Porcentaje de Cambio

En esta parte del capítulo, aprenderás a utilizar el porcentaje de cambio para encontrar cuánto es el valor de aumento o disminución.

Digamos que una impresora que normalmente cuesta $125 fue rebajada a $100. ¿Cómo podrías calcular el porcentaje de rebaja? Al finalizar esta sección, serás capaz de determinar el porcentaje de cambio de problemas como el anterior.

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CK-12 Foundation: 0315S Percent of Change (H264)

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Una manera útil de expresar los cambios en las cantidades es a través de porcentajes. Probablemente has visto letreros como "20% de descuento" o "ahorra un 35% hoy". Cuando utilizamos porcentajes para representar un cambio, generalmente utilizamos la fórmula

$\text{Percent change} = \frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \times 100\%$

$\frac{\text{percent change}}{100} = \frac{\text{actual change}}{\text{original amount}}$

Esto significa que un porcentaje de cambio positivo es un aumento , mientras que un cambio negativo es una disminución. .

Ejemplo A

Una escuela de 500 estudiantes espera un aumento del 20% en el ingreso de estudiantes para el año siguiente. ¿Cuántos estudiantes tendrá la escuela?

Solución

Primero, resolvamos el problema utilizando la primera fórmula. Ya que el 20% de cambio es un aumento, lo representamos en la fórmula como 20 (si fuera una disminución sería -20). Si juntamos todos los números obtenemos

$20\% = \frac{\text{final amount} - 500}{500} \times 100\%$

Al dividir ambos lados por 100%, obtenemos $0.2 = \frac{\text{final amount} - 500}{500}$ .

Al multiplicar ambos lados por 500, obtenemos $100 = \text{final amount} - 500$ .

Luego, sumamos 500 a ambos lados lo que resulta en que 600 será el número final de estudiantes.

¿Qué pasaría si utilizáramos la segunda fórmula? Entonces obtendríamos $\frac{20}{100} = \frac{\text{actual change}}{500}$ . (cambio actual). Al reducir la fracción a $\frac{1}{5}$ el problema será más fácil, así que reescribamos esta ecuación como $\frac{1}{5} = \frac{\text{actual change}}{500}.$

La multiplicación cruzada es nuestro siguiente paso: eso nos da como resultado $500 = 5 \times (\text{actual change})$ . Al dividir ambos lados por 5, nos dice que el cambio es igual a 100. Nos dijeron que este era un aumento, por lo que si empezamos con 500 estudiantes, luego de un aumento de 100 estudiantes, habrá un total de 600.

Margen de Beneficio

Un margen de beneficio es el aumento en el precio que una tienda paga por un objeto entregado por su proveedor comparada con el precio de venta que se le ofrece al público. Por ejemplo, un margen de beneficio de 100% (también conocido como margen ) significa que el precio se ha duplicado. La mitad de los precios de venta cubren el costo del objeto por parte del proveedor y la otra mitad es ganancia.

Ejemplo B

Una tienda de muebles añade un 30% de margen de beneficio a lo que vende. Ofrece a sus empleados un 20% de descuento en el precio de venta. Los empleados piden un 25% de descuento argumentando que la tienda seguiría recibiendo ganancias. El gerente dice que un 25% de descuento del precio de venta causaría que la tienda pierda dinero. ¿Quién tiene la razón?

Solución

Consideraremos este problema desde dos puntos. Primero, pensemos en un objeto que la tienda compra a su proveedor por cierto precio, digamos $1000. El margen de beneficios sería 30% de 1000, o $300, por lo que el objeto se vendería por $1300 y la tienda tendría una ganancia de $300.

¿Qué pasaría si un empleado compra el producto? Con un descuento de 20%, el empleado pagaría 80% de los $1300 del precio de venta, o $0.8 \times \$1300 = \$1040$ .

Sin embargo, con un descuento de 25%, el empleado pagaría 75% del precio de venta, $0.75 \times \$1300 = \$975$ .

