Determinar la Ecuación de una Recta

Aquí aprenderás a escribir las ecuaciones de las rectas, teniendo su pendiente e intercepto $y$ o dos de sus puntos.

¿Qué harías si se te da la pendiente de una recta y su intercepto Y o uno de sus puntos? ¿O si te dieran dos de sus puntos? ¿Cómo escribirías la ecuación de esa línea? Tras finalizar esta sección, podrás escribir y graficar ecuaciones a partir de tal información.

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CK-12 Foundation: 0501S Linear Equations (H264)

*Este video solo está disponible en inglés.

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El programa en http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml te permite crear múltiples rectas y ver como se intersectan. Cada recta se define por dos puntos; puedes cambiar la pendiente de una recta al mover cualquiera de los puntos o arrastrar la recta entera sin cambiar su pendiente. Para crear otra línea, haz clic en "Duplicate" y arrastra una de las líneas que ya existen.

Orientación :

En el último capítulo, vimos que muchas situaciones cotidianas pueden ser descritas con gráficos lineales y ecuaciones. En este capítulo, veremos cómo hallar tales ecuaciones en varias situaciones .

Escribir una Ecuación dada una Pendiente y un Intercepto $y-$ .

Ya sabes cómo escribir una ecuación en forma pendiente-intercepto: simplemente empieza con la ecuación general para la forma pendiente-intercepto de una recta, $y=mx+b$ , y luego ingresar los valores entregados de $m$ y $b$ en la ecuación. Por ejemplo, una recta con una pendiente de 4 y un intercepto $y-$ de -3 resultaría en la ecuación $y=4x-3$ .

Si solo tienes el gráfico de una recta, puedes buscar la pendiente y el intercepto $y-$ en el gráfico y escribir la ecuación a partir de ahí. Por ejemplo, en el gráfico de abajo, puedes ver que la recta se eleva en 1 unidad mientras se mueve 2 unidades a la derecha, por lo que su pendiente es $\frac{1}{2}$ . Además, puedes ver que el Intercepto $y-$ es -2, por lo que la ecuación de la recta es $y=\frac{1}{2} x-2$ .

Escribir una Ecuación dada la Pendiente y un Punto .

A menudo, no conocemos el valor del intercepto $y-$ pero conocemos el valor de $y$ para un valor de $x$ . distinto de cero. En este caso, normalmente es más fácil escribir una ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Una ecuación en forma punto-pendiente se escribe como $y-y_0=m(x-x_0)$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_0, y_0)$ es un punto de la recta.

Ejemplo A:

Una recta tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$ ,y el punto (2, 6) está en la recta. Escribe la ecuación de la recta en forma.

Solución :

Empieza con la formula $y-y_0=m(x-x_0)$ .

Ingresa $\frac{3}{5}$ para $m$ , 2 para $x_0$ y 6 para $y_0$ .

La ecuación en forma punto-pendiente es $y-6=\frac{3}{5}(x-2)$ .

Nótese que la ecuación en forma punto-pendiente no se resuelve por $y$ . De hacerlo así , la ecuación estaría en forma de intercepto $y-$ Para resolverlo, solo tenemos que distribuir los $\frac{3}{5}$ y añadir 6 a ambos lados. Eso significa que la ecuación que esta recta en forma pendiente-intercepto es $y=\frac{3}{5}x-\frac{6}{5}+6$ , o simplemente $y=\frac{3}{5}x+\frac{24}{5}$ .

Escribir una ecuación dados dos Puntos

La forma punto-pendiente también es útil cuando hay que hallar ecuación de la que se conocen solo dos puntos de una recta

Por ejemplo, supongamos que nos dicen que la recta pasa a través de los puntos (-2, 3) y (5, 2). Para hallar la ecuación de la recta, podemos empezar por hallar la pendiente.

Empezando con la fórmula para la pendiente, $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , ingresamos los valores de $x-$ y $y-$ de los dos puntos para obtener $m=\frac{2-3}{5-(-2)}=\frac{-1}{7}$ . Podemos ingresar ese valor de $m$ en la formula punto-pendiente para obtener $y-y_0=-\frac{1}{7}(x-x_0)$ .

Ahora solo hay que elegir uno de los puntos para ingresarlo a la formula. Usemos (5, 2); eso nos da $y-2=-\frac{1}{7}(x-5)$ .

¿Y si hubiéramos escogido el otro punto? Entonces tendríamos como resultado la ecuación $y-3=-\frac{1}{7}(x+2)$ , la cual es distinta de la anterior. Esto pasa porque hay más de una forma para escribir una ecuación para una recta dada en forma punto-pendiente. Sin embargo, veamos qué pasa si resolvemos cada ecuación por $y$ .

Empezando con $y-2=-\frac{1}{7}(x-5)$ , distribuimos el $-\frac{1}{7}$ y sumamos 2 a ambos lados. Eso nos deja con $y=-\frac{1}{7} x+\frac{5}{7}+2$ , o $y=-\frac{1}{7}x+\frac{19}{7}$ .

Por otro lado, si empezamos con $y-3=-\frac{1}{7}(x+2)$ , debemos distribuir el $-\frac{1}{7}$ y sumar 3 a ambos lados. Eso nos da $y=-\frac{1}{7}x-\frac{2}{7}+3$ , el cual también se simplifica en $y=-\frac{1}{7}x+\frac{19}{7}$ .

Por tanto, no importa qué punto escojamos para hacer una ecuación en forma punto-pendiente, pues la ecuación seguirá siendo matemáticamente la misma, lo cual se comprueba al convertirlo en forma intercepto $y-$ .

