Gráficos en el Plano Cartesiano

En este capítulo aprenderás cómo hacer una tabla de valores y graficar una función a partir de la regla de una función.

.Si tienes una regla de función o fórmula como la siguiente: $y = 2x - 3$ ¿cómo graficarías la función en el plano cartesiano? Una vez completada esta sección, sabrás cómo graficar funciones como esta, ya sea creando una tabla de valores o usando su pendiente e intercepto.

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CK-12 Foundation: 0402S Graphs in the Coordinate Plane (H264)-1

Orientación

Una vez que sabemos cómo graficar puntos en el plano cartesiano, podemos pensar en cómo graficar una relación entre valores de $x-$ e $y-$ Hasta ahora hemos graficado solamente conjuntos de pares ordenados. Un conjunto como ese es una relación , pero no hay necesariamente una relación entre los valores de $x-$ y los valores de $y-$ Si hay una relación entre los valores de $x-$ y los valores de $y-$ además cada valor de $x-$ vse corresponde exactamente con un valor de $y-$ entonces esta relación se llama función . Recuerda que una función es una manera específica de relacionar una cantidad con otra.

Ejemplo A

Supongamos que estás leyendo un libro y que lees veinte páginas por hora, existe una relación entre la cantidad de horas que lees y la cantidad de páginas. Incluso puede ser que sepas escribir la fórmula como $n=20h$ o $h= \frac{n} {20}$ , donde $h$ es el número de horas que pasas leyendo y $n$ el número de páginas. Para saber, por ejemplo, cuántas páginas leerías en $3 \frac{1}{2}$ horas, o cuántas horas necesitas para leer 46 páginas, puedes usar una de esas fórmulas. O puedes hacer una gráfico de la función:

Una vez que sabes cómo graficar una función como esta, basta con que leas la relación que hay entre los valores de $x-$ e $y-$ a partir del gráfico. Puedes ver en este caso que podrías leer 70 páginas en $3 \frac{1}{2}$ horas y tardarías alrededor de $2 \frac{1}{3}$ horas en leer 46 páginas.

En general, el gráfico de una función tiene la forma de una línea o una curva que pasa por todos los puntos que presentan la relación que esa función describe. Si el dominio de la función (el conjunto de los valores de $x-$ que podemos reemplazar en la función) está compuesto de números reales, la función se llama función continua . Si el dominio de la función es un conjunto específico de valores (por ejemplo, solo número enteros), la función se llama función discreta . El gráfico será una serie de puntos, pero igual por lo general estos puntos se sitúan a lo largo de una línea o una curva.

Al graficar ecuaciones, asumimos que el dominio está compuesto solo de números reales, a menos que se exprese lo contrario. Aunque, a menudo, cuando observamos los datos en un tabla, el dominio estará conformado por números enteros ( número de obsequios, número de días, etc.) y la función será discreta. Sin embargo a veces, de todas formas dibujaremos el gráfico como una línea continua para que sea más fácil de interpretar. Ten presente la diferencia entre las funciones discretas y continuas a medida que revisas los ejemplos .

Ejemplo B

Sara está pensando en el número de regalos que recibirá como una función del número de amigos que vendrán a su fiesta de cumpleaños. Sabe que recibirá un regalo de sus padres, uno de sus abuelos, uno de su tío y uno de su tía. Quiere invitar hasta diez de sus amigos, quienes traerán un regalo cada uno. Sara hace una tabla con el número de regalos que recibiráa si uno, dos, tres, cuatro o cinco amigos vienen a la fiesta. Marca los puntos en el plano cartesiano y grafica la función que relaciona el número de presentes con el número de amigos. Usa el gráfico para calcular cuántos regalos recibiráa si solo ocho amigos van a la fiesta.

número de amigos	número de regalos
0	4
1	5
2	6
3	7
4	8
5	9

Lo primero que tenemos que hacer, es decidir cómo se verá nuestro gráfico. Hay que decidir Cuál es la variable independiente y dependiente. En este caso está claro que el número de amigos puede variar independientemente, pero el número de regalos depende del número de amigos que vayan a la fiesta.