Entonces, con un 20% de descuento para los empleados, la tienda aún ganaría $40 de ganancia en el objeto que compraron por $1000, pero con un 25% de descuento para los empleados, la tienda pierde $25 del valor del objeto.

Ahora, utilicemos algebra para ver cómo funciona con un objeto de cualquier precio. Si $x$ es el precio de un objeto, entonces el margen de beneficio de una tienda es 30% de $x$ , o $0.3x$ , y el precio de venta del objeto es $x + 0.3x$ , o $1.3x$ . Un empleado que compra el objeto con un 20% de descuento pagaría $0.8 \times 1.3x = 1.04x$ , mientras que si lo compra con un 25% de descuento pagaría $0.75 \times 1.3x = 0.975x$ .

Entonces el gerente tiene razón: Un 20% de descuento para los empleados permite que la tienda obtenga ganancias, mientras que un 25% de descuento causa que la tienda pierda dinero.

Pareciera que no tiene sentido que la tienda perdiera dinero después de aplicar un 30% de margen de beneficio y solo un 25% de descuento. La razón por la que funciona de esta manera es porque el descuento es mayor en dólares absolutos después de que se considera el margen de beneficio. Eso significa que un empleado que tiene un descuento de 25% de un objeto está ganando un 25% de descuento del precio original más 25% de descuento del margen de beneficio que es un 30%, y esos dos números juntos suman más del 30% del precio original.

Resolución de Problemas Reales Usando Porcentajes

Ejemplo C

En el año 2004, el Departamento de Agricultura de Estados Unidos (USDA en inglés) tenía 112.071 empleados, de los cuales 87.846 eran caucásicos. De las minorías restantes, los empleados afroamericanos y los hispanos formaban los dos grupos demográficos más grandes, con 11.754 y 6.899 respectivamente. $^*$

a) Calcula el porcentaje total de la minoría (no caucásica) de empleados en el USDA.

b) Calcula el porcentaje de empleados afroamericanos en el USDA

c) Calcula el porcentaje de la minoría de empleados que no son ni afroamericanos ni hispánicos.

Solución

a) Utiliza la ecuación porcentual $\text{Rate} \times \text{Total} = \text{Part}$ .

El número total de empleados es 112.071. Sabemos que el número de empleados caucásicos es de 87.846, lo que significa que debe haber $112071 - 87646 = 24225$ empleados no caucásicos. Esta es la parte . Al juntar el total y la parte, obtenemos $\text{Rate} \times 112071 = 24225$ .

Divide ambos lados por 112.071para obtener $\text{Rate} = \frac{24225}{112071} \approx 0.216$ . Al multiplicar ambos lados por 100, obtenemos como porcentaje 21,6%

21,6% de los empleados de USDA en el 2004 eran un grupo minoritario.

b) Aquí, el total todavía es 112.071 y la parte es 11.754, así que tenemos $\text{Rate} \times 112071 = 11754$ . Si dividimos, obtenemos $\text{Rate} = \frac{11754}{112071} \approx 0.105$ , o 10.5%.

10,5% de los empleados de USDA en 2004 eran afroamericanos.

c) Aquí, nuestro total es solo el número de empleados no caucásicos, que descubrimos que era 24.225. Al restar los empleados afroamericanos e hispanos quedamos con $24225 - 11754 - 6899 = 5572$ empleados en el grupo que estamos buscando.

Entonces, con 24.225 para el total y 5.572 para la parte, nuestra ecuación es: $\text{Rate} \times 24225 = 5572$ , o $\text{Rate} = \frac{5572}{24225} \approx 0.230$ , o 23%.

23% de las minorías de empleados de USDA en 2004 no eran ni afroamericanos ni hispanos.

