Ajustar una Recta a los Datos

Digamos que tienes un gráfico con muchos pares ordenados al azar en el plano. ¿Cómo podrías hallar la recta que mejor describa esos puntos en el plano? Tras completar esta sección, podrás hallar la mejor recta para los datos del plano.

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CK-12 Foundation: 0506S Fitting a Line to Data (H264)

Orientación

Katja ha notado que últimamente, las ventas en su tienda han disminuido. Ella pone en una gráfica sus cifras de venta de cada semana y observa que los puntos tienden a bajar, pero no hacen una línea recta. ¿Cómo puede predecir cuáles serán sus cifras de venta en las próximas semanas?

En los problemas cotidianos, la relación entre nuestras variables dependientes e independientes es lineal, pero no perfectamente lineal. Digamos que tenemos cierta cantidad de datos en puntos que no calzan bien en una línea recta, pero aun así queremos hallar una ecuación que represente tales puntos. En esta lección, aprenderemos como hallar ecuaciones lineales que se ajusten a datos de la vida real

Hacer un Diagrama de Dispersión

Un diagrama de dispersión es un plano de todos los pares ordenados de una tabla. Incluso cuando esperamos que la relación a analizar sea lineal, no podemos esperar que los puntos calcen siempre perfectamente en una línea recta. En vez de eso, los puntos estarán "dispersos" por la recta.

Hay muchas razones por las que los datos pueden no calzar perfectamente en una recta. A veces, pasa por pequeños errores de cálculo; otras veces, es porque el mundo real no siempre es tan simple como una abstracción matemática y, otras veces, las matemáticas solo pueden describirlo de forma aproximada.

Ejemplo A

Hacer un diagrama de dispersión de los siguientes pares ordenados:

(0, 2); (1, 4.5); (2, 9); (3, 11); (4, 13); (5, 18); (6, 19.5)

Solución

Hacemos un diagrama de dispersión al graficar todos los pares ordenados en sus ejes de coordenadas:

Ajustar una Recta a los Datos

Nótese que los puntos parecieran formar parte de una línea recta, aunque no calzan perfectamente como una línea recta. Si los puntos estuvieran perfectamente alineados, podríamos dibujar una recta a través de dos puntos cualesquiera y esa recta atravesaría todos los puntos por igual. Cuando los puntos no están perfectamente alineados, debemos hallar una recta que se acerque lo más posible a todos los puntos.

Podemos ver que podemos dibujar muchas rectas en el grupo de datos. Sin embargo, la recta roja es la recta que mejor se adapta a los puntos. Para probar esto matemáticamente, podemos medir todas las distancias desde todos los puntos hasta la recta : luego, podríamos mostrar que la suma de todas esas distancias - vale decir, la raíz cuadrada de la suma de las distancias al cuadrado - es menor que la de cualquier otra recta.

En verdad, probar esto es una lección para un curso mucho más avanzado, por lo que no avanzaremos más al respecto. Además, hallar la recta de ajuste, en primer lugar, es algo mucho más complejo; por ende, en vez de hacerlo a mano, usaremos una calculadora grafica o, sencillamente, determinaremos la recta "al ojo", tal como hicimos antes. Usaremos nuestra vista para determinar que recta es mejor.

Para practicar más el determinar rectas "al ojo", prueba el programa Java en http://mste.illinois.edu/activity/regression/ . Haz clic en la zona verde para colocar hasta 50 puntos; luego, usa la barra deslizadora para ajustar la pendiente de la línea roja para intentar hacer que los puntos calcen en ella (el termómetro muestra que tan lejos está la recta de los puntos, por lo que debes tratar de que el termómetro permanezca con la medida más baja posible.) Finalmente, haz clic en "Show Best Fit" para mostrar con azul cual es la recta de ajuste. Vuelve a abrir la página o haz clic en "Reset" si quieres volverlo a intentar. Mara un mayor desafío, dispersa los puntos en un patrón menos obvio.

Escribir una Ecuación para una Recta de Ajuste

Una vez que dibujes la recta de ajuste, puedes hallar su ecuación usando dos puntos de esa recta. Hallar esta ecuación también se le conoce como regresión lineal.

Cuidado: Asegúrate de no cometer un error muy común. A veces, la recta de ajuste no pasa directamente por ninguno de los puntos del grupo de datos original. Esto significa que no puedes usar dos puntos cualquiera del grupo de datos ; tienes que usar dos puntos que estén en la recta , aun cuando no aparezcan en el grupo de datos.

En el Ejemplo 1, ocurre que dos de los puntos de los datos están muy cerca de la recta de ajuste, por lo que podeos usarlos para hallar la ecuación de la recta: (1, 4.5) y (3, 11).

Empieza con la forma pendiente-intercepto de una recta:

Halla la pendiente: .

Por lo tanto .

Ingresa (3, 11) a la ecuación:

Por tanto, la ecuación de la recta que mejor se adapta a los datos es .

Realizar una Regresión Lineal con una Calculadora Grafica

El problema al hacer una recta de ajuste "al ojo" es que, por supuesto, no puedes estar seguro de que tan certera es tu suposición. Para obtener la ecuación más precisa para la recta, podemos usar una calculadora gráfica. La calculadora usa un algoritmo matemático para hallar la recta que minimice la suma de los cuadrados.

