Resolución De Problemas Reales Con Ecuaciones De Dos Pasos

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo transformar las palabras en ecuaciones de dos pasos. Luego, podrás resolver la variable incógnita de esas ecuaciones.

Digamos que la frecuencia cardíaca máxima esperada de Marisha es 0,70 veces la cantidad de 220 menos su edad. Su frecuencia cardíaca máxima esperada es 140. ¿Cuál es su edad? Al finalizar esta sección, podrás resolver ejercicios reales como el anterior que involucran ecuaciones de dos pasos.

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CK-12 Foundation: 0306S Solving Real World Problems with Two Step Equations (H264)

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

La parte más difícil en la resolución de problemas verbales es transformar las palabras en una ecuación. Primero, debes observar bien para saber qué es lo que la ecuación pide. ¿Cuál es la incógnita que debes resolver? Eso es lo que representa tu variable. Luego, observa con atención todo lo que sucede con tu variable durante todo el problema.

Ejemplo A

Un fontanero de emergencia cobra $65 la tarifa de servicio a domicilio más un costo adicional de $75 por hora. Él llega a una casa a las 9:30 y trabaja reparando un tanque de agua. Si la boleta del servicio suma un total de $196,25, ¿a qué hora estaba lista la reparación?

Para resolver este problema, recopilamos la información del texto y la convertimos en una ecuación.

Incógnita: el tiempo tomado en horas, la que será nuestra $x$

La boleta está hecha de dos partes: una tarifa de servicio a domicilio y una tarifa por hora. El servicio a domicilio es una tarifa plana e independiente de $x$ no importa cuántas horas trabaje el fontanero. La parte del trabajo por hora depende del número de horas $(x)$ . Por lo tanto, la tarifa total es de $65 (sin importar qué) más $\$75x$ (donde $x$ es el número de horas), o $65 + 75x$ .

Al mirar el problema otra vez, podemos observar que la boleta total es de $196,25. Por lo que nuestra ecuación final es $196.25 = 65 + 75x$ .

Para resolver la $x$ :

$196.25 &= 65 + 75x \qquad \text{Subtract 65 from both sides.}\\\131.25 &= 75x \qquad \qquad \text{Divide both sides by 75.}\\\1.75 &= x \qquad \qquad \quad \text{The job took 1.75 hours.}$

Solución

El trabajo de reparación se completó 1,75 horas después de las 9:30, por lo que el tanque de agua fue reparado a las 11:15 AM.

Ejemplo B

Cuando Asia era pequeña, su padre marcaba su altura en el marco de la puerta todos los meses. El padre de Asia se dio cuenta que, entre el primer y tercer año de vida de ella, Él podía predecir su altura (en centímetros) al tomar su edad en meses, sumándole luego 75 centímetros y multiplicando el resultado por un tercio. Utiliza esta información para responder lo siguiente:

a) Escribe una ecuación que vincule su altura probable, $h$ , con su edad en meses, $m$ .

b) Determina la predicción de su altura en su segundo cumpleaños.

c) Determina a qué edad ella alcanzará los tres pies de alto.

Solución

a) Para convertir el texto en una ecuación, primero determina el tipo de ecuación que tenemos. Tenemos una ecuación que une dos variables . Nuestra incógnita cambiará dependiendo de la información que nos han dado. Por ejemplo, podríamos resolver la altura determinada por la edad, o resolver la edad determinada por la altura. Sin embargo, el texto nos da una forma para determinar la altura. . Nuestra ecuación comenzará con “ $h=$ ”.

El texto nos dice que podemos predecir su altura al tomar su edad en meses, sumarle 75 y multiplicarlo por $\frac{1}{3}$ . Por lo que nuestra ecuación es $h = (m + 75) \cdot \frac{1}{3}$ , o $h = \frac{1}{3}(m + 75)$ .

b) Para predecir la altura de Asia en su segundo cumpleaños, sustituimos $m=24$ en nuestra ecuación (porque 2 años son 24 meses) y resolvemos la $h$ .

$h &= \frac{1}{3}(24 + 75)\\\h &= \frac{1}{3}(99)\\\h &= 33$

La altura probable de Asia, en su segundo cumpleaños, era de 33 centímetros.

c) Para determinar la edad probable de ella al alcanzar los tres pies de altura, sustituimos $h = 36$ Para determinar la edad probable de ella al alcanzar los tres pies de altura, sustituimos $m$ .

$36 &= \frac{1}{3}(m + 75)\\\108 &= m + 75\\\33 &= m$

La predicción de la edad de Asia era de 33 meses cuando tenía tres pies de altura.

