Formas de Ecuación Lineal

Aquí aprenderás a escribir ecuaciones de rectas en la forma estándar de $ax + by = c$ . También aprenderás a hallar la pendiente y el intercepto $y$ -de rectas escritas en forma estándar.

En esta sección, aprenderás a escribir ecuaciones en forma estándar.

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CK-12 Foundation: 0502S Standard Form of Linear Equations (H264)

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Ahora que has trabajado con ecuaciones en sus tres formas básicas, echa un vistazo al programa en Java en http://www.ronblond.com/M10/lineAP/index.html . Puedes usarlo para manipular graficas de ecuaciones en las tres formas y ver como los graficas cambian a medida que cambias los términos de las ecuaciones.

Orientación

Anteriormente has visto otra forma útil para escribir las ecuaciones lineales: la forma estándar. Una ecuación en forma estándar se escribe como $ax+by=c$ , donde $a, b$ , y $c$ son todos números enteros y $a$ es positivo. (Nótese que la $b$ de la forma estándar es diferente de la $b$ en la forma pendiente-intercepto.)

Algo útil de la forma estándar es que nos permite escribir ecuaciones para rectas verticales, algo que no podemos hacer en forma pendiente-intercepto.

Por ejemplo, analicemos la recta que pasa por los puntos (2, 6) y (2, 9). ¿Cómo hallar una ecuación para esa recta e forma pendiente-intercepto?

Primero, debemos hallar la pendiente: $m=\frac{9-6}{0-0}=\frac{3}{0}$ . Pero esa pendiente es indefinida, pues no podemos dividir por cero. Por consiguiente, si no podemos hallar la pendiente, tampoco podemos usar la forma punto-pendiente.

Si solo graficamos la recta, podemos ver que $x$ es igual a 2 sin importar el valor de $y$ No hay forma de expresar eso en forma pendiente-intercepto o punto-pendiente, pero con la forma estándar, podemos expresar que $x+0y=2$ , o solo $x=2$ .

Convertir a Forma Estándar

Para convertir una ecuación desde cierta forma a la forma estándar, tan solo hay que re-escribir la ecuación para que todas las variables estén de un lado de la ecuación y el coeficiente de $x$ no sea negativo.

Ejemplo A

Re-escribe las siguientes ecuaciones en forma estándar:

a) $y=5x-7$

b) $y-2=-3(x+3)$

c) $y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}$

Solución

Debemos re-escribir cada ecuación para que todas las variables estén de un lado y el coeficiente de $x$ no sea negativo.

a) $y=5x-7$

Resta $y$ de ambos lados para obtener $0=5x-y-7$ .

Suma 7 en ambos lados para obtener $7=5x-y$ .

Invierte la ecuación para ponerla en forma estándar: $5x-y=7$ .

b) $y-2=-3(x+3)$

Distribuye el -3 a la derecha para obtener $y-2=-3x-9$ .

Suma $3x$ en ambos lados para obtener $y+3x-2=-9$ .

Suma 2 en ambos lados para obtener $y+3x=-7$ . Invierte la ecuación para obtener $3x+y=-7$ .

c) $y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}$

Halla el común denominador de todos los términos de la ecuación - en este caso, sería el 6.

Multiplica todos los términos en la ecuación por 6: $6 \left(y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\right) \Rightarrow 6y=4x+3$

Resta $6y$ de ambos lados: $0=4x-6y+3$

Resta 3 de ambos lados: $-3=4x-6y$

La ecuación en forma estándar es $4x-6y=-3$ .

Graficar Ecuaciones en Forma Estándar

Cuando una ecuación está en forma pendiente-intercepto o punto-pendiente, puedes saber de inmediato cual es la pendiente. ¿Cómo hallar la pendiente cuando una ecuación está en forma estándar?

Bueno, podrías re-escribir la ecuación en forma pendiente-intercepto y descifrar la pendiente. Pero hay una forma aún más fácil. Observemos lo que ocurre cuando re-escribimos la ecuación a forma estándar.

Empezando con la ecuación $ax+by=c$ , podemos sustraer $ax$ de ambos lados para obtener $by=-ax+c$ . Luego, podemos dividir todos los términos por $b$ , lo que resulta en $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ .

Eso significa que la pendiente es $-\frac{a}{b}$ y el intercepto $y-$ es $\frac{c}{b}$ . Por tanto, la próxima vez que hallemos una ecuación en forma estándar, no tenemos que re-escribirla para hallar la pendiente; sabemos que la pendiente es sencillamente $-\frac{a}{b}$ , donde $a$ y $b$ son los coeficientes de $x$ e $y$ en la ecuación.

Ejemplo B

Encuentra la pendiente y el intercepto $y-$ de las siguientes ecuaciones escritas en forma estándar.

a) $3x+5y=6$

b) $2x-3y=-8$

c) $x-5y=10$

Solución

a) $a=3, b=5$ , y $c=6$ , por lo que la pendiente es $-\frac{a}{b}=-\frac{3}{5}$ , y el intercepto $y-$ es $\frac{c}{b}=\frac{6}{5}$ .

b) $a=2, b=-3$ , y $c=-8$ , por lo que la pendiente es $-\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$ , y el intercepto $y-$ es $\frac{c}{b}=\frac{8}{3}$ .

c) $a=1, b=-5$ , y $c=10$ , por lo que la pendiente es $-\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$ , y el intercepto $y-$ es $\frac{c}{b}=\frac{10}{-5}=-2$ .

