Gráficos de Modelos Lineales de Variación Directa

En esta unidad, aprenderás cómo identificar y graficar variaciones directas. También aprenderás cómo determinar la constante de proporcionalidad y resolver problemas de la vida diaria usando modelos de variación directa.

Supongamos que el monto de tu sueldo varió de manera directa en relación con el número de horas que trabajaste. Si tu sueldo fue de $150 y trabajaste 10 horas, ¿cómo podrías determinar tu tarifa por hora o la constante de proporcionalidad? Una vez completada esta sección, sabrás cómo resolver problemas de variación directa como este.

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CK-12 Foundation: 0409S Direct Variation Models (H264)

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Orientación

Supongamos que ves que alguien compra cinco libras de fresas en una tienda. El vendedor pesa las fresas y le cobra $12.50 a la persona. Ahora, supongamos que tú querías comprar dos libras de fresas. ¿cuánto crees que pagarás por ellas?

cómo identificar la variación directa

El problema anterior es un ejemplo de variación directa. . Uno esperaría que el precio de las fresas fuese "por libra" y que si compras dos quintos de la cantidad de fresas, pagaráas dos quintos de $12,50, es decir $5,00.

Del mismo modo, si compraras 10 libras de fresas (el doble) pagaráas dos veces $12,50 y si no compras fresas no pagas nada.

Si la variable $y$ varía directamente con la variable $x$ , entonces expresamos la relación de la siguiente forma $y= k \cdot x$ . $k$ se denomina como la constante de proporcionalidad.

Si tuviésemos que graficar esta función, puedes ver que pasaráa por el origen, ya que $y=0$ cuando $x=0$ ,cualquiera sea el valor de $k$ . De esta manera sabemos que una variación directa, cuando es graficada, tiene un solo intercepto en (0, 0).

Ejemplo A

Si $y$ varía directamente con $x$ según la relación $y = k \cdot x$ , y $y = 7.5$ cuando $x =2.5$ , calcula la constante de proporcionalidad, $k$ .

Solución

Para resolver la constante de proporcionalidad, podemos usar el método de sustitución. Sustituye $x = 2.5$ y $y = 7.5$ en la ecuación $y = k \cdot x$ para obtener $7.5 = k(2.5)$ . A continuación, divide por 2,5 en ambos lados para obtener $k= \frac{7.5}{2.5} = 3$ . La constante de proporcionalidad, $k$ , es 3.

Podemos rápidamente graficar la relación, si usamos el intercepto (0, 0) y el punto (2.5, 7.5). El gráfico aparece abajo. Se trata de una recta con pendiente 3.

El gráfico de una variación directa siempre pasa por el origen y siempre tiene una pendiente que es igual a la constante de proporcionalidad , $k$ .

Ejemplo B

El siguiente gráfico es una gráfica de conversión que se usa en un banco para convertir dólares estadounidenses (US$) en libras británicas (GB£). Usa la gráfica para calcular:

a) la cantidad de libras que podrías comprar con $600 dólares

b) la cantidad de dólares que podrías comprar con £200

c) la tasa de cambio en libras por dólar

Solución

Podemos conocer las respuestas de a) y b) solamente con mirar el gráfico. Cuando $x = 600$ la recta está cerca de un quinto del espacio entre £350 y £400. Por lo tanto, con $600 dólares se pueden comprar £360.

De la misma manera, la recta $y = 200$ parece intersectar en el gráfico cerca de un tercio del espacio entre $300 y $400. Podemos redondear en $330, por lo tanto necesitaríamos aproximadamente $330 dólares para poder comprar £200.

Para calcular la tasa de cambio, deberíamos tener en cuenta que se trata de una variación directa; el gráfico es una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad (en este caso, la tasa de cambio y es igual a la proporción del valor de $y-$ y valor de $x-$ en cualquier punto. Si miramos la gráfica de cerca, podemos ver que la recta pasa por un punto reticular conveniente:(500, 300). Esto nos proporcionará el valor más exacto de la pendiente y, por lo tanto, de la tasa de cambio.

