Interpolación y Extrapolación Lineales

Aquí aprenderás como usar la interpolación lineal para llenar huecos en la información y la extrapolación lineal para estimar valores fuera del rango de un grupo de datos

Digamos que te dan una tabla de valores que muestra la esperanza de vida promedio de los norteamericanos en cada década a partir desde 1950 hasta el 2010. ¿Cómo podrías usar esos datos para estimar la esperanza de vida promedio en el 2020 o el 2030? Tras completar esta sección, podrás hacer predicciones de modelos lineales como este.

Mira este video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0507S Predicting with Linear Models (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Las cifras de venta de Katja han ido a la baja en un principio, por lo que utilizó una recta de ajuste para describir las cifras. Sin embargo, ahora esas cifras se están disminuyendo más lentamente y se ajustan a la recta de forma menos precisa cada vez. ¿Cómo puede Katja hacer una predicción más precisa de las cifras de venta de la próxima semana?

En la última lección, vimos como hallar la ecuación de un recta de ajuste y como usarla para hacer predicciones. La recta de ajuste es un buen método si la relación entre los valores dependientes e independientes es lineal. En esta sección, aprenderás otros métodos que son útiles, incluso si la relación no es lineal.

Interpolación Lineal

Usamos la interpolación lineal para llenar huecos en nuestros datos, para estimar valores que caen en medio de los valores ya conocidos. Para hacer esto, usamos una recta que conecte los puntos de los datos conocidos en ambos lados del punto desconocido y usamos la ecuación de esa recta para estimar el valor que estamos buscando.

Ejemplo A

La tabla siguiente, realizada por el Departamento de Censo de Estados Unidos, muestra la edad promedio del primero matrimonio que contraen hombres y mujeres.

Año	Edad promedio hombres	Edad promedio mujeres
1890	26.1	22.0
1900	25.9	21.9
1910	25.1	21.6
1920	24.6	21.2
1930	24.3	21.3
1940	24.3	21.5
1950	22.8	20.3
1960	22.8	20.3
1970	23.2	20.8
1980	24.7	22.0
1990	26.1	23.9
2000	26.8	25.1

Estima la edad promedio del primer matrimonio de un hombre en el año 1946.

Solución

Conectamos los dos puntos que rodean el punto de 1946 con una recta y buscamos su ecuación. Así se vería en un diagrama de dispersión:

Hallamos la ecuación al ingresar los dos puntos de los datos:

$m &= \frac{22.8-24.3}{1950-1940}=\frac{-1.5}{10}=-0.15\\\y &= -0.15x+b\\\24.3 &= -0.15(1940)+b\\\b &= 315.3$

Nuestra ecuación es $y=-0.15x+315.3$ .

Para estimar la edad promedio de matrimonio de los hombres en el año 1946, ingresamos $x = 1946$ en la ecuación que hallamos:

$y=-0.15(1946)+315.3=23.4$ años

Para datos no-lineales, lla interpolación lineal no es siempre tan precisa para lo que necesitamos. Si los puntos en el grupo de datos varían en grandes distancias en el intervalo a analizar, entonces la interpolación lineal puede no entregar un buen estimado. En ese caso, podemos reemplazarlo por una interpolación de polinomios, la cual usa una curva en vez de una recta para estimar valores entre puntos. Sin embargo, eso va más allá de lo que esta lección exige.

Extrapolación Lineal

La extrapolación lineal puede ayudarnos a estimar valores que están fuera del rango de nuestro grupo de datos. La estrategia es similar a la interpolación lineal: escogemos los dos puntos de los datos que más cerca estén del punto que buscamos, hallamos la ecuación de la recta que los une y usamos esa ecuación para estimar las coordenadas del punto faltante.

Ejemplo B

La siguiente tabla muestra el record ganador de la carrera femenina de 100 metros. Estima el record ganador en el año 2010. ¿Es esta una buena estimación?

Ganador	País	Año	Tiempo (segundos)
Mary Lines	Gran Bretaña	1922	12.8
Leni Schmidt	Alemania	1925	12.4
Gerturd Glasitsch	Alemania	1927	12.1
Tollien Schuurman	Holanda	1930	12.0
Helen Stephens	E.E.U.U.	1935	11.8
Lulu Mae Hymes	E.E.U.U.	1939	11.5
Fanny Blankers-Koen	Holanda	1943	11.5
Marjorie Jackson	Australia	1952	11.4
Vera Krepkina	Unión Soviética	1958	11.3
Wyomia Tyus	E.E.U.U.	1964	11.2
Barbara Ferrell	E.E.U.U.	1968	11.1
Ellen Strophal	Alemania del Este	1972	11.0
Inge Helten	Alemania del Oeste	1976	11.0
Marlies Gohr	Alemania del Este	1982	10.9
Florence Griffith Joyner	E.E.U.U.	1988	10.5

Solución

Empezamos haciendo un Diagrama de Dispersión de los datos; luego, conectamos los dos últimos puntos del gráfico y hallamos la ecuación de la recta.

