Gráficos de Funciones Lineales

A partir de una ecuación como la siguiente ¿Cómo podrías expresarla en notación de función, evaluarla para un valor específico de una función y graficarla? Una vez completada esta sección, sabrás cómo realizar tareas como estas.

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CK-12 Foundation: 0410S Linear Function Graphs (H264)

Orientación

La altamente exclusiva Hermandad del Manto Verde admite solo a un reducido número de miembros nuevos al año. En su tercero año de membresía, tenía 28 miembros; en su cuarto año tenía 33; y en su quinto año tenía 38. ¿Cuántos miembros se admiten anualmente y cuántos miembros fundadores había?

Funciones

Hasta ahora, hemos usado el término función para describir muchas de las ecuaciones que hemos graficado. Sin embargo, en matemáticas es importante recordar que no todas las ecuaciones son funciones. Para ser una función, una relación entre las dos variables, e , debe vincular cada valor de a exactamente un valor de

Visualmente esto significa que el gráfico de versus debe pasar la prueba de la línea vertical, lo , que significa que si se dibuja una línea vertical a lo largo del gráfico de la función, ésta nunca debe intersectar el gráfico en más de un lugar:

Uso de la notación de función

Cuando expresamos las funciones, generalmente usamos la notación “ ” en lugar de “ ”. se pronuncia “ de ”.

Ejemplo A

Re-escribe las siguientes ecuaciones para que sea una función de y se escriba :

a)

b)

c)

d)

Solución

a) Simplemente reemplaza por

b) Otra vez, reemplaza por

c) Primero necesitamos calcular . Comenzamos con , sumamos 5 a ambos lados para obtener , dividimos por 4 para obtener , y a continuación reemplazamos por .

d) Para calcular toma , réstale en ambos lados para obtener , divide por 3 para obtener , exprésala como una función: .

El uso de la notación funcional en una ecuación nos proporciona más información. Por ejemplo, la expresión muestra claramente que es la variable independiente ya que ingresas valores de en la función y realizas una serie de operaciones sobre el valor de para poder calcular los valores de la variable dependiente, .

También podemos insertar expresiones en vez de solamente números. Por ejemplo, si nuestra función es , podemos insertar la expresión . La expresaríamos como .

Ejemplo B

Una función está definida como . Analiza lo siguiente:

a)

b)

c)

d)

e)

Solución

a) Sustituye en la función

b) Sustituye en la función

c) Sustituye en la función

d) Sustituye en la función

e) Sustituye en la función

cómo graficar una función lineal

Dado que las notaciones “ ” y “ ” son intercambiables, podemos usar todos los conceptos que hemos aprendido hasta ahora para graficar las funciones.

Ejemplo C

Grafica la función .

Solución

Podemos escribir esta función en la forma pendiente-intercepto :

Por tanto, nuestro gráfico tendrá un intercepto en el eje de (0, 1.25) y una pendiente de 0,75.

Progresiones aritméticas

Habrás notado que en las funciones lineales cuando incrementas el valor de en una unidad, el valor de vse incrementa en una cantidad fija, igual a la pendiente. Por ejemplo, si tuviésemos que hacer una tabla de valores para la función , podemos empezar en y luego añadir 1 a para cada fila:

0	3
1	5
2	7
3	9
4	11

Ten en cuenta que los valores para aumentan en 2 (la pendiente) cada vez. Cuando añadimos un valor fijo reiteradamente a un número inicial, obtenemos una secuencia como {3, 5, 7, 9, 11....}. Esto se llama progresión aritmética , y se caracteriza por el hecho de que cada número es mayor (o menor) que el número precedente en una cantidad fija. Esta cantidad se denomina la diferencia común. . Para encontrar la diferencia común de una determinada secuencia, sacamos 2 términos consecutivos de la secuencia y restamos el primero con el segundo.

