Cómo Graficar Usando la Forma Pendiente-Intercepto

A partir de una ecuación de una recta como la siguiente ¿Cómo determinarías su pendiente y el intercepto en ? Una vez completada esta sección, sabrás cómo identificar la pendiente y el intercepto en Y de ecuaciones lineales como esta.

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CK-12 Foundation: 0408S Graphs Using Slope-Intercept Form (H264)

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Para comprender mejor qué sucede cuando cambias la pendiente o el intercepto en de una ecuación lineal, prueba jugando con una aplicación Java en inglés que puedes encontrar en la siguiente dirección : http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.5/index.htm.

Orientación

La ganancia total de un negocio ha sido expresada en la siguiente ecuación , donde es el número de meses en los que el negocio ha estado funcionando. ¿Cuál es la ganancia generada por mes y Cuáles fueron los costos iniciales? ¿Cuál será la ganancia que habrá generado en un año?

cómo identificar la pendiente y el intercepto en

Hasta ahora, hemos escrito un montón de ecuaciones en la forma de pendiente-intercepto, es decir, las hemos expresado en la forma , donde y son constantes. Lo que pasa es que es la pendiente y el punto es el intercepto en del gráfico de la ecuación, lo que nos da suficiente información para dibujar el gráfico rápidamente.

Ejemplo A

Identifica la pendiente y el intercepto en de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

Solución

a) Si comparamos , podemos ver que y . . De este modo tiene una pendiente de 3 y una intercepto en de (0, 2).

b) tiene una pendiente de 0,5 y una intercepto en de (0, -3).

Si observas verás que el intercepto es negativa . El término de incluye al signo del operador (más o menos) que va frente al número, por ejemplo, es idéntica a y eso significa que es -3, no solo 3.

c) A primera vista, esta ecuación no parece como si estuviera en la forma de pendiente-intercepto. Pero podemos re-expresarla como y eso significa que tiene una pendiente de -7 y una intercepto en de (0, 0). Fíjate que la pendiente es negativa y la línea pasa por el origen.

d) Podemos re-expresar esta ecuación como sigue , lo que nos da una pendiente de 0 y una intercepto de (o punto) de (0, -4). Se trata de una recta horizontal.

Ejemplo B

Identifica la pendiente y el intercepto en de las siguientes rectas en el gráfico.

Los interceptos están marcados, así como algunos puntos reticulares convenientes por los que pasan las rectas.

Solución

a) El intercepto en es (0, 5). La recta también pasa por (2, 3), por lo que la pendiente es .

b) El intercepto en es (0, 2). La recta también pasa por (1, 5), por lo que la pendiente es .

c) El intercepto en es (0, -1). La recta también pasa por (2, 3), por lo que la pendiente es .

d) El intercepto en es (0, -3). La recta también pasa por (4, -4), por lo que la pendiente es o -0.25.

cómo graficar una ecuación en la forma pendiente-intercepto

Una vez que conocemos la pendiente y el intercepto de una recta, es fácil graficarla. Solo recuerda lo que significa la pendiente. Revisemos el ejemplo de la sección 4.1

Ali está tratando de resolver un truco que su amigo le mostró. Su amigo comenzó pidiéndole pensar en un número, luego multiplicarlo por dos y finalmente sumarle cinco al resultado. Ali ha escrito una regla para describir la primera parte de este truco. Usa la letra para representar el número en el cual pensí y la letra para representar el resultado final una vez aplicada la regla. Ha escrito la regla en forma de una ecuación: .

Ayúdalo a visualizar qué sucede si grafica la función descrita por esta regla

Para ese ejemplo, construimos una tabla de valores y usamos la tabla para marcar algunos puntos para crear nuestro gráfico.

También vimos otra forma de graficar esta ecuación. Con tan solo mirar la ecuación, pudimos ver que el intercepto en era (0, 5), de este modo pudimos comenzar por marcar ese punto. Posteriormente, logramos ver También que la pendiente era 2, así pudimos encontrar otro punto en el gráfico si nos movíamos sobre 1 unidad y arriba 2 unidades. El gráfico seráa entonces la recta ubicada entre estos dos puntos.

A continuación te presentamos otro problema donde podemos usar el mismo método.

Ejemplo C

Grafica la siguiente función:

Solución

Para graficar la función sin hacer una tabla, sigue los siguientes pasos:

1. Identifica el intercepto en :
2. Grafica el intercepto: (0, 5)
3. Identifica la pendiente: . . (Esto es igual a , por lo cual la altura es -3 y el ancho es 1.)
4. Muévete al costado 1 unidad y hacia abajo 3 unidades para encontrar otro punto sobre la recta: (1, 2)
5. Traza la línea a través de los puntos (0, 5) y (1, 2).

