Resolución De Problemas Reales Utilizando Ecuaciones De Múltiples Pasos

En esta parte del capítulo, aprenderás cómo transformar las palabras en ecuaciones de múltiples pasos. Luego, resolverás la variable incógnita de esas ecuaciones.

Digamos que te dicen que 10 menos que $\frac{3}{2}$ un número más el número es igual a 5 ¿Cómo podrías encontrar ese número? Al finalizar esta sección, serás capaz de resolver problemas reales como el anterior que involucran ecuaciones de múltiples pasos.

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CK-12 Foundation: 0308S Solving Real-World Problems Using Multi-Step Equations

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Ahora podemos utilizar estrategias para la resolución de ecuaciones de múltiples pasos y la resolución de ecuaciones reales.

Ejemplo A

Una cooperativa de cultivadores instala un mercado de agricultores en el centro de la ciudad todos los sábados. Ellos venden lo que han cultivado y reparten el dinero en diferentes categorías. 8,5% de todo el dinero ganado se aparta para pagar el IVA (impuesto al valor agregado). $150 se utilizan para pagar el arriendo del espacio que ocupan. Todo lo que sobra se divide de manera equitativa entre los 7 cultivadores. ¿Cuánto dinero se recauda en total si cada cultivador recibe una parte que equivale a $175?

Transformemos el texto de arriba en una ecuación. La incógnita será el dinero total ganado en dólares. Lo estableceremos como $x$ .

"8,5% de todo el dinero ganado se aparta para pagar el IVA (impuesto al valor agregado)." Esto significa que queda 91,5% del dinero. Esto es $0.915x$ .

"$150 se utilizan para pagar el arriendo del espacio que ocupan." Esto significa que lo queda es s $0.915x - 150$ .

"Todo lo que sobra se divide de manera equitativa entre los 7 cultivadores.". Esto significa que cada cultivador obtiene $\frac{0.915x - 150}{7}$ .

Si cada parte de un cultivador es de $175, entonces nuestra ecuación para encontrar la es $x$ es $\frac{0.915x - 150}{7} = 175$ .

Primero, multiplicamos ambos lados por 7 para obtener $0.915x - 150 = 1225$ .

Luego, sumamos 150 en ambos lados para obtener $0.915x = 1375$ .

Finalmente, dividimos por 0,915 para obtener $x \approx 1502.7322$ .Como queremos nuestra respuesta en dólares y centavos, redondeamos hasta dos decimales. $1502.73.

Los trabajadores ganan en total $1502,73.

La Ley de Ohm

La corriente eléctrica, $I$ (amperios), que pasa a través de un componente electrónico varía directamente con el voltaje aplicado, $V$ (voltios), de acuerdo a la relación $V = I \cdot R$ , donde $R$ es la resistencia medida en Ohms $(\Omega)$ .

Ejemplo B

Un científico está tratando de deducir la resistencia de un componente incógnito. Él etiqueta la resistencia del componente incógnito como $x \ \Omega$ . La resistencia de un circuito que contiene un número de estos componentes es $(5x + 20) \Omega$ .Si la diferencia de potencial de 120 voltios que cruza el circuito produce una corriente de 2,5 amperios, calcula la resistencia del componente incógnito.

Solución

Para resolver esto, necesitamos empezar con la ecuación $V = I \cdot R$ y sustituir $V = 120, I = 2.5,$ y $R = 5x + 20$ . Eso nos da $120 = 2.5(5x + 20)$ .

Distribuye el 2,5 para obtener $120 = 12.5x + 50$ .

Resta 50 en ambos lados para obtener $70 = 12.5x$ .

Finalmente, divide por 12,5 para obtener $5.6 = x$ .

El componente incógnito tiene una resistencia de $5.6 \ \Omega$ .

Distancia, Velocidad y Tiempo

La velocidad de un cuerpo es la distancia en que viaja por unidad de tiempo. Esto también significa que podemos descubrir cuán lejos se mueve un objeto en una cierta cantidad de tiempo si sabemos su velocidad. Para esto, utilizamos la ecuación " $\text{distance} = \text{speed} \times \text{time}$ .”

Ejemplo C

El auto de Shanice viaja 10 kilómetros por hora más lento que dos veces la velocidad del auto de Brandon. Ella recorre 93 kilómetros en 1 hora y 30 minutos. ¿A qué velocidad viaja Brandon?

Solución

En este problema, no sabemos la velocidad de Brandon ni la de la Shanice, pero ya que la pregunta es sobre la velocidad de Brandon, eso será lo que utilicemos como nuestra variable $x$ .

La distancia que recorre Shanice en kilómetros es de 93, y el tiempo en horas es de 1,5. Su velocidad es 10 veces menos que dos veces la velocidad de Brandon, o $2x - 10$ kilómetros por hora. Al poner esos números en una ecuación nos queda $93 = 1.5(2x - 10)$ .

Primero, distribuimos para obtener $93 = 3x - 15$ .

Luego, sumamos 15 en ambos lados para obtener $108 = 3x$ .

Finalmente, dividimos por 3 para obtener $36 = x$ .

Brandon maneja a 36 kilómetros por hora.

Podemos revisar esta pregunta considerando la situación desde otro punto de vista: podemos resolver la velocidad de Shanice en vez de la de Brandon y luego contraponerla con la velocidad de Brandon. Utilizaremos $y$ para la velocidad de Shanice porque ya utilizamos la $x$ para la velocidad de Brandon.

La ecuación para la velocidad de Shanice es simplemente $93 = 1.5y$ . Podemos dividir ambos lados por 1,5 para obtener $62 = y$ , por lo que Shanice viaja a 62 kilómetros por hora.