Ejemplo D

Encuentra la diferencia común de las siguientes progresiones aritméticas:

a) {7, 11, 15, 19, ...}

b) {12, 1, -10, -21, ...}

c) {7, __, 12, __, 17, ...}

Solución

a) . La diferencia común es 4 .

b) . La diferencia común es -11 .

c) Aquí, no hay dos términos consecutivos. Sin embargo, sabemos que, para obtener el término que viene después del 7, le sumaríamos la diferencia común y luego, para obtener 12, le sumaríamos nuevamente la diferencia común. Por lo tanto dos veces la diferencia común es y, por ende, la diferencia común es 2.5.

Las secuencias aritméticas y las funciones lineales están estrechamente relacionadas. Para obtener el siguiente término en una secuencia aritmética, le sumas la diferencia común al éltimo término ; de la misma manera, cuando el valor de de una función lineal incrementa en uno, el valor de se incrementa por el valor de la pendiente. . Por lo tanto, las secuencias aritméticas son como funciones lineales, donde la diferencia común desempeña el mismo rol que la pendiente.

El siguiente gráfico muestra la progresión aritmética {-2, 0, 2, 4, 6...} junto con la función . La única gran diferencia entre los dos gráficos es que una secuencia aritmética es discreta mientras que una función es continua.

Podemos escribir una fórmula para una progresión aritmética: si definimos el primer término como y a como la diferencia común, entonces los otros términos se expresan como sigue:

La calculadora en línea en http://planetcalc.com/177/ te dirá el término en una progresión aritmética si le dices el primer término , la diferencia común y qué valor usar para (en otras palabras, Cuál término de la secuencia quieres conocer). También te dirá la suma de todos los términos hasta ese punto. Encontrar la sumatoria de secuencias es algo que aprenderás en futuras clases de matemáticas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Function Graphs

Vocabulario

• Para que una ecuación sea una función , la relación entre las dos variables, e , debe relacionar cada valor de con exactamente un valor de .
• El gráfico de una función de contra debe pasar la prueba de la línea vertical: cualquier línea vertical cruzará el gráfico de la función solamente en un solo lugar.
• Las funciones se pueden expresar en notación funcional si se usa en lugar de .
• La secuencia de valores de para una función lineal forma una progresión aritmética. Cada número es mayor (o menor) que su antecesor por una cantidad fija o diferencia común.

Práctica guiada

Grafica la función .

Solución

Esta vez calcularemos los interceptos en e .

Para calcular el intercepto en reemplaza x por 0 , así el intercepto en es (0, 7) .

Para calcular el intercepto en coloca , así , luego y . El intercepto en es (5, 0) .

Podemos graficar la función a partir de esos dos puntos:

Preguntas de revisión

1. Cuando un objeto cae debido a la gravedad, gana velocidad a una tasa constante de 9,8 m/s cada segundo. Un objeto que se deja caer desde la punta de la Torre Eiffel, la cual tiene una altura de 300 metros, tarda 7,8 segundos en tocar el suelo. ¿Cuál es la velocidad que lleva cuando toca el suelo?
2. Una tarjeta telefónica de prepago viene con $20 para llamadas. Las llamadas tienen una tarifa plana de $0,16 por minuto.
   1. Escribe el valor que le queda a la tarjeta como una función de los minutos usados hasta el momento.
   2. Usa la función para determinar cuántos minutos de llamadas puedes hacer con la tarjeta.

Para las preguntas 3-5, evalúa la función para , , , , , , y .

Para las preguntas 6-9, determina si el gráfico podría ser una función

10. El manual para asar un pavo sugiere cocinarlo durante 100 minutos más un tiempo adicional de 8 minutos por libra.
    1. Escribe una función para el tiempo de cocción a partir del peso del pavo en libras .
    2. Determina el tiempo que se necesita para asar un pavo de 10 libras.
    3. Determina el tiempo que se necesita para asar un pavo de 27 libras
    4. Determina Cuál seráa el tamaño máximo que debería tener un pavo para poder asarlo en 4,5 horas

En las preguntas 11-13, encuentra los términos perdidos de las siguientes progresiones aritméticas.

11. {-11, 17, __, 73}
12. {2, __, -4}
13. {13, __, __, __, 0}