Aplicaciones a Escala y Medida Indirecta

Digamos que tienes un modelo de la Torre Eiffel a escala de 1:80. El modelo se erige a 4 metros de altura. ¿Cómo podrías encontrar la altura de la verdadera Torre Eiffel? Al finalizar esta sección, serás capaz de utilizar medidas indirectas para resolver problemas a escala como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0312S Scale and Indirect Measurement (H264)

Para encontrar más problemas y ejercicios de aplicación avanzados relacionados con razones, mira el video de Khan Academy en http://www.youtube.com/watch?v=PASSD2OcU0c .

Orientación

Una actividad que siempre utiliza las razones es hacer mapas. La escala de un mapa describe la relación entre las distancias de un mapa y las distancias correspondientes en la superficie de la Tierra. Estas medidas se expresan como una fracción o una razón.

Hasta ahora solo hemos escrito razones como fracción, pero fuera de los libros de matemáticas, las razones, por lo general, se escriben como dos números separados por dos puntos (:). Por ejemplo, en vez de escribir , escribimos 2:3.

Las razones escritas de esta forma se usan para expresar la relación entre un mapa y el área que representa. Por ejemplo, un mapa con una escala de 1:1000 sería un mapa donde una unidad de medida (como un centímetro) del mapa representaría 1000 de la misma unidad (1000 centímetros o 10 metros) en la vida real.

Ejemplo A

Anne está visitando a un amigo en Londres, y está usando el mapa que te presentamos a continuación para navegar desde Fleet Street a Borough Road. Está utilizando un mapa con escala 1: 100.000, donde 1 cm del mapa representa 1 kilómetro en la vida real. Con la ayuda de una regla, Anne mide la distancia del mapa en 8,8 cm. ¿Cuál es la distancia real desde el comienzo de su viaje hasta el final?

Solución

La escala es la razón de la distancia en un mapa con la distancia correspondiente a la vida real. Escrito como fracción, significa . También podemos escribir una razón equivalente para la distancia que Anne mide en el mapa y la distancia en la vida real que ella trata de encontrar: . Al establecer como igualdades estas dos razones obtenemos nuestra proporción: . Luego podemos multiplicar cruzado para lograr .

Esa es la cantidad de centímetros entre Fleet Street y Borough Road que ahora necesitamos convertir en kilómetros. Hay 100.000 cm en un km, así que tenemos que dividir nuestra respuesta por 100.000.

La distancia entre Fleet Street y Borough Road es de 8,8 km.

En este problema, simplemente podríamos haber utilizado nuestra intuición: la escala nos dice que cualquier número de cm en el mapa es igual al mismo número de km en la vida real. Pero no todos los mapas tienen una escala tan simple. Usualmente, necesitarás consultar la escala de un mapa para convertir entre medidas de un mapa y distancias en la vida real.

Ejemplo B

Antonio está dibujando un mapa de su escuela para un proyecto de matemáticas. Ha dibujado el siguiente mapa de los edificios de su escuela y las áreas exteriores.

Está tratando de determinar la escala de su figura. Él sabe que la distancia desde el punto marcado como A en el diamante de baseball al punto marcado como B en el campo de atletismo es de 183 metros. Utiliza las dimensiones marcadas en el dibujo para determinar la escala de este mapa.

Solución

Sabemos que la distancia en la vida real es de 183 mt, y la escala es la razón .

Para encontrar la distancia en el mapa, utilizamos el teorema de Pitágoras: , donde y son las longitudes verticales y horizontales y es la diagonal entre los puntos y .

Por lo que la distancia en el mapa es de alrededor 16,12 cm. La distancia en la vida real es de 183 m, que significan 18300 cm. Ahora podemos dividir:

La escala en el mapa de Antonio es de aproximadamente 1:1100

Otro uso visual de la razón y proporción es en los dibujos a escala . Los dibujos a escala (generalmente llamados planos ) son muy usados por los arquitectos. Las ecuaciones que rigen las escalas son las mismas que utilizamos en los mapas; la escala de un dibujo es la razón .

Ejemplo C

Oscar está tratando de hacer un dibujo a escala del Titanic, el que sabía que medía 883 metros de largo. A Él le gustaría que su dibujo tuviera una escala de 1:500. ¿De cuántos centímetros de largo debe ser su hoja de papel?

Solución

Podemos razonar, de manera intuitiva que si la escala es de 1:500, el papel debe ser de largo. Al convertirlo en centímetros significa que la longitud es .

La hoja de papel de Oscar debe ser al menos de 22 centímetros de largo.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Scale and Indirect Measurement

Vocabulario

• Una razón es una forma de comparar dos números, medidas o cantidades a través de la división de un número por otro y de la expresión de la respuesta como una fracción.
• Una proporción se forma cuando dos radios se establecen como equivalentes el uno del otro.
• La multiplicación cruzada es útil para resolver ecuaciones en forma de proporciones. Para la multiplicación cruzada, multiplica la base de cada razón, con el número de arriba de la otra razón e iguálalos. Por ejemplo, la multiplicación cruzada resulta en .
• Escala es la proporción que relacional la distancia de un mapa con la distancia en la vida real.

Práctica Guiada

El estadio Rose Bowl en Pasadena, California mide 880 metros de norte a sur y 695 metros de este a oeste. Se hará un diagrama a escala del estadio. Si 1 centímetro representa 100 metros, ¿cuáles serían las dimensiones del estadio dibujado en una hoja de papel? ¿Sería adecuada una hoja de papel estándar de centímetros?

Solución

En vez de usar una proporción, simplemente podríamos utilizar la siguiente ecuación: (distancia en el diagrama) = (distancia en la vida real) (escala). (Podemos derivar esto del hecho que .)

Si conectamos esto, obtenemos

El diagrama a escala será de . Una hoja de papel estándar sí es adecuada.

Práctica

1. Un restaurant sirve a 100 personas al día y gana $908. Si el restaurant sirviera a 250 personas por día ¿cuánto dinero ganarían?
2. La montaña más alta de Canadá es el Monte Yukon. Es el tamaño de Ben Nevis, la cima más alta de Escocia. El Monte Elbert en Colorado es la cima más alta de Rocky Mountains. El Monte Elbert es la altura de Ben Nevis y el tamaño del Mont Blanc en Francia. El Mont Blanc mide 4800 metros de altura. ¿Cuál es la altura del Monte Yukon?
3. En una gran escuela se estima que dos de cada tres estudiantes tiene un celular, y uno de cinco de todos los estudiantes tiene un celular que es un año antiguo o más. Fuera de los estudiantes que poseen un celular, ¿cuál es la proporción de estudiantes que posee un celular de más de un año?

Para los ejercicios 4 - 6, imagina que un mapa de Radio City tiene una escala de 1:1.000.000, donde 1 centímetro en el mapa representa 10 kilómetros en la vida real. Utiliza una escala para determinar la distancia real en kilómetros.

4. la distancia entre la municipalidad y la escuela es 1,2 cm.
5. La distancia en el mapa entre la municipalidad y la biblioteca principal es 0,6 cm.
6. La distancia en el mapa entre la biblioteca principal y la escuela es de 0,4 cm.

Para los ejercicios 7 - 10, utiliza el mapa del Ejemplo A. Utilizando la escala usada en el mapa, determina las distancias (redondeada a la mitad del km más cercano) entre

7. Puntos 1 y 4
8. Puntos 22 y 25
9. Puntos 18 y 13
10. Tower Bridge y London Bridge