El problema nos dice que Shanice viaja 10 km/h más lento que dos veces la velocidad de Brandon; eso significa que 62 es igual a 2 veces 36 menos 10. ¿Es esto así? Bueno, 2 veces 36 es igual a 72, menos 10 da como resultado 62. Hemos verificado la respuesta.

En álgebra, generalmente hay más de un método para resolver un problema. Si el tiempo lo permite, siempre es buena idea tratar de resolver un problema utilizando dos métodos diferentes solo para confirmar que tienes la respuesta correcta.

Velocidad del sonido

La velocidad del sonido en el aire seco, $v$ ,se da por la ecuación $v = 331 + 0.6T$ , en que $T$ significa la temperatura Celsius y $v$ es la velocidad del viento en metros por segundo.

Ejemplo D

Tashi golpea una cañería con un martillo y 250 metros más lejos Minh escucha el sonido y golpea su propia cañería. Lamentablemente, hay un segundo de retraso entre que Minh escucha el sonido y golpea su propia cañería. Tashi mide con exactitud que el tiempo entre que golpea la cañería y escucha el golpe en la cañería de Minh es de 2,46 segundos. ¿Cuál es la temperatura del aire?

Este es un problema complejo y necesitamos ser cuidadosos con nuestras ecuaciones. Primero que todo, la distancia en que viaja el sonido es igual a la velocidad del sonido multiplicado por el tiempo, y la velocidad se da por la ecuación anterior. Entonces, la distancia es igual a $(331 + 0.6T) \times \text{time}$ , y el tiempo es $2.46 - 1$ (porque por 1 segundo de los 2,46 segundos medidos, ningún sonido viajó). También sabemos que la distancia es $250 \times 2$ (porque el sonido viajó desde Tashi a Minh y de vuelta), por lo que nuestra ecuación es $250 \times 2 = (331 + 0.6T)(2.46 - 1)$ , que se simplifica a $500 = 1.46(331 + 0.6T)$ .

Al distribuir nos da como resultado $500 = 483.26 + 0.876T$ , y al sustraer 483,26 en ambos lados obtenemos $16.74 = 0.876T$ . Luego dividimos por 0,876 para obtener $T \approx 19.1$ .

La temperatura es de alrededor de 19,1 grados Celsius.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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*Este video solo está disponible en inglés.

Vocabulario

" Si dividimos un número fuera del paréntesis se producirán fracciones. A menudo, es mejor utilizar la Propiedad Distributiva para expandir los términos y luego combinar los términos semejantes para resolver la ecuación.

Práctica Guiada

El gerente de una fábrica está guardando partes de motor en cajas de madera para ser enviados en un pequeño camión. El camión está diseñado para soportar dieciséis cajas, y transportará, sin peligro, una carga de 1200 kilos. Cada caja vacía pesa 12 kilos. ¿Cuánto peso deberían poner los trabajadores en cada caja, según órdenes del gerente, para lograr que el peso del envío sea lo más cercano posible a 1200 kilos?

Solución:

La cantidad incógnita es el peso que se colocará en cada caja, así lo estableceremos como $x$ .

Cada caja, cuando están llenas, pesará $x + 12 \ lbs$ ,por lo que todas las 16 cajas pesarán $16(x + 12) \ lbs$ .

También sabemos que las 16 cajas juntas deberían pesar 1200 kilos, por lo que podemos decir que $16(x + 12) = 1200$ .

Para resolver esta ecuación, podemos empezar dividiendo ambos lados por 16: $x + 12 = \frac{1200}{16} = 75$ .

Luego, restamos 12 en ambos lados y nos da como resultado: $x = 63$ .

El gerente debería decir a los trabajadores que pongan 63 kilos de partes de motor en cada caja.

Práctica

Para los ejercicios 1 - 6. Resuelve la variable de la ecuación.

$\frac{s - 4}{11} = \frac{2}{5}$
$\frac{2k}{7} = \frac{3}{8}$
$\frac{7x + 4}{3} = \frac{9}{2}$
$\frac{9y - 3}{6} = \frac{5}{2}$
$\frac{r}{3} + \frac{r}{2} = 7$
$\frac{p}{16} - \frac{2p}{3} = \frac{1}{9}$
Un ingeniero está construyendo una plataforma colgante para levantar bolsas de cemento. La plataforma tiene una masa de 200 kg, y cada bolsa de cemento pesa 40 kg. Él utiliza dos cables de acero, cada uno capaz de soportar 250 kg. Escribe una ecuación para encontrar el número de bolsas que puede poner a la vez en la plataforma y resuélvela.
Un científico está probando el número de componentes idénticos de resistencia incógnita. Lo establece como $x\Omega$ . Él conecta un circuito con resistencia $(3x + 4)\Omega$ a un suministro constante de 12 voltios y descubre que esto produce una corriente de 1,2 amperes. ¿Cuál es el valor de la resistencia incógnita?
Lydia recibió como herencia una cantidad de dinero. Ella dividió el dinero en cinco partes iguales. Invirtió tres partes del dinero en una cuenta corriente con alto interés que añadía un 10% al valor. El resto del dinero de su herencia más $500 los puso en el mercado de valores, aunque perdió 20% del dinero. Si las dos cuentas terminan con la misma cantidad de dinero, ¿cuánto dinero heredó Lydia?
Pang manejó hasta la casa de su madre para dejarle su nueva televisión. Él manejó a 50 kilómetros por hora de ida y de vuelta, y se demoró 10 minutos en dejar la televisión. El viaje completo le tomó 94 minutos. ¿Cuán lejos vive su madre?

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