Proporciones

En esta parte del capítulo aprenderás cómo utilizar productos cruzados para resolver la variable incógnita de los valores proporcionales.

Digamos que tienes dos razones que sabes que son equivalentes la una con la otra como por ejemplo $\frac{5}{x} = \frac{10}{3}$ en la que uno de dos números es incógnito. ¿Cómo podrías resolver la x ? Al finalizar esta sección serás capaz de escribir y resolver proporciones como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0311S Proportions (H264)

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Orientación

Cuando dos razones son equivalentes la uno con la otra las llamamos proporción. Por ejemplo, la ecuación $\frac{10}{5} = \frac{6}{9}$ es una proporción. Sabemos que es verdadera porque podemos reducir ambas fracciones a $\frac{2}{3}$ .

(¡Revísalo tú mismo para asegurarte!)

Por lo general, utilizamos las proporciones en ciencia y en negocios; por ejemplo, cuando se amplía el tamaño de algo. A menudo se utilizan para resolver la variable incógnita, por lo que utilizamos álgebra y la establecemos como la variable incógnita $x$ .

Ejemplo A

Una pequeña cadena de comida rápida funciona con 60 tiendas y recauda $1,2 millones de ganancia cada año. ¿Cuánto dinero ganaría la cadena si funcionara con 250 tiendas?

Solución

Primero, necesitamos escribir una razón: la razón del dinero ganado con el número de tiendas. Eso sería $\frac{\$1,200,000}{60}$ .

Ahora queremos saber cuánto es el dinero ganado si funcionara con 250 tiendas. Si establecemos ese dinero como $x$ ,Ahora queremos saber cuánto es el dinero ganado si funcionara con 250 tiendas. Si establecemos ese dinero como $\frac{x}{250}$ .

Como asumimos que el dinero ganado es proporcional al número de tiendas, las razones son equivalentes y nuestra proporción es $\frac{1,200,000}{60} = \frac{x}{250}$ .

(Fíjate que podemos eliminar las unidades - no porque sean lo mismo en el numerador y en el denominador, sino que porque son lo mismo en ambos lados de la ecuación).

Para resolver esta ecuación, primero simplificamos la fracción del lado izquierdo para obtener $20,000 = \frac{x}{250}$ . Luego multiplicamos ambos lados por 250 para obtener $5,000,000 = x$ .

Si la cadena de comida rápida funcionara con 250 tiendas, el dinero anual ganado sería 5 millones de dólares.

Resolución de proporciones utilizando productos cruzados

Una forma clara de simplificar las proporciones es con la multiplicación cruzada. Considera la siguiente proporción:

$\frac{16}{4} = \frac{20}{5}$

Si queremos eliminar las fracciones, podríamos multiplicar ambos lados por 4 y luego multiplicar ambos lados por 5. Pero supongamos que hacemos ambas al mismo tiempo.

$4 \times 5 \times \frac{16}{4} &= 4 \times 5 \times \frac{20}{5}\\\5 \times 16 &= 4 \times 20$

Ahora, comparamos esto con la proporción con la que comenzamos. Vemos que el denominador del lado izquierdo termina siendo multiplicado por el numerador del lado derecho También puedes ver que el denominador del lado derecho termina multiplicando al numerador del lado izquierdo.

En efecto, los dos denominadores se han multiplicado a través del signo igual:

Se convierten en $5 \times 16 = 4 \times 20$ .

Este movimiento de los denominadores se conoce como multiplicación cruzada. . Es extremadamente útil para resolver proporciones, especialmente cuando la variable incógnita está en el denominador.

Ejemplo B

Resuelve la $x$ de la siguiente proporción: $\frac{4}{3} = \frac{9}{x}$

Solución

Multiplica cruzado para obtener $4x = 9 \times 3$ , o $4x = 27$ . Luego dividimos ambos lados por 4 para obtener $x = \frac{27}{4}$ , o $x = 6.75$ .

Ejemplo C

Resuelve la $x$ de la siguiente proporción: $\frac{0.5}{3} = \frac{56}{x}$

Solución

Multiplica cruzado para obtener $0.5x = 56 \times 3$ , o $0.5x = 168.$ Luego dividimos ambos lados por 0,5 para obtener $x = 336.$

Resolución de problemas reales utilizando proporciones

Ejemplo D

Un tren que recorre todo el país viaja a una velocidad constante. Recorre 15 kilómetros en 20 minutos. ¿Cuán lejos viajará en 7 horas si asumimos que continúa a la misma velocidad?

