Tasas de Cambio

En esta unidad, aprenderás cómo encontrar la tasa o razón de cambio de una función. También vamos a comparar la variación sobre un gráfico para interpretar qué ocurre.

Supongamos que compras un pez japonés Koi que mide 4 cm de largo, tres meses más tarde lo vuelves a medir y esta vez mide 6 cm de largo. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del pez? Una vez completada esta sección, sabrás cómo encontrar la tasa de cambio que ocurre en problemas como este

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CK-12 Foundation: 0407S Rate of Change (H264)

Orientación

La pendiente de una función que describe cantidades reales y medibles es comúnmente conocida como tasa de cambio . En ese caso la pendiente se refiere al cambio de una cantidad $(y)$ por (Aquí es donde la ecuación $(x)$ . $m= \frac{\Delta y}{\Delta x}$ se aplica, recuerda que $\Delta y$ y $\Delta x$ representan el cambio en $y$ y $x$ respectivamente).

Ejemplo A

Una vela tiene una longitud inicial de 10 cm. 30 minutes después de haber sido encendida, mide 7 cm de largo. Calcula la tasa de cambio en la longitud de la vela a medida que se quema. Determina cuánto tarda la vela en ser consumida totalmente.

Solución

Primero, graficamos la función para visualizar lo que sucede. Tenemos 2 puntos para comenzar: sabemos que al momento de encender la vela ( $time = 0$ ) esta medía 10 cm y que después de 30 minutos ( $time = 30$ ) medía 7 cm. Ya que la longitud de la vela depende del tiempo, graficamos el tiempo en el eje horizontal y la longitud en el eje vertical.

La tasa de cambio de la longitud de una vela es simplemente la pendiente de la recta. Ya que tenemos nuestros dos puntos $(x_1, y_1) = (0, 10)$ y $(x_2, y_2) = (30, 7)$ , podemos usar la versión familiar de la fórmula de la pendiente:

$\text{Rate of change}& = \frac{y_2 - y_1}{x_2 -x_1}\\\ &= \frac{(7 \ \text{inches})-(10 \ \text{inches})}{(30 \ \text{minutes})-(0 \ \text{minutes})}\\\ &= \frac{-3 \ \text{inches}}{30 \ \text{minutes}}\\\ &= -0.1 \ \text{inches per minute}$

Fíjate que la pendiente es negativa. Una tasa de cambio negativa significa que la cantidad disminuye con el tiempo, como lo esperaríamos que lo hiciera la longitud de una vela encendida.

Para encontrar el punto en el cual la vela alcanza un longitud de cero, podemos simplemente leer el intercepto en $x-$ y a partir del gráfico (100 minutos). Podemos usar la ecuación de la tasa de cambio para verificar esto algebraicamente:

$\text{Length burned} & = \text{rate} \times \text{time}\\\10 & = 0.1 \times 100$

Ya que la longitud de la vela era de 10 cm al principio, nuestra ecuación confirma que 100 minutos es el tiempo que se tarda en ser consumida.

Ejemplo B

La población de peces en un lago aumentó de 370 a 420 peces durante los meses de marzo y abril. /¿A qué tasa está creciendo la población?

Solución

En este caso, no tenemos dos punto a partir de los cuales obtener las coordenadas $x-$ e $y-$ para la fórmula de la pendiente. En su lugar, necesitaremos usar la fórmula alternativa, $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

El cambio en los valores de $y-$ o en $\Delta y$ , es el cambio en el número de peces, el cual es $420 - 370 = 50$ . El cambio en los valores de $x-$ , $\Delta x$ , es la cantidad de tiempo en la que ocurrió este cambio: dos meses. así $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{50 \ \text{fish}}{2 \ \text{months}}$ , o 25 peces por mes.

cómo interpretar un gráfico para comparar tasas de cambio

Ejemplo C

El gráfico de abajo representa un viaje realizado por un gran camión repartidor a lo largo de un día. Durante el día, el camión hizo dos entregas, una en la que demoró una hora y la otra en la que demoró dos horas. Identifica qué sucede en las primeras 3 partes del viaje (de la A a la C).

