Familias de rectas

Aquí aprenderás a escribir la ecuación de una recta que es paralela o perpendicular a una segunda recta, teniendo la ecuación de la segunda recta y una de los puntos que atraviesa. También investigarás acerca de las familias de rectas.

Digamos que te dan la ecuación de una recta como $y = -4x - 3$ y quieres hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2, 1) y que es paralela o perpendicular a la primera. ¿Cómo hallarías la ecuación de esta recta? Tras completar esta sección, podrás escribir ecuaciones de rectas perpendiculares y paralelas.

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CK-12 Foundation: 0505S Equations of Parallel and Perpendicular Lines (H264)

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Orientación

Podemos usar las propiedades de las rectas paralelas y perpendiculares para escribir una ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada. Digamos que te dan una recta y un punto y te piden hallar la recta que atraviesa el punto dado y que es paralela o perpendicular a la primera recta. Así deberías de proceder:

Encuentra la pendiente de la recta dada a partir de su ecuación (Puede que debas re-escribir la ecuación a otra forma, como la forma pendiente-intercepto).
Encuentra la pendiente de la recta paralela o perpendicular y observa si es la misma que la pendiente hallada en el paso 1 (si es paralela) o si es el reciproco negativo de tal pendiente (si es perpendicular).
Usa la pendiente hallada en el paso 2, junto con el punto dado al principio, para escribir una ecuación de la nueva recta en forma pendiente-intercepto o punto-pendiente.

Ejemplo A

Halla una ecuación de la recta perpendicular a la recta $y=-3x+5$ que pasa por el punto (2, 6).

Solución

La pendiente de la recta dada es -3, por lo que la recta perpendicular tendrá una pendiente de $\frac{1}{3}$ .

Ahora, para encontrar la ecuación de una recta con pendiente $\frac{1}{3}$ que pase por el punto (2, 6):

Empieza con la forma pendiente-intercepto: $y=mx+b$ .

Ingresa la pendiente: $y=\frac{1}{3}x+b$ .

Introduce el punto (2, 6) para hallar $b$ : $6=\frac{1}{3}(2)+b \Rightarrow b=6-\frac{2}{3} \Rightarrow b=\frac{16}{3} \to 5 \frac{1}{3}$ .

La ecuación de la recta es $y=\frac{1}{3}x + 5\frac{1}{3}$ .

Ejemplo B

Halla la ecuación de la recta paralela a $6x-5y=12$ que pase por el punto (-5, -3).

Solución

Re-escribe la ecuación en forma punto-pendiente: $6x-5y=12 \Rightarrow 5y=6x-12 \Rightarrow y=\frac{6}{5}x-\frac{12}{5}$ .

La pendiente de la recta dada es $\frac{6}{5}$ , por lo que buscamos una recta con pendiente $\frac{6}{5}$ que pase por el punto (-5, -3).

Empieza con la forma pendiente-intercepto: $y=mx+b$ .

Ingresa la pendiente: $y=\frac{6}{5}x+b$ .

Introduce el punto (-5, -3): $n-3=\frac{6}{5}(-5)+b \Rightarrow -3=-6+b \Rightarrow b=3$

La ecuación de la recta es $y=\frac{6}{5}x+3$ .

Investigar Familias de Rectas

Una familia de rectas es un grupo de rectas que tienen algo en común entre ellas. Las rectas pueden pertenecer a dos tipos de familias: una en el que sus pendientes son iguales y otra en que sus interceptos $y-$ son iguales.

Familia 1: Su pendiente no varía, pero cambia su intercepto $y-$ Su pendiente no varía, pero cambia su intercepto

La imagen siguiente muestra la familia de rectas con ecuaciones en la forma $y=-2x+b$ :

Todas las rectas tienen una pendiente de -2, pero el valor de $b$ es diferente en cada recta.

Nótese que, en tal familia, todas las rectas son paralelas. Todas las rectas lucen igual, excepto que su posición varía en el eje $y-$ Cuando $b$ se incrementa, la recta sube por el eje $y-$ Así mismo, cuando $b$ disminuye, la recta baja por el eje $y-$ Este comportamiento es, a menudo, conocido como un cambio vertical.

Familia 2: Su intercepto $y-$ no varía, pero cambia su pendiente.

La imagen siguiente muestra la familia de rectas con ecuaciones de la forma $y=mx+2$ :

Todas las rectas tienen un intercepto $y-$ de dos, pero la pendiente es diferente en cada recta. Las rectas más empinadas tienen mayores valores de $m$ .

