Resolución de Problemas con gráficos Lineales

Digamos que le pides prestado a tu padres $2000 dólares para comprar un auto usado. Al final del verano, les devuelves $750 dólares, dinero que ganaste en tu trabajo de verano. Durante el año escolar, tienes que pagarles $125 mensualmente con el dinero que ganas en tu trabajo part-time. ¿Cuántos meses te faltan para devolverles el dinero? Una vez completada esta sección, sabrás cómo resolver problemas como éste con la ayuda de gráficos.

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CK-12 Foundation: 0411S Problem-Solving Strategies - Graphs (H264)

Orientación

En este capítulo, hemos resuelto problemas donde las cantidades están linealmente relacionadas unas con otras. En esta sección, veremos algunos ejemplos de relaciones lineales que ocurren en problemas de la vida real y veremos cómo podemos resolverlos con la ayuda de gráficos. Recuerda nuestro plan de reSolución de problemas:

1. Entender el problema
2. Idear un plan-traducir
3. Llevar a cabo el plan-resolver
4. Observar-verificar e interpretar

Ejemplo A

Una compañía de teléfonos celulares está ofreciendo a sus clientes lo siguiente: puedes comprar un celular nuevo por $60 dólares y pagar una tarifa plana mensual de $40 dólares por llamadas ilimitadas. ¿Cuánto te costará esta oferta después de 9 meses?

Solución

Sigamos el plan de resolución de problemas

Primer paso: El teléfono cuesta $60; el plan de llamadas cuesta $40 por mes

Definamos el número de meses.

Definamos el costo total.

Segundo paso: Podemos resolver este problema a través de la elaboración de un gráfico que muestre el número de meses en el eje horizontal y el costo en el eje vertical.

Dado que tienes que pagar $60 para obtener el teléfono, el intercepto en es (0, 60).

Tienes que pagar $40 mensualmente, por lo que el costo aumenta en $40 por cada mes, así que la pendiente es 40.

Podemos graficar esta recta con ayuda del método pendiente-intercepto.

Tercer paso 3: La pregunta era "¿Cuánto costará esta oferta después de 9 meses?". Ahora podemos leer la respuesta desde el gráfico. Trazamos una línea vertical desde los 9 meses hasta que se encuentre con la gráfica y, luego, dibujamos una línea horizontal que intercepte con el eje vertical.

Vemos que, después de 9 meses, pagaráas aproximadamente $420 dólares.

Cuarto paso: para verificar si el resultado es correcto, pensemos en la oferta otra vez.

Al principio, se pagan $60 dólares y luego $40 por mes por 9 meses.

La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Un resorte estirado tiene una longitud de 12 pulgadas cuando se le cuelga un peso de 2 libras al resorte. El mismo resorte tiene una longitud de 18 pulgadas cuando se le cuelga un peso de 5 libras al resorte. ¿Cuál es la longitud del resorte cuando no se le cuelga ningún peso?

Solución

Primer paso: Conocemos: la longitud del resorte= 12 pulgadas con el peso= 2 lbs

La longitud del resorte= 18 pulgadas con el peso = 5 lbs

Queremos: la longitud del resorte cuando el peso = 0 lbs

Definamos el peso colgado al resorte.

Definamos la longitud del resorte

Paso 2: podemos resolver este problema con la elaboración de un gráfico que muestre el peso en el eje horizontal y la longitud del resorte en el eje vertical.

Tenemos dos puntos que podemos graficar:

Cuando el peso es de 2 lbs, la longitud del resorte es de 12 pulgadas. Esto nos da el punto (2, 12).

Cuando el peso es de 5 lbs, la longitud del resorte es de 18 pulgadas. Esto nos da el punto (5, 18).

Si graficamos estos dos puntos y los conectamos obtenemos nuestra recta.

Tercer paso: La pregunta era : "¿Cuál es la longitud del resorte cuando no se le cuelga ningún peso?"

Podemos responder esta pregunta a partir de la lectura del gráfico que acabamos de elaborar. Cuando no hay ningún peso en el resorte, el valor de es igual a cero, por lo que solo estamos buscando el intercepto en del gráfico. En el gráfico, el intercepto en pareciera ser de 8 pulgadas aproximadamente.

Cuarto paso: Para verificar si esto está correcto, pensemos en el problema otra vez.

Puedes ver que la longitud del resorte aumenta en 6 pulgadas cuando el peso aumenta en 3 libras, por lo que la pendiente de la recta es .

Para encontrar la longitud del resorte cuando no tiene peso agregado, podemos mirar que pasa cuando el resorte tiene 2 lbs. Por cada libra que saquemos, el resorte se acortará 2 pulgadas. Si sacamos 2 libras, el resorte será 4 pulgadas más corto. así, la longitud del resorte sin peso es 12 pulgadas - 4 pulgadas= 8 pulgadas.

La respuesta es correcta

Ejemplo C

Christine se demoró 1 hora en leer 22 páginas de Harry Potter. . Le quedan 100 páginas por leer para terminar el libro. ¿Cuánto tiempo más deberá seguir leyendo para poder terminar el libro?