$y= k \cdot x \Rightarrow = \frac{y}{x},$

$\qquad \text{so rate} =\frac {300 \ \text{pounds}}{500 \ \text{dollars}} = 0.60 \ \text{pounds per dollar.}$

Cómo graficar ecuaciones de variación proporcional directa

Sabemos que todos los gráficos de variación directa pasan por el origen y También sabemos que la pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad, $k$ . Para graficar ,simplemente usamos los métodos de punto-pendiente o punto-punto que ya revisamos anteriormente en este capítulo.

Ejemplo C

Grafica las siguientes variaciones directas en el mismo gráfico.

a) $y=3x$

b) $y=-2x$

c) $y = -0.2x$

d) $y = \frac {2} {9} x$

Solución

a) La recta pasa por (0, 0), como lo harán todas estas funciones. Esta función tiene una pendiente de 3. Cuando nos movemos horizontalmente una unidad, la función incrementa en tres unidades.

b) La recta tiene una pendiente de -2. Cuando nos movemos horizontalmente una unidad en el gráfico, la función cae dos unidades.

c) La recta tiene una pendiente de -0.2. En forma de fracción, es igual a $-\frac{1}{5}$ . Cuando nos movemos horizontalmente cinco unidades, la función cae una unidad.

d) La recta pasa por (0, 0) y tiene una pendiente de $\frac{2}{9}$ . Cuando nos movemos horizontalmente 9 unidades en el gráfico, la función incrementa en dos unidades.

Para ver más ejemplos sobre cómo graficar e identificar funciones de variación directa, mira este video en http://neaportal.k12.ar.us/index.php/2010/06/slope-and-direct-variation/ .

*Este video solo está disponible en inglés

cómo resolver problemas cotidianos usando los modelos de variación directa

Las variaciones directas se pueden ver en cualquier parte en la vida diaria. Cada vez que una cantidad aumenta en la misma proporción que lo hace otra cantidad (por ejemplo, duplicándose cuando ésta se duplica y triplicándose cuando ésta se triplica), decimos que siguen una variación directa.

La segunda ley de Newton

En 1687, Sir Isaac Newton publicó el famoso Principia Mathematica. Este tratado contenía, entre otras cosas, su segunda ley del movimiento. Esta ley, por lo general, se expresa como $F = m \cdot a$ , donde una fuerza de $F$ Newtons aplicada a una masa de $m$ kilógramos resulta en una aceleración de $a$ metros por segundo al cuadrado. Como puedes ver, si la masa permanece constante, entonces esta fórmula es básicamente la misma que una ecuación de variación directa, sélo que con diferentes variables y $m$ es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo D

Si una fuerza de 175 Newton hace que un carro de supermercado acelere por el pasillo con una aceleración de $2.5 \ m/s^2$ , calcula:

a) La masa del carro.

b) La fuerza necesaria para acelerar el mismo carro a $6 \ m/s^2$ .

Solución

a) Podemos calcular $m$ (la masa) ingresando nuestros valores de fuerza y aceleración en la ecuación. así $F = m \cdot a$ se convierte en $175 = m(2.5)$ , Luego, dividimos por 2,5 en ambos lados de la ecuación para obtener $70 = m$ .

Por tanto la masa del carro es 70 kg.

b) Una vez que hemos calculado la masa, simplemente sustituimos ese valor, junto con la aceleración solicitada, en la fórmula $F = m \cdot a$ y calculamos $F$ . De esta manera, obtenemos $F = 70 \times 6 = 420$ .

Por tanto , la fuerza necesaria para acelerar el carro a $6 \ m/s^2$ es 420 Newtons.

Ley de Ohm

La corriente eléctrica, $I$ (amperes), que pasa por un componente electrúnico varía directamente con el voltaje aplicado, $V$ (volts), según la relación $V = I \cdot R$ , donde $R$ es la resistencia (medida en Ohms). Se considera que la resistencia es constante para todos los valores de $V$ e $I$ , así que, nuevamente, esta fórmula es una versión de la fórmula de variación proporcional directa, con $R$ como la constante de proporcionalidad.

Ejemplo E

Cierto componente electrúnico genera una corriente de 1,3 amperes a un voltaje de 2,6 volts. Cuando se incrementa el voltaje a 12 volts, la corriente cambió a 6 amperes.

a) ¿El componente obedece a la ley de Ohm?

b) ¿Cuál seráa la corriente a 6 volts?

