La Pendiente

En esta unidad aprenderás cómo encontrar la pendiente de una recta a partir de su gráfico o dos de sus puntos.

Si te dieran dos puntos (-1, 0) y (2, 2) por los cuales pasa una recta, ¿Cómo podrías encontrar la pendiente de esa recta? Una vez completada esta sección, sabrás cómo encontrar la pendiente de cualquier recta.

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CK-12 Foundation: 0406S Slope of a Line (H264)

Orientación

Las rampas para sillas de ruedas ubicadas en las entradas de los edificios deben tener una pendiente entre $\frac{1}{16}$ y $\frac{1}{20}$ . Si la entrada a un edificio nuevo de oficinas se encuentra a 28 cm de la superficie ¿qué tan larga necesita ser la rampa?

Cada día nos enfrentamos a muchos ejemplos que tienen que ver con una pendiente. Por ejemplo, hay una pendiente en la inclinación de un techo, en el grado o inclinación de un camino, o en la inclinación de una escalera apoyada sobre una pared. En matemáticas, usamos la palabra pendiente para definir a un ángulo de inclinación en una manera específica.

$\text{Slope} = \frac{\text{distance moved vertically}}{\text{distance moved horizontally}}$

Para que sea más fácil de recordar, comúnmente la expresamos de esta manera:

$\text{Slope} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}$

En la imagen de arriba, la pendiente seráa la razón entre la altura de la colina y la longitud horizontal de la colina. En otras palabras, seráa $\frac{3}{4}$ , o 0.75.

Si el auto se dirigiera a la derecha estaría subiendo el cerro, decimos que esta es una pendiente positiva. Cada vez que ves el gráfico de una recta que va hacia arriba y a la derecha, la pendiente es positiva .

Si el auto sigue en movimiento después de haber llegado a la cima de la colina, podría dirigirse hacia abajo por el otro lado. Si el auto se dirige a la derecha y desciende , entonces diríamos que la pendiente es negativa .

Aquí es donde se pone complicado: si el auto se diera la vuelta y se devolviera bajando por el lado izquierdo del cerro, la pendiente de ese lado seráa positiva. Esto se debe a que la subida seráa -3, pero lo que avanza horizontalmente seráa -4 (piensa en el eje $x-$ , si te mueves de derecha a izquierda te mueves en la dirección negativa de $x-$ ). Esto significa que la razón de nuestra pendiente será $\frac{-3}{-4}$ , y los negativos se cancelan para quedar en 0,75, la misma pendiente que anteriormente. En otras palabras, la pendiente de una línea es la misma sin importar la dirección en la que viajes.

cómo encontrar la pendiente de una recta

Una forma simple de encontrar un valor para la pendiente de una recta es dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa pase por la recta. Posteriormente, sélo necesitamos medir las distancias en el triángulo que correspondan a la altura (las dimensiones verticales) y la distancia vertical (la dimensión horizontal).

Ejemplo A

Encuentra las pendientes de los siguientes gráficos:

Solución

Los triángulos rectángulos ya están dibujados en cada recta, en los siguientes ejercicios tendrás que hacer esta parte por tu cuenta. Fíjate que es más fácil hacer triángulos cuyos vértices sean puntos reticulares (es decir,, puntos cuyas coordenadas son todos números enteros)

a) La altura que muestra este triángulo es de 4 unidades; la distancia vertical es de 2 unidades. La pendiente es $\frac{4}{2}= 2$ .

b) La altura que muestra este triángulo es de 4 unidades y el ancho es También de 4 unidades. La pendiente es $\frac{4}{4}= 1$ .

c) La altura que muestra este triángulo es de 2 unidades y el ancho es de 4 unidades. La pendiente es $\frac{2}{4}= \frac{1}{2}$ .

Ejemplo B

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (4, 7).

Solución

Ya sabemos cómo graficar una recta a partir de dos puntos: simplemente graficamos los puntos y los conectamos con una línea. He aqué el gráfico:

Como ya tenemos las coordenadas para los vértices de nuestro triángulo rectángulo, rápidamente podemos deducir que la altura es $7 - 2 = 5$ y el ancho es $4 - 1 = 3$ (ver el diagrama). De esta manera la pendiente es $\frac{7-2}{4-1} = \frac{5}{3}$ .