Solución

Primer paso: Sabemos que Christine se demora 1 hora en leer 22 páginas.

Lo que queremos saber es ¿Cuánto tiempo tarda en leer 100 páginas?

Definamos el tiempo expresado en horas.

Definamos el número de páginas.

Segundo paso: Podemos resolver este problema con la elaboración de un gráfico que muestre el número de horas leyendo sobre el eje horizontal y el número de páginas en el eje vertical.

Tenemos dos puntos para graficar:

Christine se demora 1 hora en leer 22 páginas. Esto nos da el punto (1, 22).

Un segundo punto no es dado, pero sabemos que Christine tardaría 0 horas en leer 0 páginas. Esto nos da el punto (0, 0).

Si graficamos estos dos puntos y los conectamos obtenemos nuestra recta.

Tercer paso: La pregunta era "¿Cuánto tiempo demorará Christine en leer 100 páginas?". Podemos encontrar la respuesta a partir de la lectura del gráfico que acabamos de hacer- trazamos una línea horizontal desde las 100 páginas hasta que toque el gráfico y luego trazamos una línea vertical hasta tocar el eje horizontal. Vemos que tardaría aproximadamente 4,5 horas leer las 100 páginas restantes.

Cuarto paso: Para verificar la respuesta, pensemos en el problema otra vez

Sabemos que Christine lee 22 páginas por hora, lo cual es la pendiente de la recta o la tasa a la cual lee. Para encontrar la cantidad de horas que le tomaría leer 100 páginas, dividimos el número de páginas por la tasa. En este caso, . Esto se acerca mucho a la respuesta que obtuvimos a partir de la lectura del gráfico.

La respuesta es correcta

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Problem Solving Strategies- Graphs

Vocabulario

Los cuatro pasos del plan de reSolución de problemas cuando se usa un gráfico son:

1. Entender el problema
2. Idear un plan: hacer un gráfico
3. Llevar a cabo el plan: usar el gráfico para responder la pregunta
4. Observar e interpretar.

Práctica guiada

Aatif quiere comprar una tabla de surf que cuesta $249 dólares. En su cumpleaños, recibió un regalo de $50 dólares y además tiene un trabajo de verano que le paga $6,50 la hora. Para poder comprar la tabla de surf, ¿Cuántas horas tiene que trabajar?

Solución

Primer paso: Lo que sabemos- la tabla de surf cuesta $249.

Aatif tiene $50.

Su trabajo le paga $6.50 por hora.

Lo que queremos saber: cuántas horas necesita trabajar Aatif para comprar la tabla de surf

Definamos el tiempo expresado en horas

Definamos las ganancias de Aatif

Segundo paso: Podemos resolver este problema al hacer un gráfico que muestre el número de horas de trabajo en el eje horizontal y las ganancias de Aatif en el eje vertical.

Aatif tiene $50 al principio. Este es el intercepto en : (0, 50).

Aatif gana $6.50 por hora. Esta es la pendiente de la recta.

Podemos graficar esta recta usando el método pendiente- intercepto. Graficamos el intercepto en de (0, 50), y sabemos que por cada unidad en la dirección horizontal, la línea aumenta en 6,5 unidades en la dirección vertical. Esta es la recta que describe esta situación:

Tercer paso: La pregunta era: "¿Cuántas horas debe trabajar Aatif para comprar la tabla de surf?".

Encontramos la respuesta al leer el gráfico, dado que la tabla de surf cuesta $249, trazamos una línea horizontal desde $249 en el eje vertical hasta tocar la gráfica y, luego, trazamos una línea vertical hacia abajo hasta tocar el eje horizontal. Vemos que necesita trabaja aproximadamente 31 horas para ganar el dinero necesario.

Cuarto paso: Para verificar que esto está correcto, pensemos en el problema otra vez.

Sabemos que Aatif tiene $50 dólares y que necesita $249 para comprar la tabla de surf. Por lo tanto, necesita ganar $249 to buy the surfboard. So, he needs to earn en su trabajo.

Su trabajo paga $6,50 dólares por hora. Para calcular cuántas horas necesita trabajar dividimos . Este resultado está muy cerca de la respuesta que obtuvimos al leer el gráfico.

La respuesta es correcta.

Práctica

Haz un gráfico y léelo para resolver los siguientes problemas:

