Los Interceptos y el Método de Cubrir un Término

Si te dieran la ecuación ? Cómo encontrarías los interceptos en x - e y con la ayuda de un gráfico de línea? Una vez completada esta sección, sabrás cómo encontrar los interceptos de ecuaciones lineales como la del ejemplo.

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CK-12 Foundation: 0405S Graphing Using Intercepts (H264)

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Para aprender más sobre las ecuaciones en su forma estándar, prueba la aplicación de Java en el siguiente vínculo http://www.analyzemath.com/line/line.htm (desplaza el cursos hacia abajo y haz click donde dice "click here to start"). Puedes usar las barras deslizadoras para cambiar los valores de y y ver cómo esto afecta al gráfico.

Orientación

La oficina de Sanjit está ubicada a 25 kilómetros de su casa, con tráfico espera tardar una hora en llegar si parte a las 5 PM. Hoy espera poder hacer una parada en el camino y pasar a la oficina de correos. Si la oficina de correos está a 6 kilómetros de su oficina ¿a qué hora pasará por ahí?

Si tan solo conoces un solo punto de una recta, te darás cuenta que no tienes información suficiente para poder trazar una recta en un gráfico. Como puedes ver en el gráfico anterior, hay muchas rectas (infinitas rectas) que pasan a través de un solo punto. ¿Pero qué pasaráa en el caso que conocieras dos puntos que se encuentran sobre la misma recta? En ese caso, hay una sola forma de graficar esa recta; todo lo que necesitas hacer es marcar dos puntos y usar una regla para trazar las línea que pasa por los puntos

Hay muchas opciones para elegir cuál de los dos puntos de la recta usarás para graficar. En esta unidad, nos centraremos en dos puntos que son convenientes de graficar: los puntos donde nuestra recta corta a los ejes e , o intersecciones. Veremos cómo encontrar intersecciones algebraicamente y las usaremos para trazar gráficos rápidamente.

Observa el gráfico de arriba. El intercepto del eje ocurre en el punto donde la línea del gráfico corta al eje El valor de Y en este punto es 8 y el valor de es 0.

De la misma manera, el intercepto del eje ocurre en el punto donde la línea del gráfico corta al eje El valor de en este punto es 6, y el valor de es 0.

así conocemos las coordenadas de dos puntos en el gráfico: (0, 8) y (6, 0). Si nos hubiesen dado estas dos coordenadas de la nada, podríamos haber graficado rápidamente estos puntos y unirlos con una línea para recrear el gráfico de arriba.

Nota: no todas las rectas tendrán los interceptos en y en , pero la mayoría sí. Sin embargo, las rectas horizontales nunca cortan el eje y las rectas verticales nunca cortan el eje

Para ver ejemplos de estos casos especiales, observa el siguiente gráfico:

cómo encontrar intersecciones por sustitución

Ejemplo A

Encuentra los interceptos de la recta y úsalas para graficar la función.

Solución

El primer intercepto es fácil de encontrar. El intercepto en ocurre cuando . Si sustituimos nos da , así el intercepto en es(0, 13).

De la misma manera, el intercepto en ocurre cuando . Si sustituimos por 0 obtenemos , y sumando a los dos lados obtenemos . así (13, 0) es el intercepto en

Para dibujar el gráfico, simplemente marcamos estos puntos y los unimos con una línea.

Ejemplo B

Encuentra los interceptos de estas funciones y grafícalas.

a)

b)

c)

Solución

a) Encuentra el intercepto de reemplazando la X por un 0

Encuentra el intercepto en reemplazando la y por un 0

b) Encuentra el intercepto en reemplazando la x por un

Encuentra el intercepto en reemplazando la y por un 0

c) Encuentra el intercepto en reemplazando la x por un 0

Encuentra el intercepto en reemplazando la y por un 0

cómo encontrar intersecciones para formas estándar de ecuaciones usando el método de cubrir un término

Observa las éltimas dos ecuaciones del ejemplo 2. Estas ecuaciones están escritas de manera estándar. Las ecuaciones con forma estándar se expresan siempre de la siguiente forma “veces del coeficiente más (o menos) veces del coeficiente igual a valor ”. En otras palabras, las ecuaciones tienen la siguiente forma:

donde tiene que ser positiva, pero y no

Existe un método preciso para encontrar las intersecciones en ecuaciones en forma estándar, comúnmente conocido como el método de cubrir un término .

