Ecuaciones con Variables en Ambos Lados

Digamos que tienes una ecuación como en que la variable aparece en ambos lados del signo igual. ¿Cómo podrías resolver la x de esta ecuación? Al finalizar esta sección, serás capaz de resolver ecuaciones como la anterior en que la variable está en ambos lados.

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CK-12 Foundation: 0309S Equations with Variables on Both Sides

Orientación

Cuando una variable aparece en ambos lados de la ecuación, necesitamos manipular la ecuación para que todos los términos variables aparezcan en un lado y solamente las constantes en el otro.

Ejemplo A

El profesor de Química le dijo a Dwayne que midiera el peso de un matraz vacío utilizando una balanza. Dwayne encontró pesos de solo un kilo e ideó la siguiente forma de equilibrar la balanza.

Si sabemos que cada peso es de 1 kilo, calcula el peso de un matraz.

Solución

Sabemos que el sistema se equilibra, por lo que los pesos en cada lado deben ser iguales. Podemos escribir una expresión algebraica basada en este hecho. La cantidad incógnita, el peso del matraz, será nuestra . Podemos observar que, en la izquierda de la balanza, tenemos un matraz y cuatro pesos. En el lado derecho, tenemos cuatros matraces y tres pesos. El equilibrio de la balanza es análogo al equilibrio de la siguiente ecuación.

"Un matraz más 4 kilos es igual a 4 matraz más 3 kilos"

Para resolver el peso del matraz, necesitamos todas las constantes (números) en un lado y todas las variables (términos con una ) en el otro lado. Ya que hay más matraces en el lado derecho y más pesos en el lado izquierdo, trataremos de mover todos los términos (matraces) a la derecha y las constantes (pesos) a la izquierda.

Primero, restamos 3 en ambos lados para obtener .

Luego, restamos en ambos lados para obtener .

Finalmente, dividimos por 3 por .

El peso de un matraz es un tercio de un kilo.

Podemos hacer lo mismo que hicimos con la ecuación con objetos reales. Simplemente como restamos cantidades de cada lado de la ecuación, podríamos remover un cierto número de pesos o matraces de cada parte de la balanza. Ya que sacamos el mismo número de objetos de cada lado, sabemos que la balanza seguirá en equilibrio.

Primero, podríamos sacar tres pesos de un lado de la balanza. Esto dejaría un matraz y un peso a la izquierda y cuatro matraces a la derecha (en otras palabras ):

Luego, podríamos sacar un matraz de cada lado de la balanza y así dejar solo un peso en el lado izquierdo y tres matraces en la derecha. Así obtenemos :

Al mirar la balanza, es claro que el peso de un matraz en un tercio de un kilo.

Para ver más ejemplos de resolución de ecuaciones con variables en ambos lados de la ecuación, mira el video de Khan Academy en http://www.youtube.com/watch?v=Zn-GbH2S0Dk .

Resolución de ecuaciones con símbolos de agrupación

Como has visto, podemos resolver ecuaciones con variables en ambos lados incluso cuando algunas de las variables están entre paréntesis. Simplemente necesitamos eliminar el paréntesis y luego comenzar a combinar los términos semejantes. Cuando trabajamos con fracciones utilizamos la misma técnica: primero, multiplicamos para eliminar las fracciones y luego podemos reorganizar los términos con la adición y la sustracción.

Ejemplo B

Resuelve .

Solución

Lo primero que haremos será eliminar la fracción. Podemos realizar esta acción al multiplicar ambos lados por 3 y así dejar .

Luego, distribuimos para eliminar el paréntesis y dejar .

Ya tenemos todas las constantes en el lado izquierdo así que moveremos las variables al lado derecho y restaremos en ambos lados. Eso nos deja con .

Finalmente, dividiremos por -4 para obtener , o .

Ejemplo C

Resuelve la de la siguiente ecuación :

Solución

La forma del lado izquierdo de esta ecuación se conoce como una función racional porque es la razón de dos otras funciones: y . Sin embargo, podemos resolverla como cualquier otra ecuación que involucra fracciones.

Primero, multiplicamos ambos lados por para eliminar la fracción. Ahora nuestra ecuación es .

Ahora, distribuimos .

Luego, restamos en ambos lados: .

Y dividimos por 7: .

Resolución de problemas reales utilizando ecuaciones con variables en ambos lados

Aquí te presentamos otra oportunidad para practicar la transformación de problemas verbales a ecuaciones. ¿Qué pide la ecuación? ¿Cuál es la variable incógnita ?¿Qué cantidad utilizaremos para nuestra variable?

El texto explica lo que está sucediendo. Descompone el problema en partes pequeñas y manejables y sigue todo lo que sucede con nuestra variable a través del problema.

Más de la Ley de Ohm

Recordemos que la corriente eléctrica, (amperios), que pasa a través de un componente electrónico varía directamente con el voltaje aplicado, (voltios), de acuerdo a la relación , donde es la resistencia medida en Ohms .

La resistencia de un número de componentes conectados en serie (uno después del otro) es simplemente la suma de todas las resistencias de los componentes individuales.

Ejemplo D

En un intento por encontrar la resistencia de un nuevo componente, un científico lo prueba en serie con resistores estándar. Un voltaje fijo causa una corriente de 4,8 amperes en un circuito hecho de un nuevo componente más un resistor en serie de Cuando el componente se ubica en un circuito en serie con un resistor de el mismo voltaje causa una corriente que fluye de 2,0 amperios. Calcula la resistencia del nuevo componente.