1. Un gimnasio tienen una oferta para los miembros nuevos. Los clientes se pueden registrar pagando una matrícula de $200 dólares y una mensualidad de $39 dólares.
   1. ¿Cuál será el costo total de esta membresía para un cliente al final del año?
   2. La mensualidad antigua era de $49 con una matrícula de $100. ¿Cuánto seráa el costo adicional de una membresía anual con tales tarifas?
   3. Extra: ¿Por cuántos meses seráan iguales los precios de las dos membresías?
2. Una vela se consume a una tasa lineal. La vela mide cinco pulgadas dos minutos después de haber sido encendida. Mide tres pulgadas ocho minutos después de haber sido encendida.
   1. ¿Cuál era la longitud inicial de la vela?
   2. ¿Cuánto tardará en consumirse hasta medir media pulgada?
   3. Seis velas de media pulgada se pueden derretir juntas para hacer una nueva vela que mida pulgadas (un poco de cera se pierde en el proceso) ¿Cuántas velitas de media pulgada se necesitan para hacer tres velas del tamaño de una vela original?
3. Una vela se hace con una mecha que se sumerge reiteradamente en cera fundida. La vela se vuelve un poco más gruesa con cada capa de cera que se le añade. Una vez que se ha sumergido tres veces, la vela tiene un grosor de 6, 5 mm. Una vez que se ha sumergido seis veces, tiene un grosor de 11 mm.
   1. ¿Cuál es el grosor de la mecha antes de agregarle cera?
   2. ¿Cuántas veces necesita ser sumergida la mecha para crear una vela de 2 cm de espesor?
4. Tali está tratando de calcular el espesor de una página de su guía telefónica. Para hacer esto, toma una medida y descubre que 55 páginas miden . ¿Cuál es el espesor de una página de la guía telefónica?
5. Bobby y Petra tienen un puesto de limonadas y cobran 45 centavos por cada vaso de limonada. Para que ambos ganen lo mismo, tienen que vender al menos $25 dólares.
   1. ¿Cuántos vasos de limonada tienen que vender para que ambos ganen lo mismo?
   2. Cuando vendieron $18 dólares de limonada, se dan cuenta que solamente les quedan limones para preparar 10 vasos más de limonada. Para que ambos ganen lo mismo, tienen que vender más caros esos éltimos 10 vasos de limonada. ¿Cuál debería ser el nuevo precio?
6. Dale está preparando galletas con una receta que pide 2,5 tazas de harina para dos docenas de galletas. ¿Cuántas tazas de harina necesita para preparar cinco docenas de galletas?
7. Para comprar un auto, Jason da un pago inicial de $1500 dólares y paga $350 en cuotas mensuales.
   1. ¿Cuánto dinero habrá pagado al final de un año?
   2. Si el costo total del auto es de $8.500, ¿Cuánto tiempo tardará en pagar totalmente el auto?
   3. El valor de reventa del auto disminuye en $100 dólares del precio original cada mes. Si Jason vende el auto una vez que termine de pagarlo ¿Cuánto recibiráa por el auto?
8. Anne ha trasplantado una rosa a su jardín. Quiere hacer un seguimiento de su crecimiento, por lo que mide su altura semanalmente. En la tercera semana, la rosa mide 10 pulgadas de alto y en la undécima semana, la rosa mide 14 pulgadas de alto. Si suponemos que la rosa crece linealmente con el tiempo ¿Cuál era la altura de la rosa cuando Anne la plantó?
9. Ravi cuelga de un resorte gigante cuya longitud es de 5 m. Cuando su hijo Nimi se cuelga del resorte este mide 2 m. Ravi pesa 160 libras y Nimi pesa 40 libras. Escribe la ecuación de este problema en la forma pendiente-intercepto. ¿Cuál debería ser la longitud del resorte si su esposa Amardeep, quien pesa 140 libras, se cuelgue de él?
10. Nadia coloca diferentes pesos sobre un resorte y mide la longitud de los resortes estirados. Observa que con un peso de 100 gramos, la longitud del resorte estirado es de 20 cm y para un peso de 300 gramos, la longitud del resorte estirado es de 25 cm.
    1. ¿Cuál es la longitud del resorte cuando no está estirado?
    2. Si el resorte se puede estirar dos veces su longitud sin peso antes de quebrarse, ¿Cuánto peso puede resistir?
11. Andrew es un comandante submarino. Decide asomar su submarino a superficie a una profundidad de periscopio. Se tarda 20 minutos en pasar de una profundidad de 400 pies a una de 50 pies.
    1. ¿Cuál era la profundidad del submarino cinco minutos después de comenzar a emerger?
    2. A ese ritmo, ¿Cuánto tiempo adicional tardará en llegar hasta la superficie?
12. El teléfono de Kiersta se encuentra totalmente sin batería cuando lo pone a cargar. Diez minutos más tarde, cuando el teléfono esta 40% cargado, su amiga Danielle llama y Kiersta desenchufa el teléfono para hablar con ella. Cuando corta 45 minutos después, el teléfono tiene un 10% de carga. Luego, recibe otra llamada de su amiga Kwan.
    1. ¿Cuánto tiempo puede hablar con Kwan antes que la batería se agote otra vez?
    2. Si vuelve a cargar el teléfono inmediatamente después ¿Cuánto tardará el teléfono en recargarse completamente?
13. Marji está pintando una reja de 75 pies. Primero, aplica la primera capa de pintura a las 2 PM y a las 2:10 ya ha pintado 30 pies de la reja. A las 2:15, su marido, que pinta alrededor de tan rápido como ella, se une para ayudarla.
    1. ¿Cuánto ha pintado Marji de la reja cuando su marido se une?
    2. ¿Cuándo habrán terminado de pintar toda la reja?
    3. ¿Cuánto tardarán en aplicar la segunda capa de pintura si trabajan juntos todo el tiempo?

Recursos de Texas Instruments

En el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este capítulo. Véase http://www.ck12.org/flexr/chapter/9614 .