Fíjate que para graficar esta ecuación a partir de su pendiente, tuvimos que encontrar el alto y ancho y fue más fácil de hacer que cuando la pendiente estaba expresada en fracción. Este es cierto en general: graficar una recta con una pendiente específica, es más fácil expresar la pendiente en forma de fracción en una forma más simple, a continuación leer el numerador y el denominador de la fracción para obtener la altura y ancho del gráfico.

Ejemplo D

Encuentra valores de números enteros para la altura y ancho de las siguientes pendientes, posteriormente grafica las rectas con sus correspondientes pendientes.

a)

b)

Solución

a)

b)

cómo cambiar la pendiente o el intercepto de una recta

El siguiente gráfico muestra un número de rectas con diferentes pendientes, pero todas con el mismo intercepto en : (0, 3).

Puedes ver que todas las funciones con pendientes positivas aumentan a medida que nos movemos de izquierda a derecha, mientras que todas las funciones con pendientes negativas disminuyen a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Otro hecho importante de destacar es que mientras más grande sea la pendiente, la gráfica estará más inclinada.

Este gráfico muestra un número de rectas con la misma pendiente, pero con diferentes intersecciones en .

Observa que cambiar el intercepto simplemente traslada (mueve) el gráfico hacia arriba o hacia abajo. Toma un punto del gráfico de , como por ejemplo (1, 2). El punto correspondiente sobre significa que también sumamos 3 a cada otro valor de significa que también sumamos 3 a cada otro valor de Y en el gráfico. De las misma manera, el punto correspondiente sobre la recta seráa (1, -1); Restaríamos 3 del valor de y a cada valor de . .

verás que todas estas rectas parecen ser paralelas, pero árealmente lo son?

Para responder esta pregunta, usaremos una técnica que aprenderás en detalle en un próximo capítulo. Tomaremos dos de las ecuaciones, por ejemplo y —a continuación despejaremos los valores de e que satisfagan a ambas ecuaciones. Esto nos permitirá determinar en qué punto se intersectan estas rectas, si es que lo hacen. (Recuerda que las rectas paralelas , por definición, son rectas que no se intersectan).

Por lo tanto, ¿qué valores satisfacen tanto a como a ? Veamos, si ambas ecuaciones fueran ciertas, entonces será igual a y a , lo que significa que esas dos expresiones serán también iguales entre ellas. Por lo tanto, podemos obtener la respuesta al resolver la ecuación .

Pero ¿qué sucede cuando tratamos de resolver esa ecuación? Si restamos de ambos lados, obtenemos . Este resultado no es cierto, sin importar el valor que tenga . Lo que significa que, simplemente, no hay ningún valor para que haga que las dos ecuaciones sean ciertas. En otras palabras, no existe ningún punto donde estas rectas se intersectan. Tal como lo sospechábamos, se trata de rectas paralelas.

Descubriremos lo mismo sin importar cuál par de rectas hayamos elegido. En general, ya que cambiar el intercepto de una recta solo da como resultado mover el gráfico hacia arriba o hacia abajo, la nueva recta será siempre paralela a la recta anterior, siempre y cuando la pendiente no cambie.

Cualquier par de rectas con pendientes idénticas serán paralelas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphs Using Slope-Intercept Form

Vocabulario

• Una forma común de una recta (ecuación lineal) es la forma pendiente-intercepto: , donde es la pendiente y el punto es el intercepto en
• Para graficar una recta en la forma pendiente-intercepto, primero hay que graficar el intercepto en , luego buscar un segundo punto a partir de la pendiente y usar esos dos puntos para graficar la recta.
• Cualquier par de rectas con pendientes idénticas serán paralelas.

Práctica guiada

Encuentra valores enteros para la altura y dirección de las siguientes pendientes. Luego grafica las rectas con sus respectivas pendientes.

a)

b)

Solución:

a)

b)

Práctica

Identifica la pendiente y el intercepto en el eje de las siguientes ecuaciones:

Identifica la pendiente de las siguientes rectas

Identifica la pendiente y el intercepto en de las siguientes funciones.

Para los ejercicios 7-10, grafica las siguientes funciones

11. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
    1. 
    2. 
    3. 
    4. 
    5. 
    6. 
    7. 
    8. 
12. ¿Cuál es el intercepto en de la recta que pasan por (1, -4) y (3, 2)?
13. ¿Cuál es el intercepto en de la recta con pendiente -2 que pasa por (3, 1)?
14. La recta pasa por los puntos (2, 6) y (-4, 3). La recta pasa por el punto (3, 2.5) y es paralela a la recta
    1. Escribe una ecuación para la recta en la forma pendiente-intercepto.
    2. Escribe una ecuación para la recta en la forma pendiente-intercepto.
15. La recta pasa por los puntos (2, 5) y (1, 3.5). La recta es paralela a la recta , y pasa por el punto (2, 6). Señala otro punto sobre la recta . (Una pista: lo puedes hacer sin necesidad de graficar o de encontrar una ecuación para cada recta)