Ejemplo B

Usa una calculadora gráfica para hallar la ecuación de la recta de ajuste para los siguientes datos:

(3, 12), (8, 20), (1, 7), (10, 23), (5, 18), (8, 24), (11, 30), (2, 10)

Solución

Paso 1: Introduce los datos a tu calculadora.

Pulsa [STAT] y elige la opción [EDIT] Ingresa los datos a la tabla al ingresar los valores en la primera columna y los valores en la segunda columna.

Paso 2: Halla la ecuación de la recta de ajuste.

Pulsa de nuevo [STAT] usa la flecha derecha para seleccionar [CALC] arriba de la pantalla.

Escoge la opción 4, , y pulsa [ENTER]

La calculadora mostrará .

Pulsa [ENTER] y tendrás los valores de y .

Aquí representa la pendiente y el intercepto de la ecuación. La regresión lineal de la recta es .

Step 3. Dibujar el diagrama de dispersión.

Para dibujar el diagrama de dispersión, pulsa [STATPLOT] [2nd] [Y=].

Escoge Plot 1 y pulsa [ENTER] .

Activa la opción On y establece el Tipo (Type) como diagrama de dispersión (destacado en negrita).

Asegúrate que los nombres de la lista y la lista sean los mismos que los de las columnas de la tabla en el Paso 1.

Escoge la caja o el signo + como marcador, pues un punto pequeño puede ser difícil de ver en la calculadora.

Pulsa [GRAPH] y ajusta el tamaño de la ventana para que puedas ver todos los puntos en el diagrama de dispersión.

Paso 4. Dibuja la mejor recta en el diagrama de dispersión.

Pulsa [Y=]

Ingresa la ecuación que acabas de encontrar para la recta de ajuste: .

Pulsa [GRAPH] .

Resolver Problemas Cotidianos usando Modelos Lineales de Datos Dispersos

Una vez que hemos hallado la recta de ajuste para un grupo de datos, podemos usar la ecuación de esa recta para predecir otros puntos de los datos

Ejemplo C

Nadia entrena para una carrera de 5K (5 km). La tabla siguiente muestra sus tiempos en cada mes de su programa de entrenamiento. Halla una ecuación de una recta de ajuste. Predice su tiempo de corrida si la carrera fuera en Agosto

Solución

Haz un diagrama de dispersión de los tiempos de corrida de Nadia. La variable independiente, , ies el número del mes y la variable dependiente, , es el tiempo de corrida. Graficamos todos los puntos de la tabla en el plano cartesiano y, luego, dibujamos una recta de ajuste.

(0, 42) y (4, 34) son dos puntos en la recta. Los usaremos para hallar la ecuación de la recta:

En un problema cotidiano, la pendiente y el intercepto tienen una importancia fisiológica. En este caso, la pendiente nos dice cómo cambia el tiempo de corrida de Nadia cada mes que entrena. En específico, disminuye 2 minutos por mes. Al mismo tiempo, el intercepto nos dice que, cuando Nadia inició su entrenamiento, corrió una distancia de 5K en 42 minutos.

El problema nos pide predecir el tiempo de corrida de Nadia en Agosto. Ya que Junio es definido como el mes número 5, Agosto será el mes número 7. Ingresamos a la ecuación de la recta de ajuste:

La ecuación predice que Nadia correrá la carrera de 5K en 28 minutos.

En esta solución, hicimos la recta "al ojo". Usando una calculadora gráfica, sin embargo, podemos hallar esta otra ecuación para una recta de ajuste:

Si insertamos esta ecuación, obtenemos . Esto significa que Nadia correrá su carrera en 28.3 minutos. Puedes apreciar que la calculadora grafica da una ecuación diferente y una respuesta diferente a la pregunta. La calculadora grafica es más certera, pero la línea que dibujamos a mano aún entrega una buena aproximación al resultado. Además, no hay garantía de que Nadia vaya a terminar la carrera exactamente en ese tiempo; ambas respuestas son estimativas, solo que la estimación de la calculadora es un poco más exacta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Fitting a Line to Data

Vocabulario

• Un diagrama de dispersión es un plano de todos los pares ordenados de una tabla. Incluso cuando esperamos que la relación a analizar sea lineal, no podemos esperar que los puntos calcen siempre perfectamente en una línea recta. En vez de eso, los puntos estarán "dispersos" por la recta.

• Una vez que dibujes la recta de ajuste, puedes hallar su ecuación usando dos puntos de esa recta. Hallar esta ecuación también se le conoce como regresión lineal.

Práctica Guiada

Peter prueba el tiempo en que se consumen las velas "BriteGlo". La siguiente tabla muestra cuanto tardan en consumirse velas de distinto peso. Asumiendo que es una relación lineal, podemos usar una recta para ajustar los datos. Si una recta se consume en 95 horas, ¿cuánto debe ser su peso en gramos?