$m &= \frac{10.5-10.9}{1988-1982}=\frac{-0.4}{6}=-0.067\\\y &= -0.067x+b\\\10.5 &= -0.067(1988)+b\\\b &= 143.7$

Nuestra ecuación es $y=-0.067x+143.7$ .

El record ganador en el 2010 se estima que será:

$y=-0.067(2010)+143.7= 9.03$ segundos.

Lamentablemente, esta estimación no es tan precisa. Este ejemplo demuestra la debilidad de la extrapolación lineal; solo utiliza un par de puntos, en vez de usar todos todos los puntos como en el método de la recta de ajuste, por lo que no nos da resultados tan precisos que cuando los puntos de los datos siguen un patrón lineal. En este ejemplo en particular, el último punto de los datos claramente no encaja con la tendencia general de los datos, por lo que la pendiente de la recta extrapolada es mucho más inclinada de lo que sería de usar una recta de ajuste. (Como nota histórica, el último punto de los datos corresponde al tiempo record de Florence Griffith Joyner en 1988. Tras terminar la carrera, ella fue acusada de usar drogas para aumentar su rendimiento, pero este hecho nunca fue probado. Además, estaba en discusión que tan precisa fue la medición del tiempo corrido: algunos oficiales dijeron que el viento de cola no fue considerado en esta carrera, a pesar de que todas las otras carreras de ese día se vieron afectadas por vientos fuertes.)

Aquí hay un ejemplo en el que la extrapolación lineal funciona mejor que el método de la recta de ajuste.

Ejemplo C

Se llena un cilindro con agua hasta una altura de 73 centímetros. Se realiza un agujero en el fondo del cilindro para drenar el agua y se mide el nivel del agua cada dos segundos. La tabla siguiente muestra la altura del agua en el cilindro a cada segundo.

Tiempo (segundos)	Nivel del Agua(cm)
0.0	73
2.0	63.9
4.0	55.5
6.0	47.2
8.0	40.0
10.0	33.4
12.0	27.4
14.0	21.9
16.0	17.1
18.0	12.9
20.0	9.4
22.0	6.3
24.0	3.9
26.0	2.0
28.0	0.7
30.0	0.1

a) Encuentra el nivel del agua a los 15 segundos.

b) Encuentra el nivel del agua a los 27 segundos.

c) ¿Cuál sería la altura inicial del agua en el cilindro, si el agua demorara 5 segundos extra en drenarse? (Encuentra la altura del agua a los -5 segundos).

Solución

Así se vería la recta de ajuste para este grupo de datos:

Nótese que los puntos de los datos no hacen una línea recta, por lo que la recta de ajuste no hace tan "buen ajuste". Tan solo un vistazo nos dice que podríamos estimar que el nivel del agua a los 15 segundos sería de 27 cm, lo que es mayor que el nivel del agua a los 14 segundos. ¡Claramente, no tiene sentido! De similar forma, a los 27 segundos podríamos estimar que el cilindro se vaciaría de agua, lo que claramente no es así.

Así que, veamos qué pasa si, en vez de eso, usamos la extrapolación y la interpolación lineal. Primero, veamos las rectas que usaremos para interpolar entre los 14 y los 16 segundos, y entre los 26 y los 28 segundos.

a) La pendiente de la recta entre los puntos (14, 21.9) y (16, 17.1) es $m=\frac{17.1-21.9}{16-14}=\frac{-4.8}{2}=-2.4$ . Por lo tanto, $y=-2.4x+b \Rightarrow 21.9=-2.4(14)+b \Rightarrow b=55.5,$ y la ecuación es $y=-2.4x+55.5$ .

Insertando $x = 15$ nos resulta en $y=-2.4(15)+55.5= 19.5 \ cm$ .

b) La pendiente de la recta entre los puntos (26, 2) y (28, 0.7) es $m=\frac{0.7-2}{28-26}=\frac{-1.3}{2}=-.65$ , Por lo tanto, $y=-.65x+b \Rightarrow 2=-.65(26)+b \Rightarrow b=18.9,$ y la ecuación es $y=-.65x+18.9$ .

