Modelos Lineales en la Vida Real

Aquí aprenderás como resolver problemas cotidianos cuyas ecuaciones son rectas, ya sea en forma punto-pendiente, pendiente-intercepto o forma estándar.

Digamos que una compañía de arriendo de autos cobra $25 por día más $0,25 por kilómetro recorrido. Cuando el auto es regresado, el contador de kilómetros marca 324 kms y la cuenta del cliente tiene un total de $156. ¿Cómo determinarías el número de días que el cliente rentó el autor? En esta sección, podrás resolver problemas cotidianos como este.

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CK-12 Foundation: 0503S Solving Real-World Problems with Linear Equations (H264)

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Orientación

Resolvamos algunos problemas en los que debemos escribir la ecuación de una recta en forma punto-pendiente.

Ejemplo A

Marciel arrendó un camión de mudanza por un día. Marciel solo recuerda que la compañía de arriendo de camiones cobras $40 por día y algunos centavos extra por kilómetro. Marciel conduce 46 kilómetros y el monto final de la cuenta (sin impuestos) es de $63. ¿Cuánto cobra la compañía por kilómetro recorrido? Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuánto costaría rentar este camión si Marciel condujera 220 kilómetros?

Solución

Definamos nuestras variables:

$x = \text{distance in miles}\!\\\y = \text{cost of the rental truck}$

Peter paga una tarifa fija de $40 por el día; este es el intercepto $y-$ .

Él paga $63 por 46 kilómetros; estas son las coordenadas del punto (46,63).

Empieza con la forma punto pendiente de la recta: $y-y_0=m(x-x_0)$

Introduce las coordenadas: $63-y_0=m(46-x_0)$

Introduce el punto (0, 40): $63-40=m(46-0)$

Resuelve por la pendiente: $23=46m \rightarrow m=\frac{23}{46}=0.5$

La pendiente es 0.5 dólares por kilómetro, por lo que la compañía de camiones cobra 50 centavos por kilómetro ($0.5 = 50 centavos). Ingresando la pendiente y el intercepto $y-$ la ecuación de la recta es $y=0.5x+40$ .

Para hallar el costo de conducir el camión 220 kms, introducimos $x=220$ para obtener $y-40=0.5(220) \Rightarrow y= \$ 150$ .

Conducir 220 kms costaría $150.

Ejemplo B

Anne trabaja vendiendo persianas. Recibe un sueldo base mensual y una comisión de $6 por cada persiana que vende. A fin de mes, ella cuenta las ventas y calcula que ha vendido 200 persianas y ganó $2.500. Escribe una ecuación en forma punto-pendiente que describa esta situación. ¿Cuánto es el sueldo base mensual de Anne?

Solución

Definamos nuestras variables:

$x = \text{number of window shades sold}\!\\\y = \text{Anne's earnings}$

Vemos que nos dan la pendiente y un punto de la recta:

Anne gana $6 por cada persiana, así que la pendiente es 6.

Ella gana $2.500 tras vender 200 persianas, por lo que el punto es (200, 2500).

Empieza con la forma punto-pendiente de la recta: $y-y_0=m(x-x_0)$

Ingresa la pendiente: $y-y_0=6(x-x_0)$

Introduce el punto (200, 2500): $y-2500=6(x-200)$

Para hallar el salario base de Anne, introducimos $x = 0$ y obtenemos $y-2500=-1200 \Rightarrow y=\$ 1300$ .

El salario base mensual de Anne es de $1300.

Resolver Problemas Cotidianos Usando Modelos Lineales en Forma Estándar

Aquí hay dos ejemplos de problemas cotidianos donde la forma estándar de una ecuación resulta útil.

Ejemplo C

Nadia compra fruta en su mercado local. Este sábado, las naranjas cuestan $2 el kilo y las cerezas $3 el kilo. Ella tiene $12 para gastar en fruta. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si ella compra 4 kilos de naranjas, ¿Cuántos kilos de cerezas podrá comprar?

