ecuación sería $x = 100 - 22$ . Esto nos dice que el valor del reproductor es igual a la cantidad total del dinero que Nadia pagó $(100 - 22)$ . Esta ecuación es matemáticamente equivalente a la primera, pero es más fácil de resolver.

En este capítulo, aprenderemos cómo resolver la variable en una ecuación lineal de una variable. Las Ecuaciones Lineales son ecuaciones en que cada término es una constante o una constante multiplicada por una variable individual (elevado a la potencia). El concepto lineal proviene de la palabra línea, ya que el gráfico de una ecuación lineal siempre es una línea o recta.

Comenzaremos con problemas simples como en el último ejemplo.

Resolución de ecuaciones utilizando adición y sustracción

Cuando trabajamos con una ecuación algebraica, es importante recordar que los dos lados deben mantenerse iguales para que la ecuación se mantenga verdadera. Podemos cambiar de posición de la forma que queramos, pero lo que sea que hagamos a un lado de la ecuación, también debe hacerse en el otro. Por ejemplo, en la introducción anterior, pudimos obtener resultados de la primera ecuación a la segunda ecuación al restarles 22 en ambos lados.

$x + 22 &= 100\\\x + 22 - 22 &= 100 - 22\\\x &= 100 - 22$

De la misma manera, podemos agregar números a ambos lados de una ecuación para ayudarnos a resolver nuestra variable incógnita.

Ejemplo A

Resuelve $x - 3 = 9$ .

Solución

Para resolver una ecuación con $x$ , necesitamos aislar $x-$ , lo que significa que necesitamos obtenerla por sí sola en un lado de los signos iguales. Nuestra $x$ tiene un 3 que se le debe restar. Para revertir esto sumaremos 3 en ambos lados.

$x - 3 &= 9\\\x - 3 + 3 &= 9 + 3\\\x + 0 &= 9 + 3\\\x &= 12$

Ejemplo B

Resuelve $z - 9.7 = -1.026$

Solución

No importa cuál sea la variable, el proceso sigue siendo el mismo.

$z - 9.7 &= -1.026\\\ z - 9.7 + 9.7 &= -1.026 + 9.7\\\z &= 8.674$

¡Asegúrate de entender la suma de decimales en este caso!

Ejemplo C

Resuelve $x + \frac{4}{7} = \frac{9}{5}$ .

Solución

Para aislar $x$ , necesitamos restar $\frac{4}{7}$ en ambos lados.

$x + \frac{4}{7} &= \frac{9}{5}\\\x + \frac{4}{7} - \frac{4}{7} &= \frac{9}{5} - \frac{4}{7}\\\x &= \frac{9}{5} - \frac{4}{7}$

Ahora debemos restar fracciones, lo que significa que necesitamos encontrar el Mínimo Común Denominador. Ya que 5 y 7 son números primos, su mínimo común múltiplo es justamente su producto, 35.

$x &= \frac{9}{5} - \frac{4}{7}\\\x &= \frac{7 \cdot 9}{7 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5}\\\x &= \frac{63}{35} - \frac{20}{35}\\\x &= \frac{63 - 20}{35}\\\x &= \frac{43}{35}$

¡Asegúrate de conocer los decimales y las fracciones! Para dominar álgebra, necesitarás trabajar con ellos de manera frecuente.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Solving Equations with Addition and Subtraction

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Una ecuación en que cada término es una constante o el producto de una constante y una variable individual es una ecuación lineal. .
Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo valor y aun así será una ecuación equivalente.
Para resolver una ecuación, aisla la variable incógnita en un lado de la ecuación aplicando una o más operaciones aritméticas en ambos lados.

Práctica Guiada

Resuelve $x +10 = 17$ .

Solución

Para resolver una ecuación con $x$ , necesitamos aislar $x-$ lo que significa que debemos obtenerla por sí misma en un lado de los signos iguales. En este ejercicio a nuestra $x$ e le ha agregado 10. Para revertir esto, restaremos 10 en ambos lados.

$x +10 &= 17\\\x +10- 10 &= 17 -10\\\x + 0 &= 17-10\\\x &= 7$

Práctica

Para los ejercicios 1 - 5, resuelve la $x$ . de las siguientes ecuaciones.

$x - 11 = 7$
$x - 1.1 = 3.2$
$x +0.257 = 1$
$x + \frac{5}{2} = \frac{2}{3}$
$x - \frac{5}{6} = \frac{3}{8}$

Para los ejercicios 6 - 10, resuelve la variable incógnita de las siguientes ecuaciones.

$q - 13 = -13$
$z + 1.1 = 3.0001$
$r + 1 = \frac{2}{5}$
$t + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
$\frac{3}{4} = -\frac{1}{2} - y$

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