Gráficos de Ecuaciones Lineales

En este capítulo aprenderás cómo graficar ecuaciones lineales y a hacer predicciones a partir del análisis de tales gráficos.

Imagina que un bowling cobra $3 por el primer juego y $2 por juego adicional. ¿cómo graficarías esta relación funcional? ¿cómo la usarías para calcular el costo de jugar 5 juegos? Una vez completada esta sección, sabrás cómo graficar y analizar funciones lineales como esta.

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CK-12 Foundation: 0403S Graphs of Linear Equations (H264)

Orientación

Imagina que estás en el centro de la ciudad de noche, sin transporte y con solo $8 en tus bolsillos, tu casa está a 6 km. Hay solamente dos compañías de taxi en esa área; una cobra $1, 20 un kilómetro con un recargo adicional de $1 y la otra cobra $0, 90 el kilómetro con un recargo adicional de $2, 50. ¿Cuál de los dos taxis podrías pagar?

cómo graficar una ecuación lineal

Al final de la unidad 4.1 vimos formas de graficar una función a partir de una fórmula. Una fórmula es una forma de escribir la relación que hay entre las dos cantidades que estemos graficando. En matemáticas, tendemos a usar las palabras formula y ecuación para describir las reglas que obtenemos cuando expresamos relaciones algebraicamente. Saber interpretar y graficar estas ecuaciones es una habilidad importante que usarás con frecuencia en matemáticas.

Ejemplo A

El precio de un taxi depende de la distancia viajada. Los taxis por lo general cobran un cantidad de dinero adicional al costo por kilometro para cubrir el gasto por tomar el taxi. En este caso, el taxi cobra una tarifa fija de $3 y $0,8 por kilómetro recorrido. La ecuación para representar la relación entre el precio en dólares $(y)$ por tomar el taxi y la distancia recorrida en kilómetros $(x)$ es la siguiente: .

$y = 0.8x + 3$

Haz el gráfico de la ecuación y úsalo para calcular el costo de un viaje de 7 kilometros.

Solución

Comenzaremos creando una tabla de valores. Tomares algunos valores para $x$ (0, 1, 2, 3 y 4), encuentra los valores correspondientes de $y-$ ,luego márcalos en el gráfico. Ya que nos piden calcular el precio para un viaje de siete kilómetros, necesitamos elegir una escala acorde.

Primero, aqué está nuestra tabla de valores:

$x$	$y$
0	3
1	3.8
2	4.6
3	5.4
4	6.2

Y aqué está nuestro gráfico:

Para calcular cuánto cuesta un viaje de siete kilómetros, primer encontramos $x = 7$ en el eje horizontal y trazamos una línea hacia arriba en nuestro gráfico. A continuación, trazamos una línea horizontal hacia el eje $y-$ y nos fijamos en qué punto lo corta. Parece cortar en un punto al medio entre $y = 8$ y $y = 9$ . Digamos que es 8,5.

Un viaje de siete kilómetros costaría aproximadamente $8,50 ($8,60 exactamente).

Algunas consideraciones que deberíamos tener en cuenta respecto este gráfico y la fórmula generada a partir de él:

El gráfico es una línea recta (esto significa que la ecuación es lineal ), aunque la función es discreta y consiste solamente de una serie de puntos.
El gráfico corta al eje $y-$ en $y = 3$ (puedes ver que en la ecuación hay un término $a + 3$ , no se trata de una coincidencia). Se trata del costo base de un taxi.
Cada vez que avanzamos un cuadrado nos movemos hacia arriba 0.8 cuadrados ( se trata También del coeficiente de $x$ en la ecuación). Esta es la tarifa que cobra el taxi (precio por km).
Si nos movemos tres cuadros, nos movemos $3 \times 0.8$ cuadros.

Ejemplo B

Un negocio pequeño tiene una deuda de $500.000 por gastos de inversión. Se cree que la deuda se puede pagar a una tasa de $85.000 por año de acuerdo a la siguiente ecuación, donde $(x)$ son los años en el negocio y la deuda en pesos es $(y)$ .