Solución

Definamos nuestras variables:

$x = \text{pounds of oranges}\!\\\y = \text{pounds of cherries}$

La ecuación que describe esta situación es $2x+3y=12$ .

Si ella compra 4 kilos de naranjas, podemos introducir $x = 4$ a la ecuación y resolver por $y$ :

$2(4)+3y=12 \Rightarrow 3y=12-8 \Rightarrow 3y=4 \Rightarrow y=\frac{4}{3}$

Nadia puede comprar $1 \frac{1}{3}$ kilos de cerezas.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Solving Real-World Problems with Linear Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

" Una forma común de una recta (ecuación lineal) es la forma pendiente-intercepto: $y=mx+b$ , donde $m$ es la pendiente y el punto $(0, b)$ es el intercepto $y-$ .

" A menudo, no conocemos el valor del intercepto $y-$ pero conocemos el valor de $y$ para un valor de $x$ . distinto de cero. En este caso, normalmente es más fácil escribir una ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Una ecuación en forma punto-pendiente se escribe como $y-y_0=m(x-x_0)$ , donde $m$ es la pendiente y $(x_0, y_0)$ es un punto en la recta.

" Una ecuación en forma estándar se escribe como $ax+by=c$ , donde $a, b$ , y $c$ son todos números enteros y $a$ es positivo. (Nótese que la $b$ de la forma estándar es diferente de la $b$ en la forma pendiente-intercepto.)

Práctica Guiada

Para ir a la escuela, Peter usa su skate parte del camino y camina el resto del mismo. Él puede ir en skate a 7 kms por hora y puede caminar 3 kms por hora. La distancia hasta la escuela es de 6 kms. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si él usa su skate por $\frac{1}{2}$ hora, ¿cuánto le toma llegar a la escuela a pie?

Solución

Definamos nuestras variables:

$x = \text{time Peter skateboards}\!\\\y = \text{time Peter walks}$

La ecuación que describe esta situación es: $7x+3y=6$

Si Peter usa su skate por $\frac{1}{2}$ hora, podemos ingresar $x = 0.5$ en la ecuación y resolver por $y$ :

$7(0.5)+3y=6 \Rightarrow 3y=6-3.5 \Rightarrow 3y=2.5 \Rightarrow y=\frac{5}{6}$

Peter debe caminar $\frac{5}{6}$ de hora.

Práctica

Para 1-8, escribe la ecuación en las formas pendiente-intercepto, punto-pendiente y estándar.

La recta tiene una pendiente de $\frac{2}{3}$ y tiene el punto $\left(\frac{1}{2}, 1 \right)$ .
La recta tiene una pendiente de -1 y tiene el punto $\left(\frac{4}{5}, 0 \right)$ .
La recta tiene una pendiente de 2 y tiene el punto $\left(\frac{1}{3}, 10 \right)$ .
La recta tiene los puntos (2, 6) y (5, 0).
La recta tiene los puntos (5, -2) y (8, 4).
La recta tiene los puntos (-2, -3) y (-5, 1).

Para 9-10, resuelve el problema.

9. Andrew tiene dos empleos a medio tiempo. Uno le paga $6 por hora y el otro, $10 por hora. Él quiere ganar $366 a la semana. Escribe una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si solo le permiten trabajar 15 horas a la semana en el segundo empleo ($10 por hora), ¿cuantas horas debe trabajar a la semana en su primer empleo ($6 por hora) para lograr su objetivo?
10. Anne invierte dinero en dos cuentas. Una cuenta le devuelve un 5% de interés anual y la otra, un 7% de interés anual. Para que no le cobren impuestos extra, ella ni puede generar más de $400 en intereses al año. Escribe una ecuación en forma estándar que describa este problema. Si ella invierte $5.000 en su primera cuenta (5% de interés anual), ¿Cuánto dinero debe invertir en la otra cuenta?

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