Este es un problema complejo de transformar, pero una vez que convertimos la información en ecuaciones, es relativamente fácil resolverlo. Primero, trataremos de encontrar la resistencia del nuevo componente (en Ohms, ). Esa es nuestra . No sabemos el voltaje que se utiliza, pero podemos dejarlo como nuestra variable, . Nuestra primera situación tiene una resistencia total que equivale a la resistencia incógnita más . La corriente es de 4,8 amperes. Al sustituirlo por la fórmula , obtenemos .

Nuestra segunda situación tiene una resistencia total que equivale la resistencia incógnita más . La corriente es de 2,0 amperes. Al sustituir por la misma ecuación, esta vez obtenemos .

Sabemos que el voltaje es fijo, por lo que la en la primera ecuación debe ser igual a la de la segunda. Eso significa que podemos establecer los lados derechos de las dos ecuaciones como equivalentes del otro lado . Entonces podemos resolver nuestra .

Primero, distribuye las constantes: .

Resta en ambos lados: .

Resta 72 en ambos lados: .

Divide por 2.8: .

La resistencia del componente es de .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Variables on Both Sides

Vocabulario

Una ecuación tiene variables en ambos lados si la variable aparece en alguna parte en ambos lados de la ecuación. Distribuye como sea necesario y luego simplifica la ecuación para tener la incógnita en un solo lado.

Práctica Guiada

1. A Sven le dijeron que encontrara el peso de una caja vacía con una balanza. Sven encontró pesos de un kilogramo y de cinco kilogramos. Ubicó dos pesos de un kilo en tres de las cajas y con una cuarta caja vacía descubrió la siguiente forma de equilibrar la balanza.

Si sabemos que los pesos pequeños son de un kilo y los grandes de 5 kilos, calcula el peso de una caja.

2. Resuelve .

Soluciónes:

1. Sabemos que el sistema se equilibra, por lo que los pesos de cada lado deben ser iguales. Podemos escribir una expresión algebraica basada en esta equivalencia. La cantidad de peso incógnita de cada caja vacía, en kilos, será nuestra . Una caja con dos pesos de 1 kilo dentro de ella pesa kilos. Nuestra ecuación, según el dibujo, es .

Al distribuir el 3 y simplificar, obtenemos .

Al restar en ambos lados, obtenemos .

Al restar 6 en ambos lados obtenemos .

Finalmente, podemos dividir por 2 para obtener , o .

Cada caja pesa 4,5 kilos.

2. Otra vez, comenzamos por eliminar la fracción. Al multiplicar ambos lados por 6 nos da como resultado , y al distribuir obtenemos .

Al restar en ambos lados, obtenemos .

Si restamos 12 en ambos lados, obtenemos .

Finalmente dividimos por 37 y tenemos como resultado .

Práctica

Para los ejercicios del 1 - 11, resuelve la variable incógnita de las siguientes ecuaciones.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. Manoj y Tamar están discutiendo sobre un truco numérico que escucharon. Tamar le dice a Andrew que piense en un número, lo multiplique por cinco y le reste tres al resultado. Luego, Manoj le dice a Andrew que piense en un número, le sume cinco y multiplique el resultado por tres. Andrew le dice que, de cualquier modo, Él siempre obtiene la misma respuesta.
    1. ¿Cuál era el número con el que empezó Andrew?
    2. ¿Cuál fue el resultado que Andrew obtuvo dos veces?
    3. Nombra otro conjunto de pasos que resultarían en la misma respuesta si Andrew comienza con el mismo número.
13. Manoj y Tamar tratan de encontrar un truco más difícil. Manoj le dice a Andrew que piense en un número, lo duplique, le sume seis y luego divida el resultado por dos. Tamar le dice a Andrew que piense en un número, le sume cinco, triplique el resultado, le reste seis y luego divida el resultado por tres.
    1. Andrew intenta realizar el truco de ambas formas y obtiene el número 10 cada vez. ¿Con qué número comenzó?
    2. Lo intenta de nuevo y obtiene el número 2 las dos veces. ¿Con qué número comenzó?
    3. ¿Hay un número con el que Andrew pueda comenzar que no le de la misma respuesta al realizar las dos formas del truco?
    4. Extra: Nombra otro conjunto de pasos que le darían a Andrew la misma respuesta cada vez como lo haría con los pasos de Manoj y Tamar.
14. Tengo suficiente dinero para comprar cinco CD etiquetados como regulares y me sobran $6. Sin embargo, todos los CD están en oferta hoy por $4 menos que el precio regular. Si pido prestado $2, puedo comprar nueve CD.
    1. ¿Cuántos CD hay a la venta para hoy?
    2. Si los CD no estuvieran en oferta ¿cuánto dinero tendría que pedir prestado para comprar nueve de ellos?
15. Cinco componentes electrónicos idénticos se conectaron en serie. Un voltaje fijo pero incógnito ubicado entre ellos causa que fluya una corriente de 2,3 amperios. Cuando dos de los componentes se reemplazan con resistores estándar de la corriente baja a 1,9 amperios. ¿Cuál es la resistencia de cada componente?
16. Resuelve los siguientes problemas de resistencia. Asume que el mismo voltaje se aplica a todos los circuitos.
    1. Tres resistores incógnitos más dan la misma corriente que un resistor incógnito más .
    2. Un resistor incógnito da una corriente de 1,5 amperios y un resistor de da una corriente de 3,0 amperios.
    3. Siete resistores incógnitos más dan dos veces la corriente de dos resistores incógnitos más .
    4. Tres resistores incógnitos más dan una corriente de 3,6 amperios y siete resistores incógnitos más siete resistores dan una corriente de 0,2 amperios.