$y = -85x + 500$

Grafica esta ecuación y usa el gráfico para predecir cuándo se pagará la deuda totalmente.

Solución

Primero, comenzamos con nuestra tabla de valores:

$x$	$y$
0	500
1	415
2	330
3	245
4	160

A continuación, graficamos nuestros puntos y trazamos la línea que pasa a través de ellos:

Fíjate en la escala que hemos seleccionado. No es necesario incluir más puntos más allá de $y= 500$ , sin embargo conviene tener espacio extra.

A continuación, calculamos cuántos pasarón hasta pagar la deuda, o en otras palabras, Cuál es el valor de $x-$ que hará al valor de $y-$ igual a 0. Sabemos que será mayor que cuatro (ya que cuando $x = 4$ el valor de $y-$ sigue siendo positivo), por lo tanto necesitamos una escala para $x-$ que vaya más allá de $x = 4$ . En este caso, hemos decidido mostrar los valores de $x-$ desde 0 a 12, aunque podríamos haber cortado en otro número.

Para leer en qué momento la deuda estará pagada, simplemente leemos el punto donde la línea se encuentra con $y = 0$ (el eje $x-$ ). Parece que la línea corta el eje cerca de $x = 6$ . Quiere decir que la deuda será saldada en seis años.

Para ver más ejemplo sobre cómo graficar ecuaciones lineales a mano, visita el siguiente video de Khan Academy (en inglés) en http://www.youtube.com/watch?v=2UrcUfBizyw . El narrador muestra cómo graficar varias ecuaciones lineales usando una tabla de valores para graficar puntos y luego conectar los puntos con una línea.

Cómo analizar gráficos de funciones lineales

Con frecuencia usamos gráficos para representar las relaciones entre dos cantidades que están relacionadas. Resulta de utilidad saber cómo interpretar la información entregada por los gráficos. Por ejemplo, el cuadro de más abajo muestra la fluctuación del precio de una acción en diez semanas. Puedes leer que el índice cerró la primera semana en alrededor de $68 y al final de la tercera semana estaba alrededor de $62. También se puede ver que en las primeras cinco semanas perdió alrededor de 20% de su valor y generó alrededor de 20% de ganancia entre la séptima y décima semana. Ten en cuenta que esta relación es discreta, aunque los puntos están conectados para hacer que el gráfico sea más fácil de interpretar.

Analizar gráficos es parte de la vida diaria, por ejemplo, cuando decides comprar acciones, para saber si los lectores de tu blog han aumentado o para predecir la temperatura a partir de un informe del tiempo. Muchos gráficos son bastante complicados, así que por ahora comenzaremos con algunos gráficos simples de conversión lineal . En álgebra se comienza desde relaciones y figuras básicas hacia tareas más complicadas, como la lectura del gráfico anterior.

Ejemplo C

A continuación se encuentra un gráfico para convertir los precios de tienda en precios que incluyen el impuesto a la venta. Usa el gráfico para calcular el costo que incluye el impuesto a la venta de un lápiz que vale $6 en la tienda.

Para encontrar el precio con impuesto, primero encuentra el precio correcto antes del impuesto en el eje $x-$ . Este es el punto donde $x=6$ .

Traza la línea desde $x = 6$ hacia arriba hasta que intersecte a la función, a continuación traza una línea horizontal hacia el eje $y-$ Esta línea corta al eje en $y \approx 6.75$ (alrededor de tres cuartos de camino entre $y = 6$ e $y = 7$ ).

El precio aproximado con el impuesto incluido es de $6,75.

Ejemplo D

A continuación se muestra el gráfico para convertir la temperatura de Fahrenheit a Celsius. Usa el gráfico para realizar las siguientes conversiones:

a) $70^\circ$ Fahrenheit a Celsius

b) $0^\circ$ Celsius a Fahrenheit

Solución:

a) Para encontrar los $70^\circ$ Fahrenheit, observamos a lo largo del eje Fahrenheit (en otras palabras en el eje $x-$ ) y trazamos una línea desde $x = 70$ hacia arriba hasta intersectar a la función. A continuación, trazamos una línea horizontal hacia el eje de los grados Celsius (eje $y-$ ). La línea horizontal se encuentra con el eje un poco más arriba de 20 (21 o 22).