Si miras otra vez los cálculos para la pendiente, notarás que el 7 y el 2 son las coordenadas de $y-$ de los dos puntos y 4 y 1 son las coordenadas de $x-$ Esto sugiere un patrón que podemos seguir para obtener una fórmula general para la pendiente entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ :

Pendiente entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2) = \frac{y_2 - y_1} { x_2- x_1}$

o $m= \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

En la segunda ecuación, la letra $m$ denota la pendiente (esta es una convención matemática que verás con frecuencia) y la letra griega delta $(\Delta)$ significa variación. . así que otra forma de expresar la pendiente es la variación en $y$ dividida por la variación en $x$ . En la siguiente sección, verás que no importa cuál punto consideres como punto 1 y cuál como punto 2.

cómo encontrar las pendientes de las rectas horizontal y verticales

Ejemplo C

Determina cuáles son las pendientes de las dos rectas del siguiente gráfico:

Solución

Hay dos rectas en el gráfico: $A (y = 3)$ y $B (x = 5)$ .

Seleccionemos 2 puntos sobre la recta $A$ — $(x_1, y_1) = (-4, 3)$ y $(x_2, y_2) = (5, 3)$ —y usemos nuestra ecuación para la pendiente:

$m= \frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \frac{(3)-(3)}{(5)-(-4)} = \frac {0}{9} = 0.$

Si lo piensas, tiene sentido, si $y$ no varía cuando $x$ X aumenta, entonces no hay una pendiente, o mejor dicho, la pendiente es cero. Puedes ver que esto se cumple para todas las rectas horizontales.

Todas las rectas horizontales ( $y$ = constante ) tienen una pendiente igual a 0.

Ahora miremos la recta $B$ . Si tomamos los puntos $(x_1 , y_1) = (5, -3)$ y $(x_2 , y_2) = (5, 4)$ , nuestra ecuación de la pendiente es $m = \frac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1} = \frac{(4)-(-3)}{(5)-(5)} = \frac{7}{0}$ . ¡Pero no está permitido dividir por cero!

En matemáticas, comúnmente decimos que un término que implique dividir por cero es indefinido. (técnicamente, se puede decir que la respuesta es infinitamente grande, o infinitamente pequeña, dependiendo del problema).

Todas las rectas verticales $(x =$ constante ) tienen una pendiente infinita (o indefinida).

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: The Slope of a Line

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

La pendiente es la medida de variación en la dirección vertical por cada paso en dirección horizontal. La pendiente se representa con la letra “ $m$ ”.
La pendiente se puede expresar como $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ , o $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .
La pendiente entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es igual a $\frac{y_2 - y_1}{x_2 -x_1}$ .
Todas las rectas horizontales (donde $y = a$ una constante) tienen una pendiente igual a 0.
Todas las rectas verticales (donde $x = a$ una constante) tienen una pendiente infinita (o indefinida).
La pendiente (o tasa de variación ) de un gráfico distancia-tiempo es una velocidad.

Práctica guiada

Encuentra las pendientes de las rectas en el siguiente gráfico:

Solución

Observa las rectas, ambas se inclinan hacia abajo (o decaen) si nos movemos de izquierda a derecha. Ambas rectas tienen una pendiente negativa.

Las rectas no pasan por muchos puntos reticulares muy convenientes, sin embargo si miras cuidadosamente puedes ver algunos puntos que parecen tener coordenadas con números enteros. Estos puntos han sido encerrados en un círculo en el gráfico y los usaremos para calcular la pendiente. Haremos los cálculos dos veces para mostrar que obtenemos la misma pendiente sin importar de qué forma seleccionamos el punto 1 y el punto 2.

Para la recta $A$ :

$&(x_1, y_1) = (-6, 3) \qquad (x_2, y_2) = (5, -1) && (x_1, y_1) = (5, -1) \qquad (x_2, y_2) = (-6, 3)\\\& m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{(-1)-(3)}{(5)-(-6)} = \frac{-4}{11} \approx -0.364 && m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{(3)-(-1)}{(-6)-(5)} = \frac{4}{-11} \approx -0.364$

Para la recta $B$

$&(x_1, y_1) = (-4, 6) \qquad (x_2, y_2) = (4, -5) && (x_1, y_1) = (4, -5) \qquad (x_2, y_2) = (-4, 6)\\\& m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{(-5)-(6)}{(4)-(-4)} = \frac{-11}{8} = -1.375 && m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{(6)-(-5)}{(-4)-(4)} = \frac{11}{-8} = -1.375$

Puedes ver que como sea que elijas los puntos, las soluciones son las mismas. De cualquier forma, la recta $A$ tiene una pendiente de -0.364 y la recta $B$ tiene una pendiente de -1.375.

Práctica

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

(-5, 7) y (0, 0)
(-3, -5) y (3, 11)
(3, -5) y (-2, 9)
(-5, 7) y (-5, 11)
(9, 9) y (-9, -9)
(3, 5) y (-2, 7)
(2.5, 3) y (8, 3.5)

Para cada recta en los gráficos de más abajo, usa los puntos indicados para calcular la

pendiente

Para cada recta en los gráficos de arriba, imagina otra recta con la misma pendiente que pase por el punto (1,1) y marca otro punto sobre esa recta.

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