Solución

Hagamos un diagrama de dispersión de los datos. La variable independiente , es el peso de la vela y la variable dependiente, , es el tiempo que tarda en consumirse. Dibujamos todos los puntos de la tabla en el plano cartesiano y trazamos una recta de ajuste.

T(0,0) y (30, 200) son dos puntos convenientes de la recta. Encuentra la ecuación de la recta:

Una pendiente de nos dice que, por cada gramo extra en el peso de la vela, el tiempo encendido aumenta en horas. Un intercepto de cero nos dice que una vela de 0 gramos permanece encendida 0 horas.

El problema pide el peso de una vela que se enciende hasta 95 horas; en otras palabras, ¿qué valor de nos da un valor de de 95? Ingresemos :

Una vela que enciende hasta 95 horas pesa 14.25 gramos.

Una calculadora gráfica nos da la ecuación de regresión lineal como y un resultado de 14.6 gr.

Práctica

Para los problemas 1-4, dibuja el Diagrama de Dispersión y encuentra a mano una ecuación que se ajuste a los datos.

1. (57, 45); (65, 61); (34, 30); (87, 78); (42, 41); (35, 36); (59, 35); (61, 57); (25, 23); (35, 34)
2. (32, 43); (54, 61); (89, 94); (25, 34); (43, 56); (58, 67); (38, 46); (47, 56); (39, 48)
3. (12, 18); (5, 24); (15, 16); (11, 19); (9, 12); (7, 13); (6, 17); (12, 14)
4. (3, 12); (8, 20); (1, 7); (10, 23); (5, 18); (8, 24); (2, 10)
5. Usa el grafico del problema 1 para predecir los valores de dos valores a tu elección que no estén en el grupo de datos.
6. Usa el grafico del problema 2 para predecir los valores de dos valores a tu elección que no estén en el grupo de datos.
7. Usa la ecuación del problema 3 para predecir los valores de dos valores a tu elección que no estén en el grupo de datos.
8. Usa la ecuación del problema 4 para predecir los valores de dos valores a tu elección que no estén en el grupo de datos.

Para los problemas 9-11, usa una calculadora grafica para hallar la ecuación de la recta que mejor se adapte al grupo de datos.

9. (57, 45); (65, 61); (34, 30); (87, 78); (42, 41); (35, 36); (59, 35); (61, 57); (25, 23); (35, 34)
10. (32, 43); (54, 61); (89, 94); (25, 34); (43, 56); (58, 67); (38, 46); (47, 56); (95, 105); (39, 48)
11. (12, 18); (3, 26); (5, 24); (15, 16); (11, 19); (0, 27); (9, 12); (7, 13); (6, 17); (12, 14)
12. Grafica la recta de ajuste en la cima del diagrama de dispersión del problema 10. Luego, escoge un punto de datos que esté cerca de la recta y cambia su valor para alejarlo mucho de la recta.
    1. Calcula la nueva recta de ajuste con ese punto que cambiaste; escribe la ecuación de esa recta junto con las coordenadas del nuevo punto.
    2. ¿Cuánto cambió la pendiente de la recta de ajuste cuando cambiaste ese punto
13. Grafica el Diagrama de Dispersión del problema 11 y cambia un punto tal como en el problema anterior.
    1. Calcula la nueva recta de ajuste con ese punto que cambiaste; escribe la ecuación de esa recta junto con las coordenadas del nuevo punto.
    2. ¿El cambiar ese punto afectó la pendiente de la recta de ajuste en mayor o menor medida que en problema anterior? ¿Qué puede demostrar este diferencia?
14. Shiva trata de romper un record por comer samosas (empanadas indias). El record actual es de 53.5 samosas en 12 minutos. Él Práctica cada día y la tabla siguiente muestra cuantas samosas come cada día en su primera semana de entrenamiento.

(a) Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra una ecuación que se ajuste a los datos.

(b) Si el concurso ocurriera 2 semanas después de iniciado su entrenamiento, ¿Shiva podría ganar?

(c) ¿Que significan la pendiente y el intercepto en este problema?

15. Anne trata de hallar la elasticidad de una pelota rebotadora de goma. Ella tira la pelota a diferentes alturas y mide la altura máxima de la pelota tras el rebote. La tabla siguiente muestra los datos que recopiló.

(a) Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación.

(b) ¿A qué altura debe tirar la pelota para que rebote 65 cm?

(c) ¿Que significan la pendiente y el intercepto en este problema?

(d) ¿Tiene sentido el intercepto ? ¿Por qué no puede ser (0, 0)?

16. La tabla siguiente muestra el ingreso promedio de una familia de California desde 1995 hasta 2002, como lo reporta el Departamento de Censo de los Estados Unidos.

(a) Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación.

(b) ¿Cuál podría ser el ingreso promedio de una familia Californiana en el año 2010?

(c) ¿Que significan la pendiente y el intercepto en este problema?

(d) La inflación en Estados Unidos se mide por el Índice de Precios al Consumo, el cual se incrementó un 20% entre 1995 y 2002. ¿Se mantuvo El ingreso promedio de las familias de California acorde con la inflación de ese periodo de tiempo? (en otras palabras, ¿se incrementó, al menos, en un 20%?)