Solución

La ley de Ohm es una ley simple de proporcionalidad directa, con la resistencia $R$ como nuestra constante de proporcionalidad. Para saber si este componente obedece a la ley de Ohm, necesitamos saber si sigue una regla de proporcionalidad directa. En otras palabras, , ¿Es $V$ directamente proporcional a $I$ ?

Podemos determinar esto de dos maneras:

Graficarla: si graficamos nuestros dos puntos y los unimos con una recta, ¿pasa la recta por (0, 0)?

El voltaje es la variable independiente y la corriente es la variable dependiente, por lo que normalmente graficaríamos $V$ sobre el eje horizontal e $I$ sobre el eje vertical. Sin embargo, si esta vez intercambiamos las variables, obtendremos un gráfico cuya pendiente resulta ser convenientemente igual a la resistencia, $R$ . así, trataremos a $I$ como la variable independiente y nuestro dos puntos serán (1.3, 2.6) y (6, 12).

Al graficar los puntos y unirlos, obtenemos el siguiente gráfico:

La gráfica parece pasar por el origen. Por lo tanto, la respuesta es sí, el componente obedece a la ley de Ohm.

Resolver la $R$ : si este componente obedece la ley de Ohm, la constante de proporcionalidad $(R)$ debería ser la misma cuando insertamos en la fórmula el segundo conjunto de valores que cuando lo hicimos con el primer conjunto. Veamos si es así. (Podemos encontrar rápidamente los valores de $R$ en cada caso; ya que $V = I \cdot R$ , eso significa que $R = \frac{V}{I}$ .)

$\text{Case 1:} \ R & = \frac{V}{I} = \frac{2.6}{1.3} = 2 \ \text{Ohms}\\\\text{Case 2:} \ R & = \frac{V}{I} = \frac{12}{6} = 2 \ \text{Ohms}$

¡Los valores para $R$ coinciden! Esto significa que estamos, de hecho, analizando una variación directa El componente obedece la ley de Ohm.

b) Ahora, para encontrar la corriente a 6 volts, simplemente sustituimos los valores de $V$ y $R$ en $V = I \cdot R$ . Encontramos que $R = 2$ , por lo que reemplazamos $R$ por 2 y $V$ por 6 para obtener $6 = I(2)$ , y luego dividimos por 2 en ambos lados para obtener $3 = I$ .

Por lo tanto, la corriente que pasa por el componente a un voltaje de 6 volts es de 3 amperes.

Mira este video para obtener ayuda con los ejemplos de arriba.

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CK-12 Foundation: Direct Variation Models

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Vocabulario

" Si una variable $y$ varía directamente con una variable $x$ , entonces expresamos la relación como $y = k \cdot x$ , donde $k$ es una constante llamada constante de proporcionalidad.

Práctica guiada

El volumen de agua de una pecera, $V$ , varía directamente con la profundidad, $d$ . Si hay 15 galones en la pecera cuando la profundidad es de 8 pulgadas, calcula cuánta agua hay en el tanque cuando tiene una profundidad de 20 pulgadas.

Solución

Este es un buen ejemplo de una variación directa, pero en este problema tendremos que determinar la ecuación de la variación nosotros mismos. Dado que el volumen $V$ , depende de la profundidad, $d$ , usaremos una ecuación con la forma $y = k \cdot x$ , pero, en lugar de $y$ usaremos $V$ y, en lugar de $x$ usaremos $d$ :

$V = k \cdot d$

Sabemos que, cuando la profundidad equivale a 8 pulgadas, el volumen es de 15 galones, así que para calcular $k$ , reemplazamos $V$ por 15 y $d$ por 8 para obtener $15 = k(8)$ . Al dividir por 8, obtenemos $k = \frac{15}{8} = 1.875$ .

Ahora, para encontrar el volumen de agua a la profundidad final, usamos $V = k \cdot d$ otra vez, pero esta vez podemos insertar en nuestro nuevo $d$ y el valor que encontramos para $k$ :

$V & = 1.875 \times 20\\\V & = 37.5$

A una profundidad de 20 pulgadas, el volumen de agua en el tanque es de 37, 5 galones.