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la familia de rectas que cumpla con la condición dada.

a) Paralela al eje $x-$

b) Atraviesa el punto (0, -1)

c) Perpendicular a $2x+7y-9=0$

d) Paralela a $x+4y-12=0$

Solución

a) Todas las rectas paralelas al eje $x-$ tienen pendiente cero; el intercepto $y-$ puede ser cualquiera. Por lo tanto, la familia de rectas es $y=0x+b$ o solo $y=b$ .

b) Todas las rectas que pasan por el punto (0, -1) tienen el mismo intercepto $y-$ , $b = -1$ . La familia de rectas es: $y=mx-1$ .

c) Primero, debemos hallar la pendiente de la recta dada. Al re-escribir $2x+7y-9=0$ en forma pendiente-intercepto, obtenemos $y=-\frac{2}{7}x+\frac{9}{7}$ . La pendiente de la recta es $-\frac{2}{7}$ , por lo que buscamos la familia de rectas con pendiente $\frac{7}{2}$ .

La familia de rectas es $y=\frac{7}{2}x+b$ .

d) Re-escribe $x+4y-12=0$ en forma pendiente-intercepto: $y=-\frac{1}{4}x+3$ . La pendiente es $-\frac{1}{4}$ , la cual también es la pendiente de la familia de rectas que buscamos.

La familia de rectas es $y=-\frac{1}{4}x+b$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Equations of Parallel and Perpendicular Lines

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Vocabulario

Una familia de rectas es un grupo de rectas que tienen algo en común entre ellas. Las rectas pueden pertenecer a dos tipos de familias: una en el que sus pendientes son iguales y otra en que sus interceptos $y-$ son iguales.

Nótese que, en tal familia, todas las rectas son paralelas. Todas las rectas lucen igual, excepto que su posición varía en el eje $y-$ Cuando $b$ se incrementa, la recta sube por el eje $y-$ Así mismo, cuando $b$ disminuye, la recta baja por el eje $y-$ Este comportamiento es, a menudo, conocido como un cambio vertical.

Práctica Guiada

Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x-5y=15$ que pasa a través del punto (-2, 5).

Solución

Re-escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto: $x-5y=15 \Rightarrow -5y=-x+15 \Rightarrow y=\frac{1}{5}x-3$ .

La pendiente de la recta dada es $\frac{1}{5}$ , por lo que buscamos una recta con pendiente -5

Empieza con la forma pendiente-intercepto: $y=mx+b$ .

Ingresa la pendiente: $y=-5x+b$ .

Introduce el punto (-2, 5): $5=-5(-2)+b \Rightarrow b=5-10 \Rightarrow b=-5$

La ecuación de la recta es $y=-5x-5$ .

Práctica

Halla la ecuación de la recta paralela a $5x-2y=2$ que pase por el punto (3, -2).
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $y=-\frac{2}{5}x-3$ que pase por el punto (2, 8).
Halla la ecuación de la recta paralela a $7y+2x-10=0$ que pase por el punto (2, 2).
Halla la ecuación de la recta perpendicular to $y+5=3(x-2)$ que pase por el punto (6, 2).
La recta $S$ pasa por los puntos (2, 3) y (4, 7). La recta $T$ pasa por el punto (2, 5). Si las rectas $S$ y $T$ son paralelas, menciona otro punto de la recta $T$ . ( Pista: no tienes que encontrar la pendiente de ninguna recta.)
Las rectas $P$ y $Q$ pasan por el punto (-1, 5). La recta $P$ también pasa por (-3, -1). Si $P$ y $Q$ son perpendiculares, menciona otro punto de la recta $Q$ . (Esta vez, tienes que encontrar las pendientes de ambas rectas.)
Escribe la ecuación de la familia de rectas que cumpla la condición dada.
1. Todas las rectas pasan por el punto (0, 4).
2. Todas las rectas son perpendiculares a $4x+3y-1=0$ .
3. Todas las rectas son paralelas a $y-3=4x+2$ .
4. Todas las rectas pasan por el punto (0, -1).
Menciona dos rectas que pasen por el punto (3, -1) y que sean perpendiculares entre sí.
Menciona dos rectas que sean perpendiculares a $y=-4x-2$ . ¿Cuál es la relación entre esas dos rectas?
Menciona dos rectas perpendiculares que pasen por el punto

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