Una vez hallada la pendiente y el intercepto $y-$ en una ecuación en forma estándar, podemos graficarla fácilmente, pero si empezamos con un gráfico, ¿cómo hallar una ecuación de esa recta en forma estándar?

Primero, recuerda que también podemos usar el método de "cubrir" al graficar una ecuación en forma estándar al encontrar los interceptos de la recta. Por ejemplo, grafiquemos la recta dada por la ecuación $3x-2y=6$ .

Para hallar el intercepto $x-$ cubre el término $y$ (recuerda, el intercepto $x-$ es donde $y = 0$ ):

$3x=6 \Rightarrow x=2$

El intercepto $x-$ es (2, 0).

Para hallar el intercepto $y-$ cubre el término $x$ (recuerda, el intercepto $y-$ es donde $x = 0)$ :

$-2y=6 \Rightarrow y=-3$

El intercepto $y-$ es (0, -3).

Graficamos los interceptos y dibujamos una recta que las atraviese en ambas direcciones:

Ahora vamos a aplicar este proceso a la inversa; empezando con el grafico de la recta y escribir la ecuación de la recta en forma estándar.

Ejemplo C

Halla la ecuación de cada recta y escríbela en forma estándar.

Solución

a) Vemos que el intercepto $x-$ es $(3, 0) \Rightarrow x=3$ y el intercepto $y-$ es $(0, -4) \Rightarrow y=-4$

Vimos eso en la forma estándar $ax+by=c$ : si "cubrimos" el termino $y$ tendremos $ax = c$ , y si "cubrimos" el termino $x$ ,tendremos $by = c$ .

Por tanto, debemos encontrar valores para $a$ y $b$ para poder introducir 3 en $x$ y -4 en $y$ y obtener el mismo valor en $c$ en ambos casos. Es similar a encontrar el Mínimo Común Múltiplo de los interceptos $x-$ e $y-$ .

En este caso, vemos que multiplicar $x=3$ por 4 y que multiplicar $y=-4$ por -3 da el mismo resultado:

$(x=3) \times 4 \Rightarrow 4x=12 \quad \text{and} \quad (y=-4) \times (-3) \Rightarrow -3y=12$

Por tanto, $a = 4, b = -3$ y $c = 12$ y la ecuación en forma estándar es $4x-3y=12$ .

b) Vemos que el intercepto $x-$ es $(3, 0) \Rightarrow x=3$ y que el intercepto $y-$ es $(0, 3) \Rightarrow y=3$

Los valores de las ecuaciones de los interceptos ya son los mismos, por lo que $a = 1, b = 1$ y $c = 3$ . La ecuación en forma estándar es $x+y=3$ .

c) Vemos que el intercepto $x-$ es $\left(\frac{3}{2}, 0 \right) \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ y que el intercepto $y-$ es $(0, 4) \Rightarrow y=4$

Multipliquemos la ecuación del intercepto $x-$ por $2 \Rightarrow 2x=3$

Vemos entonces que podemos multiplicar el intercepto $x-$ nuevamente por 4 y el intercepto $y-$ por 3, por lo que nos queda $8x=12$ y $3y=12$ .

La ecuación en forma estándar es $8x+3y=12$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Standard Form of Linear Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

" Una ecuación en forma estándar se escribe como $ax+by=c$ , donde $a, b$ , y $c$ son todos números enteros y $a$ es positivo. (Nótese que la $b$ de la forma estándar es diferente de la $b$ en la forma pendiente-intercepto.)

Práctica Guiada

Halla la pendiente y el intercepto $y-$ de las siguientes ecuaciones escritas en forma estándar.

a) $10x+2y=5$

b) $21x-3y=-9$

Solución:

a) $a=10, b=2$ , y $c=5$ , por lo que la pendiente es $-\frac{a}{b}=-\frac{10}{2}=-5$ , y el intercepto $y-$ es $\frac{5}{2}=2.5$ .

b) $a=21, b=-3$ , y $c=-9$ , por lo que la pendiente es $-\frac{a}{b}=-\frac{21}{-3}=7$ , y el intercepto $y-$ es $\frac{c}{b}=\frac{-9}{-3}=3$ .

Práctica

Para 1-6, re-escribe las siguientes ecuaciones a forma estándar.

$y=3x-8$
$y-7=-5(x-12)$
$2y=6x+9$
$y=\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}$
$y+\frac{3}{5}=\frac{2}{3}(x-2)$
$3y+5=4(x-9)$

Para 7-12, halla la pendiente y el intercepto $y-$ de las rectas siguientes.

$5x-2y=15$
$3x+6y=25$
$x-8y=12$
$3x-7y=20$
$9x-9y=4$
$6x+y=3$

Para 13-14, halla la ecuación de cada recta y escríbela en forma estándar.

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