Graficamos el número de amigos en el eje $x-$ y los regalos en el eje $y-$ Agregamos otra columna en la tabla con las coordenadas de cada par ordenado (amigos, regalos)

Amigos $(x)$	Regalos $(y)$	Coordenadas $(x,y)$
0	4	(0, 4)
1	5	(1, 5)
2	6	(2, 6)
3	7	(3, 7)
4	8	(4, 8)
5	9	(5, 9)

A continuación, tenemos que establecer los ejes. está claro que el número de amigos y el número de regalos son positivos, por lo tanto, solo mostraremos puntos en el cuadrante I. Posteriormente, hay que elegir una escala apropiada para los ejes $x-$ e $y-$ . Solo hay que considerar a ocho amigos (mira otra vez la pregunta para confirmar el número), sin embargo, siempre ayuda tener espacio extra en el gráfico. También necesitamos la escala del eje $y-$ para ubicar el número de presentes para ocho personas. Como vemos, serán menos de 20 unidades.

La escala de este gráfico tiene espacio para 12 amigos y 15 regalos. Es una escala apropiada, sin embargo, hay muchas otras opciones de escalas que También funcionarían.

Ahora procedemos a marcar los puntos en el plano. Los cinco primeros puntos son las coordenadas de nuestra tabla. Puedes ver que todos ellos se ubican sobre una línea recta, así que la función que describe la relación entre $x$ e $y$ será lineal. Para graficar la función, simplemente dibujamos una recta que pase por los cinco puntos. Esta recta representa a la función.

Se trata de un problema discreto, ya que Sara solo puede invitar a un número entero y positivo de amigos. Por ejemplo, seráa imposible que llegaran 2,4 o -3 amigos a la fiesta. así, aunque la línea nos ayuda a ver Dónde se encuentran los otros valores de la función, los únicos puntos sobre la línea que en realidad son valores de la función son aquellos con coordenadas de números enteros positivos.

El gráfico nos permite encontrar fácilmente otros valores de la función. Por ejemplo, queríamos saber cuántos regalos recibiráa Sara si ocho amigos venían a su fiesta. No olvides que el eje $x$ representa el número de amigos y el eje $y$ representa el número de regalos. Si miramos el gráfico donde $x=8$ , podemos ver que la función tiene un valor de $y-$ de 12.

Solución

Si 8 amigos van a la fiesta, Sara recibirá un total de 12 regalos.

Cómo graficar una función a partir de una fórmula

Si tenemos una fórmula en vez de una tabla, podemos graficar la función de dos formas. Usaremos el siguiente ejemplo para mostrar cada una de estas formas:

Ejemplo C

Ali está tratando de resolver un truco que su amigo le mostró. Su amigo comenzó pidiéndole pensar en un número, luego multiplicarlo por dos y finalmente sumarle cinco al resultado. Ali ha escrito una regla para describir la primera parte de este truco. Usa la letra $x$ para representar el número en el cual pensí y la letra $y$ para representar el resultado final luego de aplicar la regla. Ha escrito la regla en forma de una ecuación: $y = 2x + 5$ .

Ayúdalo a visualizar qué sucede graficando la función que esta regla describe.

Primer método- Construir una tabla de valores

Si queremos trazar algunos puntos en el plano para saber qué pasa con esta función, la mejor forma es construir una tabla y llenarla con algunos pares ordenados $(x, y)$ Usaremos 0, 1, 2 y 3 para los valores de $x-$ .

$x$	$y$
0	5
1	7
2	9
3	11

A continuación, trazaremos los puntos y los uniremos con una línea.

Este es un buen método y simple, especialmente para graficar relaciones lineales, donde no necesitamos trazar más de dos o tres puntos para ver la forma del gráfico. En este caso, la función es continua ya que los números del dominio son números reales. Ali podría pensar en cualquier número real, aun cuando lo más probable es que solo está pensando en un número real positivo.

Segundo método- Intercepto y Pendiente

Otra forma de graficar esta función (una que aprenderemos en detalle más adelante) es el método del intercepto o punto y pendiente. Para usar este método, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar el valor de $y$ cuando $y = 0$ .

$y(0) = 2 \cdot 0 + 5 = 5$ , así nuestro intercepto en $y-$ es (0, 5).