*Las unidades de medida de este ejercicio fueron modificadas con el fin de asegurar la comprensión del mismo. Por tanto, las cantidades pueden no ser exactas al convertirlas a sus variantes reales.

Ejemplo C

Para convertir temperaturas Fahrenheit en temperaturas Celsius, sigue las siguientes instrucciones: Toma la temperatura en grados Fahrenheit y réstale 32. Luego divide el resultado por 1,8 y esto te dará la temperatura en grados Celsius.

a) Escribe una ecuación que muestre el proceso de conversión.

b) Convierte 50 grados Fahrenheit en grados Celsius

a) El texto nos entrega el proceso para convertir Fahrenheit en Celsius. Podemos escribir una ecuación utilizando dos variables, Utilizaremos la $f$ para la temperatura Fahrenheit y la $c$ para la temperatura Celsius.

$&\text{First we take the temperature in Fahrenheit and subtract 32.} && f - 32\\\&\text{Then divide by 1.8.} && \frac{f - 32}{1.8}\\\&\text{This equals the temperature in Celsius.} && c = \frac{f - 32}{1.8}$

Para convertir de una escala de temperatura a otra, simplemente sustituye por cualquier temperatura que conozcas y resuelve la que no conoces.

b) Para convertir 50 grados Fahrenheit a grados Celsius, sustituye la $f = 50$ en la ecuación.

$c &= \frac{50 - 32}{1.8}\\\c &= \frac{18}{1.8}\\\c &= 10$

50 grados Fahrenheit es equivalente a 10 grados Celsius.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Solving Real-World Problems with Two-Step Equations

*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

Para resolverlas, algunas ecuaciones necesitan de más de una operación. Generalmente, es bueno empezar desde afuera hacia adentro. Si hay paréntesis alrededor de la expresión con una variable dentro, anula lo que está fuera del paréntesis primero.
Los términos que tienen la misma variable dentro de ellos (o que no tienen variable) son términos semejantes. Combina términos semejantes (sumando o restando del uno al otro) para simplificar la expresión y encontrar la incógnita.

Práctica Guiada

a) Convierte 25 grados Celsius en grados Fahrenheit.

b) Convierte -40 grados Celsius en grados Fahrenheit.

Solución:

a) Para convertir 25 grados Celsius en grados Fahrenheit, sustituye la $c = 25$ en la ecuación:

$25 &= \frac{f - 32}{1.8}\\\45 &= f - 32\\\ 77 &= f$

25 grados Celsius son equivalentes a 77 grados Fahrenheit.

b) Para convertir -40 grados Celsius a grados Fahrenheit, sustituye $c = -40$ en la ecuación.

$-40 &= \frac{f - 32}{1.8}\\\-72 &= f - 32\\\-40 &= f$

-40 grados Celsius son equivalentes a -40 grados Fahrenheit (No, ¡no es un error! Esta es la única temperatura donde las medidas son equivalentes).

Práctica

Jade está en el centro de la ciudad con solo $10 para volver a casa. El viaje en taxi cuesta $0,75 por kilómetro recorrido, pero hay un costo adicional de $2,35 por el uso del taxi. Desarrolla una fórmula y úsala para calcular cuántos kilómetros puede viajar Jade con el dinero que tiene.
El padre de Jasmin está planeando una fiesta sorpresa de cumpleaños para ella. Contratará un castillo elástico y les dará comida a los invitados. El castillo elástico cuesta $150 la tarde de uso y la comida costará $3 por persona. Andrew, el padre de Jasmin, tiene un presupuesto de $300. Escribe una ecuación y utilízala para determinar el máximo número de personas que puede invitar.

El parque de diversiones local vende membresías de verano por $50 cada una. La admisión normal al parque cuesta $25; la admisión para los miembros cuesta $15.

Si Darren no quiere gastar más de $100 este verano en viajes al parque de diversiones, ¿cuántas visitas puede hacer si compra una membresía con parte del dinero?
¿Cuántas visitas podrá hacer si no compra la membresía?
Si aumenta su presupuesto a $160, ¿cuántas visitas puede hacer como miembro?
y ¿cuántas podrá hacer sin la membresía?

Para una próxima excursión escolar debe haber un supervisor adulto por cada cinco niños.

Escribe una expresión para el número de niños y adultos que irán a la excursión.
Si el bus tiene asientos para 40 personas, ¿cuántos niños pueden ir a la excursión?
¿Cuántos niños pueden ir si se agrega un segundo bus de 40 asientos?
Cuatro de los cuidadores adultos deciden llegar, por separado, en auto a la excursión. ¿Cuántos niños pueden ir en los dos buses?

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