Ejemplo B

Una recta tiene los puntos (3, 2) y (-2, 4). Escribe una ecuación para la recta en forma punto-pendiente; luego, escribe una ecuación en forma intercepto $y-$ .

Solución

Encuentra la pendiente de la recta: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-2}{-2-3}=-\frac{2}{5}$

Ingresa el valor de la pendiente: $y-y_0=-\frac{2}{5}(x-x_0)$ .

Ingresa el punto (3, 2) a la ecuación: $y-2=-\frac{2}{5}(x-3)$ .

La ecuación en forma punto-pendiente es $y-2=-\frac{2}{5}(x-3)$ .

Para convertir a forma intercepto $y-$ solo resuelve por $y$ :

$y-2=-\frac{2}{5}(x-3) &\rightarrow y-2=-\frac{2}{5}x+\frac{6}{5} \\\ &\rightarrow y=-\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}+2\\\ &\rightarrow y=-\frac{2}{5}x+3\frac{1}{5}.$

La ecuación en forma intercepto $y-$ es $y=-\frac{2}{5}x+3\frac{1}{5}$ .

Graficar una Ecuación en forma Punto-Pendiente

Otra utilidad de la forma punto-pendiente es que puedes usarla para graficar una ecuación sin tener que convertirla a la forma pendiente-intercepto. A partir de la ecuación $y-y_0=m(x-x_0)$ , puedes calcular la pendiente $m$ y el punto $(x_0, y_0)$ . Para dibujar el gráfico, solo has de identificar el punto en el plano y, luego, usar la pendiente para determinar por cuantas unidades has de moverte, vertical u horizontalmente, para hallar otro punto en la recta.

Ejemplo C

Hace un gráfico de la recta dada en la ecuación $y+2=\frac{2}{3}(x-2)$ .

Solución

Para hallar los valores correctos, debemos re-escribir un poco la ecuación: $y-(-2)=\frac{2}{3}(x-2)$ . Ahora vemos que el punto (2, -2) está en la recta y que la pendiente es de $\frac{2}{3}$ .

Primero, dibuja el punto (2, -2) en el gráfico:

Una pendiente de $\frac{2}{3}$ nos dice que, desde ese punto, tienes que moverte 2 unidades arriba y 3 a la derecha y dibujar otro punto:

Ahora dibuja una línea entre los dos puntos y extiéndela en ambas direcciones:

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Equations

*Este video solo está disponible en inglés .

Vocabulario

" A menudo, no conocemos el valor del intercepto $y-$ , pero conocemos el valor de $y$ para un valor de $x$ . distinto de cero. En este caso, normalmente es más fácil escribir una ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Una ecuación en forma punto-pendiente se escribe como $y-y_0=m(x-x_0)$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_0, y_0)$ es un punto de la recta.

Práctica Guiada

Una recta tiene los puntos (1, -2) y (0, 0). Escribe una ecuación para la recta en forma punto-pendiente; Luego, escribe una ecuación en forma intercepto $y-$ .

Solución

Encuentra la pendiente de la recta: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-0}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2$

Ingresa el valor de la pendiente: $y-y_0=-2(x-x_0)$ .

Ingresa el punto (1, -2) en la ecuación: $y-(-2)=-2(x-1)$ .

La ecuación en forma punto-pendiente es $y+2=-2(x-1)$ .

Para convertir a forma intercepto $y-$ , solo resuelve por $y$ :

$y+2=-2(x-1) &\rightarrow y+2=-2x+2\\\ &\rightarrow y=-2x+2-2\\\ &\rightarrow y=-2x.$

La ecuación en forma intercepto $y-$ es $y=-2x$ .

Práctica

Halla la ecuación de cada recta en forma pendiente-intercepto.

1. La recta tiene una pendiente de 7 y un intercepto $y-$ de -2.
2. La recta tiene una pendiente de -5 y un intercepto $y-$ de 6.
3. La recta tiene una pendiente de $-\frac{1}{4}$ y tiene el punto (4, -1).
4. La recta tiene los puntos (3, 5) y (-3, 0).
5. La recta tiene los puntos (10, 15) y (12, 20).

Escribir la ecuación de cada recta en forma pendiente-intercepto.

Hallar la ecuación de cada función lineal en forma pendiente-intercepto.

$m=5, f(0)=-3$
$m=-7, f(2)=-1$
$m=\frac{1}{3}, f(-1)=\frac{2}{3}$
$m=4.2, f(-3)=7.1$
$f \left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}, f(0)=\frac{5}{4}$
$f(1.5)=-3, f(-1)=2$

Escribir la ecuación de cada recta en forma punto-pendiente.

La recta tiene pendiente $-\frac{1}{10}$ y atraviesa el punto (10, 2).
La recta tiene pendiente -75 y atraviesa el punto (0, 125).
La recta tiene pendiente 10 y atraviesa el punto (8, -2).
La recta atraviesa los puntos (-2, 3) y (-1, -2).
La recta tiene los puntos (10, 12) y (5, 25).
La recta atraviesa los puntos (2, 3) y (0, 3).
La recta tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$ y un intercepto $y-$ de -3.
La recta tiene una pendiente de -6 y un intercepto $y-$ de 0,5.

Escribir la ecuación de cada función lineal en forma punto-pendiente.

$m=-\frac{1}{5}$ y $f(0)=7$
$m=-12$ y $f(-2)=5$
$f(-7)=5$ y $f(3)=-4$
$f(6)=0$ y $f(0)=6$
$m=3$ y $f(2)=-9$
$m=-\frac{9}{5}$ y $f(0)=32$

Determinar la Ecuación de una Recta

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Ejemplo A:

Ejemplo B

Ejemplo C

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