Solución:

Las primeras tres partes del viaje son las siguientes:

A. El camión comienza el viaje y recorre 80 km en dos horas.

B. El camión no cubre ninguna distancia por 2 horas.

C. El camión cubre $(120 - 80) = 40 \ \text{miles}$ en 1 hora.

A. $\text{Rate of change} = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{80 \ \text{miles}}{2 \ \text{hours}}=40\ \text{miles per hour}$

Presta atención al hecho de que la tasa de cambio representa la rapidez , o mejor dicho, una velocidad La diferencia entre ambas es que la velocidad tiene una dirección y la rapidez no. En otras palabras, la velocidad puede ser negativa o positiva, siendo la velocidad negativa la representación de un viaje en dirección opuesta. Veremos la diferencia más claramente en la parte E).

Ya que la velocidad es igual a la distancia dividida por el tiempo, la pendiente (o tasa de cambio) de un gráfico de distancia-tiempo es siempre una velocidad.

así, durante la primera parte del viaje, el camión viaja a una rapidez constante de 40 km/h durante 2 horas y cubre una distancia de 80 km.

B. La pendiente aqué es 0, de este modo la tasa de cambio es de 0 km/h. El camión se mantiene estacionado por una hora. Se trata de la primera parada para hacer una entrega.

C. $\text{Rate of change} = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(120 - 80) \ \text{miles}}{(4-3) \ \text{hours}} = 40 \ \text{miles per hour}.$ El camión viaja a 40 km/h.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Rate of Change

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

La pendiente es la medida de variación en la dirección vertical por cada paso en dirección horizontal. La pendiente se representa con la letra “ $m$ ”.
La pendiente se puede expresar como $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ o $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .
La pendiente entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es igual a $\frac{y_2 - y_1}{x_2 -x_1}$ .
Todas las Rectas Horizontales (donde $y = a$ una constante) tienen una pendiente igual a 0.
Todas las Rectas Verticales (donde x $x = a$ una constante) tienen una pendiente infinita (o indefinida).
La pendiente (o tasa de variación ) de un gráfico distancia-tiempo es una velocidad.

Práctica guiada

Continúa desde donde quedamos en el ejemplo C e identifica qué sucede en las dos éltimas etapas del viaje (parte D y E).

Solución:

Las dos éltimas etapas del viaje son las siguientes:

D. El camión durante 1 hora no cubre ninguna distancia.

E. El camión cubre -120 km en 2 horas.

Encontremos las pendiente:

D. En esta etapa la pendiente es 0, de este modo la tasa de cambio es de 0 km/h. El camión no se mueve por dos horas. Se trata de la segunda parada para hacer una entrega. En este punto el camión se encuentra a 120 km de la posición inicial.

$\text{Rate of change} &= \frac{\Delta y}{\Delta x}\\\ &=\frac{(0-120) \ \text{miles}}{(8-6) \ \text{hours}}\\\ &=\frac{-120 \ \text{miles}}{2 \ \text{hours}}\\\ &=-60 \ \text{miles per hour.}$

El camión está viajando a unos 60 km/h. negativos

Espera, ¿una rapidez negativa? ¿significa que el camión está retrocediendo? Probablemente no. En realidad es la velocidad y no la rapidez la que es negativa, y una velocidad negativa simplemente significa que la distancia desde la posición inicial está disminuyendo con el tiempo. El camión se está moviendo en dirección opuesta, de regreso hasta su punto de partida. Debido a que ya no tiene dos cargas pesada, viaja más rápidamente (60 km/h en vez de 40 km/h), cubriendo los 120 km del viaje en 2 horas. Su rapidez es de 60 km/h y su velocidad es de -60 km/h porque está viajando en dirección opuesta respecto a la dirección al comenzar el viaje.

Práctica

Para los ejercicios 1-6, el gráfico de abajo es un gráfico de distancia-tiempo para el viaje de tres kilómetros y medio que realiza Mark en bicicleta al colegio. Durante este viaje, anda en bicicleta, pero el terreno es accidentado. Pedalea más lento cuando sube las colinas y acelera cuando baja por ellas. Se detiene una vez en un luz roja y en un momento se detiene para reparar una rueda pinchada. El gráfico muestra la distancia que hay desde su casa en cada momento. Identifica cada sección del gráfico según corresponda.

sección A.
sección B.
sección C.
sección D.
sección E.
sección F.

Para los ejercicios 7-12, aproxima la pendiente para cada parte del viaje de Mark.

sección A.
sección B.
sección C.
sección D.
sección E.
sección F.

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