Ejemplo C

Encuentra los interceptos de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

Solución

Para encontrar cada intercepto, tenemos en cuenta que en los interceptos, el valor de o es cero, por lo tanto cualquier término que contenga esa variable efectivamente se despeja de la ecuación. Para que un término desaparezca, simplemente lo cubrimos (un dedo es una excelente forma de cubrir los términos) y resolvemos la ecuación resultante.

a) Para encontrar el intercepto en , establecemos cubrimos el término con :

Ahora encontramos el intercepto en :

b) Para encontrar el intercepto de , cubre el término :

Ahora encuentra el intercepto en :

Resolución de problemas de la vida real usando los interceptos de un gráfico

Ejemplo D

Jesús tiene $30 para gastar en la comida para un asado. Los hot dogs cuestan $0,75 cada uno (incluido el pan) y las hamburguesas cuestan $1,25 (incluido el pan). Haz un gráfico que muestre todas las combinaciones posibles de hot dogs y hamburguesas que podría comprar para el asado sin gastar más de $30.

Primero, buscaremos la ecuación y posteriormente podemos pensar lógicamente en encontrar las intersecciones.

Si el número de hamburguesas que Jesís compra es , entonces la cantidad de dinero que gaste en hamburguesas será

Si el número de hot dogs que compre es , entonces la cantidad de dinero que gastará en hot dogs será

así el costo total en comida será .

La cantidad total de dinero que tiene para gastar es $30, si decide gastarlo todo, podemos usar la siguiente ecuación:

Podemos encontrar los interceptos usando el método de cubrir un término . Primero cubrimos el intercepto en :

Entonces el intercepto en :

Ahora graficamos estos dos puntos y los unimos para crear nuestro gráfico como se muestra a continuación:

También podríamos haber creado este gráfico sin necesidad de escribir una ecuación. Sabemos que si John gasta todo el dinero en hot dogs, podría comprar hot dogs. Y si compra solo hamburguesas, podría comprar hamburguesas. A partir de estos números, podemos obtener las dos intersecciones: (0 hamburguesas, 40 hot dogs) y (24 hamburguesas, 0 hot dogs). Podemos graficar estas coordenadas tal como lo hicimos más arriba y obtener nuestra gráfica de esta forma.

Como una nota final, deberíamos saber que el problema de Jesús se trata realmente de un ejemplo de desigualdad. De hecho, él puede gastar cualquier suma de dinero hasta $30. Lo único que no puede hacer es gastar más de $30. El gráfico de arriba da cuenta de esto: la línea es el conjunto de soluciones que conlleva gastar exactamente $30 y la región sombreada muestra las soluciones que implica gastar menos de $30. Trabajaremos con desigualdades más adelante en el capítulo 6.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphing Using Intercepts

Vocabulario

• Un intercepto en ocurre en el punto donde un gráfico corta al eje (donde ) y un intercepto en ocurre en el punto donde un gráfico corta al eje (donde ).
• El intercepto en se puede encontrar sustituyendo en la ecuación y despejando . Del mismo modo, el intercepto en se pueden encontrar sustituyendo en la ecuación y despejando .
• Una ecuación lineal está escrita en su forma estándar si se expresa como "coeficiente positivo veces más coeficiente veces es igual a valor". Las ecuaciones en su forma estándar se pueden resolver a partir de los interceptos cubriendo el término (o ) y resolviendo la ecuación restante.

Práctica guiada

1. Grafica a partir de la identificación de las intersecciones.

2. Encuentra los interceptos de usando el método de cubrir un término .

Solución

1. Encuentra el intercepto en sustituyendo 0

Encuentra el intercepto en sustituyendo y por un 0

El gráfico de esta recta es la línea d, las dos intersecciones están marcadas por puntos.

2. Para encontrar el intercepto en , cubre el término donde está x: :

Encuentra el intercepto en :

El gráfico de esta función y los interceptos están representados por la recta C:

Práctica

Para los ejercicios 1-8, encuentra los interceptos de las siguientes ecuaciones usando el método de sustitución.

Para los ejercicios 9-16, encuentra los interceptos de las siguientes ecuaciones usando el método de cubrir un término

Para los ejercicios 17-20, usa cualquier método para encontrar los interceptos y a continuación grafica las siguientes ecuaciones.

17. 
18. 
19. 
20. 
21. En un almacén, las frutillas cuestan $3 el kilo y los plátanos $1 el kilo.
    1. Si tengo $10 para gastar en frutillas y plátanos, dibuja un gráfico para mostrar qué combinaciones de cada uno puedo comprar gastando exactamente $10.
    2. Marca el punto que representa 3 kilos de frutillas y 2 kilos de plátanos. ¿Va a costar más o menos de $10 pesos?
    3. Haz lo mismo para el punto que represente a un kilo de frutillas y 5 kilos de plátanos.
22. Un cine cobra $7,50 por la entrada de adultos y $4,50 por la entrada de niños. Si el cine recauda $900 por venta de entradas para una película, dibuja un gráfico que describa los posibles números de entradas de adultos y niños vendidas.
23. ¿Por qué no podemos usar el método de las intercepto para graficar la siguientes ecuación?
24. Señala otras dos ecuaciones en las que no podemos usar el método del intercepto para graficar.