$70^\circ$ Fahrenheit equivalen aproximadamente a $21^\circ$ Celsius.

b) Para encontrar los $0^\circ$ Celsius, nos fijamos en el eje de los grados Fahrenheit (la línea donde $y = 0$ ). La función corta al eje $x-$ justo en el número 30.

$0^\circ$ Celsius equivale a $32^\circ$ Fahrenheit.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphs of Linear Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Ten presente que aunque grafiquemos la función como una línea para que sea más fácil su interpretación, la función podría ser en realidad una función discreta .

Práctica guiada

A continuación se muestra el gráfico necesario para convertir la temperatura desde grados Fahrenheit a Celsius. Usa el gráfico para realizar las siguientes conversiones:

a) $0^\circ$ Fahrenheit a Celsius

b) $30^\circ$ Celsius a Fahrenheit

Solución:

a) Para encontrar los $0^\circ$ Fahrenheit, nos fijamos en el eje $y-$ (no olvides que este eje es simplemente la línea $x = 0$ .). La línea se encuentra con el eje $y-$ justo abajo del punto medio entre -15 y -20.

$0^\circ$ Fahrenheit equivale aproximadamente a $-18^\circ$ Celsius.

b) Para encontrar los $30^\circ$ Celsius, nos fijamos en el eje de los grados Celsius y trazamos la línea $y = 30$ junto con la función. Cuando esta línea horizontal se encuentre con la línea de la función, trazamos una línea vertical hacia abajo, hacia el eje de los grados Fahrenheit. La línea se encuentra con el eje aproximadamente en el punto 85.

$30^\circ$ Celsius equivale aproximadamente a $85^\circ$ Fahrenheit.

Práctica

Elabora una tabla de valores para las siguientes ecuaciones y posteriormente grafícalas.

$y = 2x + 7$
$y = 0.7x - 4$
$y = 6 - 1.25x$

"Piensa en un número. Multiplícalo por 20, divídelo por 9 y réstale 9"
1. Elabora una tabla de valores y grafica la función que represente a la oración anterior.
2. Si pensaste en el número 0 ¿Cuál seráa el resultado?
3. Para que el resultado sea 12 ¿Cuál tendría que ser el número inicial?
En el aeropuerto, puedes cambiar dinero de dólares a euros. El servicio cuesta $5 y por cada dólar adicional recibes 0.7 euros.
1. Elabora una tabla y grafica la función.
2. Usa tu gráfico para calcular cuántos euros recibiráas si cambiaras $50 dólares.
3. Para recibir 35 euros ¿Cuántos dólares tendrías que pagar?
4. La tasa de cambio ha bajado y solo puedes recibir 0.5 euros por cada dólar adicional. Ahora ¿Cuántos dólares tienes que pagar para recibir 35 euros?

Para los ejercicios 6-9, el siguiente gráfico nos muestra un cuadro de conversión para convertir peso en kilogramos y en libras.

Usa el gráfico para convertir las siguientes medidas:

4 kilogramos en libras
9 kilogramos en libras
12 kilogramos en libras
17 kilogramos en libras.

Para los ejercicios 10-12, usa el gráfico de los problemas 6-9 para resolver las siguientes preguntas:

Una empleada de una tienda de deportes está empacando 3 kilos de peso en una caja que solo resiste 8 kilogramos. ¿Cuánto peso puede almacenar en la caja?
Luego de empacar, hay espacio adicional en la caja que la empleada quiere llenar con un kilo. ¿Cuántos kilos extras puede agregar a la caja?
Luego de empacar estos kilos, se da cuenta que se equivocó en leer la etiqueta y que la caja en realidad puede soportar 9 kilogramos. ¿Cuántos kilos extra puede añadir?

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