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CK-12 Foundation: Percent of Change

Vocabulario

Un porcentaje es simplemente una razón con una unidad base de 100, por ejemplo $13\% = \frac{13}{100}$ .
Las ecuaciones porcentuales son $\text{Rate} \times \text{Total} = \text{Part}$ , o del Total es la Parte
La ecuación del porcentaje de cambio es $\text{Percent change} = \frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \times 100\%.$ Un porcentaje de cambio positivo significa que el valor aumento , mientras que un porcentaje de cambio negativo significa que el valor disminuye.

Práctica Guiada

En 1995, Nueva York tenía 18.136.000 residentes. Habían 827.025 crímenes reportados, de cuales 152.683 eran violentos. Para el 2005, la población era de 1.9254.630 y habían 85.839 crímenes violentos de un total de 491.829 crímenes reportados. (Fuente: New York Law Enforcement Agency Uniform Crime Reports). Calcula el porcentaje de cambio desde 1995 a 2005 en:

a) La población de Nueva York

b) El total de crímenes reportados

c) Los crímenes violentos.

Solución

Este es un problema de porcentaje de cambio. Recuerda que la fórmula del porcentaje de cambio es

$\text{Percent change} = \frac{\text{final amount - original amount}}{\text{original amount}} \times 100\%$

En este problema, la cantidad final son las estadísticas de 2005, y la cantidad inicial son las estadísticas de 1995.

a) Población

$\text{Percent change} &= \frac{19254630 - 18136000}{18136000} \times 100\%\\\&= \frac{1118630}{18136000} \times 100\%\\\&\approx 0.0617 \times 100\%\\\&= 6.17\%$

La población creció en un 6,17%.

b) Total de crímenes reportados

$\text{Percent change} &= \frac{491829 - 827025}{827025} \times 100\%\\\&= \frac{-335196}{827025} \times 100\%\\\&\approx -0.4053 \times 100\%\\\&= -40.53\%$

El número total de crímenes reportados disminuyé en un 40,53%

c) Crímenes violentos

$\text{Percent change} &= \frac{85839 - 152683}{152683} \times 100\%\\\&= \frac{-66844}{152683} \times 100\%\\\&\approx -0.4377 \times 100\%\\\&= -43.77\%$

El número total de crímenes violentos disminuyé en un 43,77%

Práctica

Para las preguntas 1 - 3: un estilista cobra $70 por un corte de cabello. Dependiendo de cuánto des de propina, ¿cuál será el costo total del corte?

Das de propina 15%.
Das de propina 20%.
Das de propina 25%.
¿250 es qué porcentaje de 195?
¿0,0032 es qué porcentaje de 0,045?
Una empleada de una tienda recibe $9,50 por hora trabajada. Si ella trabaja un año completo, obtiene un 12% de aumento en su paga. ¿Cuál será su nueva tarifa por hora después del aumento?
Se anuncia la venta de un televisor. Tiene un 35% de descuento y ahora cuesta $195. ¿Cuál fue el anterior precio de venta?
Se anunció la venta de un televisor. Si ahorraste $40 y la compraste por $160 ¿cuál fue el porcentaje de descuento?
Se anuncia la venta de otro televisor. Si este televisor también es $40 más barato que el precio de pre-venta, ¿tenía el mismo porcentaje de descuento que el televisor de la pregunta anterior? Explica!
La tienda $A$ y la tienda $B$ venden bicicletas y ambas compran bicicletas al mismo proveedor por el mismo precio. La tienda $A$ tiene un margen de beneficio de 40% para sus precios. Mientras que la tienda $B$ tiene un margen de beneficio de 250%. La tienda $B$ tiene ventas permanentes y siempre venderá a un 60% de los precios del margen de beneficio. ¿Qué tienda ofrece una mejor venta?

Recursos de Texas Instruments

En el Flexbook "CK-12 Texas Instruments Algebra I" hay actividades con calculadoras gráficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones de este capítulo. Vease http://www.ck12.org/flexr/chapter/9613 .

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