Práctica

En los ejercicios 1-4, grafica las siguientes variaciones directas en el mismo gráfico

$y = \frac {4} {3}x$
$y = - \frac{2}{3}x$
$y = - \frac{1}{6}x$
$y = 1.75x$
La madre de Dasan lo lleva a un salón de videojuegos para su cumpleaños.
1. En los primeros 10 minutos, Dasan gasta $3,50 en los juegos. Si el dinero que tiene para gastar durante el día es $20, ¿cuánto tiempo puede seguir jugando hasta que se le acabe el dinero?
2. Pasa los siguientes 15 minutos jugando Alien Invaders. En los primeros dos minutos, mató a 130 alienígenas. Si continúa con este ritmo, ¿cuántos alienígenas matará en quince minutos?
3. El puntaje máximo obtenido en esta máquina es de 120.000 puntos. Si cada alienígena vale 100 puntos, ¿Superará Dasín el puntaje máximo? ¿Lo superará si sigue jugando por cinco minutos más?
El estándar actual de las duchas de bajo consumo es de 2,5 galones por minuto.
1. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse una tina de 30 galones si usamos una ducha de este tipo?
2. Digamos que el desagüe de la tina no está totalmente tapado, por lo que por cada minuto transcurrido, 0,5 galones se escapan a medida que entran 2,5 galones. ¿Cuánto tardará en llenarse la tina?
3. Una vez que la tina se ha llenado y que la ducha se ha apagado, ¿Cuánto tardaría la tina en vaciarse debido al escape de agua por el desagüe?
4. Se saca el tapón del desagüe una vez apagada la ducha, por lo que la tina se vacía a una tasa de 1,5 galones por minuto. ¿Cuánto tardaría en vaciarse?
Amin usa una manguera para llenar su piscina nueva por primera vez. Abre la manguera a las 10 PM y la deja durante toda la noche.
1. A las 6 AM, mide la profundidad y calcula que la piscina está cuatro síptimos llena. ¿A qué hora estará llena su piscina nueva?
2. A las 10 AM, la mide otra vez y se da cuenta que su célculo anterior estaba errado. Solamente tres cuartos de la piscina están llenos. ¿Cuándo estará totalmente llena?
3. Después de llenar la piscina, necesita ponerle cloro a un nivel de 2.0 ppm (partes por millón). Añade dos galones de solución de cloro y se da cuenta que el nivel de cloro actual es de 0,7 ppm. ¿Cuánto galones extras necesita agregar?
4. Si el nivel de cloro en la piscina disminuye en 0,05 ppm por día, ¿Cuánta solución necesitará añadir cada semana?
Hay una venta de terreno en Wisconsin para propietarios inversionistas. Un lote de 232 acres está a la venta por $200.500.
1. Supongamos que cada acre tiene el mismo precio ¿Cuánto costaría un lote de 60 acres?
2. Otra vez asumimos el mismo precio ¿De qué tamaño seráa el lote que podrías comprar con $100.000?
La fuerza necesaria para estirar un resorte a una distancia de está dada por la ecuación , donde es la constante del resorte (medida en Newtons por centímetros, o N/cm). Si una fuerza de 12 Newtons estira un resorte en 10 cm, calcula lo siguiente:
1. La constante del resorte, $k$
2. La fuerza necesaria para estirar el resorte en 7 cm.
3. La distancia a la que el resorte se estiraría con una fuerza de 23 Newtons.
El celular de Angela se encuentra totalmente descargado cuando lo pone a cargar a las 3 PM. Una hora más tarde, está un 30% cargado. ¿Cuándo se cargará completamente?
Cuesta $100 dólares arrendar una sala de recreación por tres horas y $150 arrendarlo por cinco horas.
1. ¿Es ésta una variación directa?
2. A partir del costo de arrendar el salón por tres horas, ¿Cuánto costaría arrendarlo por seis horas, si asumimos que se trata de una variación directa?
3. A partir del costo de arrendar el salón por cinco horas, ¿Cuánto costaría arrendarlo por seis horas, si asumimos que se trata de una variación directa?
4. Marca los costos dados para tres y cinco horas y grafica la recta a través de esos puntos. A partir de ese gráfico ¿Cuál crees que seráa el costo de un arriendo por seis horas?

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