2. Observa el coeficiente que multiplica a $x$ .

Cada vez que $x$ aumenta en una unidad, , $y$ aumenta en dos, así nuestra pendiente es +2.

3. Traza la línea con esta pendiente que pase a través del intercepto. Partimos en el punto (0, 5) y nos movemos una unidad en la dirección de $x-$ , luego dos unidades hacia arriba en la dirección de $y-$ . Esto nos da la pendiente de nuestra línea, que extendemos en ambas direcciones.

Examinaremos este método con más detalle más adelante en este capítulo.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphs in the Coordinate Plane

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

El plano cartesiano es un espacio bidimensional delimitado por una recta numérica horizontal (el eje $x-$ ) y una recta numérica vertical (el eje $y-$ ). El origen es el punto donde estas dos rectas se encuentran. Se forman cuatro áreas o cuadrantes, como lo muestra el diagrama de arriba.
Cada punto del plano cartesiano tiene un conjunto de coordenadas, dos números escritos como un par ordenado que describen qué tan lejos se encuentra un punto a lo largo del eje $x-$ y del eje $y-$ . La coordenada $x-$ se escribe siempre en primer lugar, luego la coordenadas $y-$ , en la forma $(x, y)$ .
Las Funciones son una forma en la que podemos relacionar una cantidad con otra. Las funciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano.

Práctica guiada

1. ¿De qué cuadrantes es límite el punto (0, -2)?

2. Si mueves el punto (-3, 4) hacia abajo 5 unidades, ¿en qué cuadrante se ubicaría?

Soluciones:

1. Ya que el valor de X es 0, el punto se encuentra sobre el eje Y. Ya que el valor de Y es negativo, el punto se encuentra en la mitad inferior del eje Y. Es el límite entre el tercer y cuarto cuadrante.

2. Mover el punto hacia abajo 5 unidades, equivale a restarle 5 unidades al valor de Y. $(-3, 4-5)=(-3, -1)$ ). Como se trata de dos coordenadas negativas, se ubica en el tercer cuadrante.

Práctica

Considera el gráfico de la ecuación $y=3$ . ¿Por cuál cuadrante pasa?
Considera el gráfico de la ecuación $y=x$ . ¿Por cuál cuadrante pasa?
Considera el gráfico de la ecuación $y=x+3$ . ¿Por cuál cuadrante pasa?
¿Sobre el límite de Cuáles dos cuadrantes se encuentra el punto (4, 0)?
¿Sobre el límite de Cuáles dos cuadrantes se encuentra el punto (0, -5)?
Si el punto (3, 2) se mueve cinco unidades a la izquierda ¿en qué cuadrante se ubicaría?
Los siguientes tres puntos son tres vértices del cuadrado $ABCD$ . Márcalos sobre un gráfico y a continuación determina las coordenadas del cuarto punto, $D$ . Marca ese punto y etiquetalo. $A (-4, -4) \ B (3, -4) \ C (3, 3)$
¿En qué cuadrante se ubica el centro del cuadrado del problema 7? (Puedes encontrar el centro dibujando las diagonales del cuadrado)
¿Qué punto se encuentra en la mitad entre (1, 3) y (1, 5)?
¿Qué punto se encuentra en la mitad entre (2, 8) y (6, 8)?
¿Qué punto se encuentra en la mitad entre el origen y (10, 4)?
¿Qué punto se encuentra en la mitad entre (3, -2) y (-3, 2)?
Becky tiene un paquete grande de dulces M&Ms que sabe que debería compartir con Jaeyun. Y Jaeyun tiene un paquete de caramelos Starburst. Becky le dice a Jaeyun que por cada Starburst que le de, ella le dará tres MMs a cambio. Si es el número de Starbursts que Jaeyun le da a Becky y si representa el número de MMs que recibe, completa los siguientes ejercicios:
1. Escribe una fórmula algebraica para $y$ en función de $x$ .
1. Elabora una tabla de valores para $y$ con los valores de $x$ -de 0, 1, 2, 3, 4, 5.
1. Grafica la función que relaciona a $x$ con $y$ con la siguiente escala: $0 \le x \le 10, \ 0 \le y \le 10$ .

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