Comparar Ecuaciones de Rectas Paralelas y Perpendiculares

Aquí aprenderás como usar las pendientes para determinar cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares.

Digamos que tienes dos rectas. Una pasa por los puntos (1, -2) y (3, 5). La otra pasa por los puntos (0, 2) y (7, 0). ¿Como determinas si las dos rectas son paralelas o perpendiculares? Tras completar esta sección, podrás determinar tales características.

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CK-12 Foundation: 0504S Determine Parallel and Perpendicular Lines (H264)

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Orientación

En esta sección, aprenderás como las rectas paralelas y perpendiculares se relacionan entre ellas en el plano cartesiano. Empecemos por ver una gráfica con dos rectas paralelas.

Claramente podemos ver que las dos rectas tienen distintos interceptos $y-$ : 6 y -4.

¿Y las pendientes de las rectas? La pendiente de la recta $A$ es $\frac{6-2}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$ , y la pendiente de la recta $B$ es $\frac{0-(-4)}{2-0}=\frac{4}{2}=2$ . Las pendientes son las mismas.

¿Es esto importante? Sí. Por definición, las rectas paralelas nunca se tocan. Esto significa que cuando la pendiente de una recta aumenta por cierto valor, la pendiente de la otra también aumenta por el mismo valor, de modo que las rectas se mantendrán siempre a la misma distancia. Si observas la gráfica anterior, verás que, para cualquier valor de $x-$ que escojas, los valores $y-$ de las rectas $A$ y $B$ tienen la misma distancia vertical, lo que significa que ambas rectas aumentan su distancia vertical siempre que conserven la misma distancia horizontal. Para que las rectas permanezcan paralelas, sus pendientes deben permanecer iguales.

Todas las rectas paralelas tienen las mismas pendientes, pero distintos interceptos $y-$ .

Ahora analicemos la gráfica de dos rectas perpendiculares.

Aquí, los interceptos $y-$ no son algo a considerar. En este ejemplo, los interceptos $y-$ i son diferentes, pero si movemos las líneas cuatro unidades a la derecha, ambas rectas se interceptarían en el punto del eje $y-$ en (0, -2). Por lo tanto, las rectas perpendiculares pueden tener interceptos $y-$ diferentes o iguales.

Pero, ¿qué hay de la relación entre las pendientes de las dos rectas?

Para hallar la pendiente de la recta $A$ , escogemos dos puntos de la recta y dibujamos el triángulo azul (arriba) a la derecha. Los catetos del triángulo representan altura y longitud. Vemos que la pendiente es $\frac{8}{4}$ , o 2.

Para hallar la pendiente de la recta $B$ , escogemos dos puntos de la recta y dibujamos el triángulo rojo (abajo) a la derecha. Notamos que ambos triángulos son idénticos, solo que uno está inclinado $90^\circ$ . Cuando la recta $A$ se mueve 8 unidades arriba y 4 a la derecha, la recta $B$ irá 8 unidades a la derecha y 4 abajo. Su pendiente es de $-\frac{4}{8}$ , o $-\frac{1}{2}$ .

Esta es la regla para las rectas perpendiculares; cuando una recta se mueve $a$ unidades arriba y $b$ unidades a la derecha, la otra recta se moverá $a$ unidades a la derecha y $b$ unidades abajo, por lo que la pendiente de una recta será $\frac{a}{b}$ y la pendiente de la otra será $-\frac{b}{a}$ .

Las pendientes de las rectas perpendiculares siempre son recíprocamente negativas una de otra.

El programa Java en http://members.shaw.ca/ron.blond/perp.APPLET/index.html te permite arrastrar un par de rectas perpendiculares para ver cómo cambian sus pendientes. Haz clic en "Show Grid" para ver los ejes $x-$ y $y-$ También puedes hacer clic en "Show Constructors" para ver los triángulos usados para calcular las pendientes de las rectas (puedes arrastrar el circulo para cambiar su tamaño y hacer clic en un triángulo para ver en detalle los cálculos de la pendiente.)

Determinar si las Rectas son Paralelas o Perpendiculares

Puedes ver si las rectas son paralelas o perpendiculares al comparar sus pendientes. Si te dan puntos de las rectas, puedes hallar sus pendientes usando la formula. Si te dan las ecuaciones de las rectas, re-escribe cada ecuación en una forma que facilite encontrar la pendiente, como la forma pendiente-intercepto.

Ejemplo A

Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores. Una recta pasa por los puntos (2, 11) y (-1, 2); otra recta pasa por los puntos (0, -4) y (-2, -10).

Solución

Encuentra la pendiente de cada recta y compáralas.

$m_1=\frac{2-11}{-1-2}=\frac{-9}{-3}=3 \ \quad \ \text{and} \ \quad \ m_2=\frac{-10-(-4)}{-2-0}=\frac{-6}{-2}=3$

Las pendientes son iguales, por lo que las rectas son paralelas.

Ejemplo B

Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores. Una recta pasa por los puntos (-2, -7) y (1, 5); otra recta pasa por los puntos (4, 1) y (-8, 4).

Solución:

$m_1=\frac{5-(-7)}{1-(-2)}=\frac{12}{3}=4 \quad \ \text{and} \ \quad m_2=\frac{4-1}{-8-4}=\frac{3}{-12}=-\frac{1}{4}$

Las pendientes son recíprocos negativos, por lo que las rectas son perpendiculares.

Ejemplo C

Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores. Una recta pasa por los puntos (3, 1) y (-2, -2); otra recta pasa por los puntos (5, 5) y (4, -6).

Solución:

$m_1=\frac{-2-1}{-2-3}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5} \ \quad \ \text{and} \ \quad \ m_2=\frac{-6-5}{4-5}=\frac{-13}{-1}=13$

Las pendientes no son ni iguales ni negativos recíprocos, por lo que no son ni paralelas ni perpendiculares.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Determine Parallel and Perpendicular Lines

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

" Todas las rectas paralelas tienen las mismas pendientes, pero distintos interceptos . $y-$ intercepts.

" Las pendientes de las perpendicular lines siempre son recíprocamente negativas una de otra.

Práctica Guiada

Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores:

a) $3x+4y=2$ y $8x-6y=5$

b) $2x=y-10$ y $y=-2x+5$

c) $7y+1=7x$ y $x+5=y$

Solución

Escribe cada ecuación en forma pendiente-intercepto:

a) Recta 1: $3x+4y=2 \Rightarrow 4y=-3x+2 \Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} \Rightarrow \ \text{slope} = - \frac{3}{4}$

Recta 2: $8x-6y=5 \Rightarrow 8x-5=6y \Rightarrow y=\frac{8}{6} x-\frac{5}{6} \Rightarrow y=\frac{4}{3} x-\frac{5}{6} \Rightarrow \ \text{slope} = \frac{4}{3}$

Las pendientes son recíprocos negativos, por lo que las rectas son perpendiculares.

b) Recta 1: $2x=y-10 \Rightarrow y=2x+10 \Rightarrow \ \text{slope} = 2$

Recta 2: $y=-2x+5 \Rightarrow \ \text{slope} = -2$

Las pendientes no son ni iguales ni negativos recíprocos, por lo que no son ni paralelas ni perpendiculares.

c)Recta 1: $7y+1=7x \Rightarrow 7y=7x-1 \Rightarrow y=x-\frac{1}{7} \Rightarrow \ \text{slope} = 1$

Recta 2: $x+5=y \Rightarrow y=x+5 \Rightarrow \ \text{slope} = 1$