Solución

Hemos trabajado con problemas de velocidad anteriormente; recuerda que la razón es $\frac{\text{distance}}{\text{time}}$ , así que utilizaremos esa razón para nuestra proporción. Podemos ver que la velocidad es $\frac{15 \ miles}{20 \ minutes}$ , y que la velocidad es igual a $\frac{x \ miles}{7 \ hours}$ .

Para establecer una proporción, primero tenemos que hacer que las unidades sean las mismas. 20 minutos es $\frac{1}{3}$ de una hora, por lo que nuestra proporción será $\frac{15}{\frac{1}{3}} = \frac{x}{7}$ . Esta es una razón que luce bastante complicada, pero ya que multiplicaremos cruzado, podemos dejarla como está.

Al multiplicar cruzado nos da como resultado $7 \times 15 = \frac{1}{3}x$ . Si multiplicamos ambos lados por 3 obtenemos $3 \times 7 \times 15 = x$ , o $x = 315$ .

El tren viajará 315 kilómetros en 7 horas.

Ejemplo E

En el Reino Unido, se dice que la enfermedad de Alzheimer afecta a una en cincuenta personas mayores de 65 años de edad. Si aproximadamente 250.000 personas sobre 65 años se ven afectadas en el Reino Unido, ¿cuántas personas hay en total sobre 65 años?

Solución

La razón fija en este caso es de 1 persona en 50. La cantidad incógnita $x$ es el número total de personas sobre 65 años. Fíjate que en este caso no necesitamos incluir las unidades, ya que serán anuladas entre el numerador y el denominador.

Nuestra proporción es $\frac{1}{50} = \frac{250000}{x}$ . Cada razón representa:

$\frac{\text{people with Alzheimer's}}{\text{total people}}$ .

Al multiplicar cruzado, obtenemos $1 \cdot x = 250000 \cdot 50$ , o $x = 12,500,000$ .

Hay aproximadamente 12,5 millones de personas sobre 65 años en el Reino Unido.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Proportions

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Vocabulario

Una razón es una forma de comparar dos números, medidas o cantidades a través de la división de un número por otro y de la expresión de la respuesta como una fracción.
Una proporción se forma cuando dos radios se establecen como equivalentes el uno del otro.
La multiplicación cruzada es útil para resolver ecuaciones en forma de proporciones. Para la multiplicación cruzada, multiplica la base de cada razón, con el número de arriba de la otra razón e iguálalos. Por ejemplo, la multiplicación cruzada resulta en $11 \times 3 = 5x$ .
La escala es la proporción que relaciona la distancia de un mapa con la distancia en la vida real.

Práctica Guiada

Una compañía química hace lotes de solución de sulfato de cobre agregándole 250 kilos de polvo de sulfato de cobre a 1000 litros de agua. Un químico laboratorista quiere hacer una solución de idéntica concentración, pero sólo necesita 350 mL (0,35 litros) de solución. ¿Cuánto polvo de sulfato de cobre debería agregar al agua el químico?

Solución

En la primera parte a razón de polvo y agua en kilogramos por litro es $\frac{250}{1000}$ , que se reduce a $\frac{1}{4}$ . En la segunda parte, la cantidad incógnita es cuánto polvo agregar. Si establecemos esa cantidad como $x$ , la razón es $\frac{x}{0.35}$ . Por lo que nuestra proporción es $\frac{1}{4} = \frac{x}{0.35}$ .

Para resolver la $x$ ,primero multiplicamos ambos lados por 0,35 para obtener $\frac{0.35}{4}=x$ , o $x = 0.0875$ .

La masa de sulfato de cobre que el químico debería agregar es 0,0875 kg o 87,5 gramos.

Práctica

Resuelve las siguientes proporciones.

$\frac{13}{6} = \frac{5}{x}$
$\frac{1.25}{7} = \frac{3.6}{x}$
$\frac{6}{19} = \frac{x}{11}$
$\frac{1}{x} = \frac{0.01}{5}$
$\frac{300}{4} = \frac{x}{99}$
$\frac{2.75}{9} = \frac{x}{ \left( \frac{2}{9} \right )}$
$\frac{1.3}{4} = \frac{x}{1.3}$
$\frac{0.1}{1.01} = \frac{1.9}{x}$
$\frac{5}{36} = \frac{x}{30}$
$\frac{10}{3} = \frac{6.9}{x}$

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