Insertando $x = 27$ , nos resulta en $y=-.65(27)+18.9= 1.35 \ cm$ .

c) Finalmente, podemos usar la extrapolación para estimar la altura del agua a los -5 segundos. La pendiente de la recta entre los puntos (0, 73) y (2, 63.9) es $m=\frac{63.9-73}{2-0}=\frac{-9.1}{2}=-4.55$ , , por lo que la ecuación de la recta es $y=-4.55x+73$ .

Insertando $x = -5$ nos resulta en $y=-4.55(-5)+73 = 95.75 \ cm$ .

Para hacer más fácil la interpolación lineal en el futuro, puedes usar la calculadora en la página http://www.ajdesigner.com/phpinterpolation/linear_interpolation_equation.php . P. Ingresa las coordenadas del primer punto conocido de los datos en los espacios $x_1$ e $y_1$ , Luego, ingresa las coordenadas del segundo punto conocido en $x_3$ e $y_3$ ; Después, ingresa la coordenada $x-$ del punto intermedio en el espacio $x_2$ , y la coordenada $y-$ aparecerá abajo tras hacer clic en "Calculate."

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Predicting with Linear Models

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

La recta de ajuste es un buen método si la relación entre los valores dependientes e independientes es lineal. En esta sección, aprenderás otros métodos que son útiles, incluso si la relación no es lineal.

Usamos la interpolación lineal para llenar huecos en nuestros datos, para estimar valores que caen en medio de los valores ya conocidos. Para hacer esto, usamos una recta que conecte los puntos de los datos conocidos en ambos lados del punto desconocido y usamos la ecuación de esa recta para estimar el valor que estamos buscando.

Para datos no-lineales, la interpolación lineal no es siempre tan precisa para lo que necesitamos. Si los puntos en el grupo de datos varían en grandes distancias en el intervalo a analizar, entonces la interpolación lineal puede no entregar un buen estimado. En ese caso, podemos reemplazarlo por una interpolación de polinomios, la cual usa una curva en vez de una recta para estimar valores entre puntos. Sin embargo, eso va más allá de lo que esta lección exige.

La extrapolación lineal puede ayudarnos a estimar valores que están fuera del rango de nuestro grupo de datos. La estrategia es similar a la interpolación lineal: escogemos los dos puntos de los datos que más cerca estén del punto que buscamos, hallamos la ecuación de la recta que los une y usamos esa ecuación para estimar las coordenadas del punto faltante.

Práctica Guiada

El Centro para el Control de Enfermedades recopila información sobre la salud de los norteamericanos y los comportamientos que conllevan problemas de salud. La siguiente tabla muestra el porcentaje de mujeres que fuman durante el embarazo.

Año	Porcentaje de fumadoras embarazadas
1990	18.4
1991	17.7
1992	16.9
1993	15.8
1994	14.6
1995	13.9
1996	13.6
2000	12.2
2002	11.4
2003	10.4
2004	10.2

Estima el porcentaje de mujeres embarazadas que fumaban en el año 1998.

Solución

Conectamos los dos puntos de ambos lados del punto 1998 con una recta y hallamos su ecuación. Así se ve en un diagrama de dispersión:

Encontramos la ecuación al ingresar los dos puntos de los datos:

$m &= \frac{12.2-13.6}{2000-1996}=\frac{-1.4}{4}=-0.35\\\y &= -0.35x+b\\\12.2 &= -0.35(2000)+b\\\b &= 712.2$

Nuestra ecuación es $y=-0.35x+712.2$ .

Para estimar el porcentaje de mujeres embarazadas que fumaban en el año 1998, introducimos $x = 1998$ en la ecuación que encontramos:

$y=-0.35(1998)+712.2=12.9\%$

Práctica

Usa los datos del Ejemplo 1 ( Edad promedio del primer matrimonio ) para estimar la edad de matrimonio de las mujeres en 1946. Haz una recta de ajuste, a mano, para los datos antes de 1970.
Usa los datos del Ejemplo 1 ( Edad promedio del primer matrimonio ) para estimar la edad de matrimonio de las mujeres en 1984. Haz una recta de ajuste, a mano, para los datos desde 1970 en adelante para estimar con mayor precisión.
Usa los datos del Ejemplo 1 ( Edad promedio del primer matrimonio ) para estimar la edad de matrimonio de los hombres en 1995. Usa interpolación lineal en los puntos de los datos entre 1990 y 2000.
Usa los datos del Ejemplo 2 ( Embarazadas fumadoras ) para estimar el porcentaje de fumadoras embarazadas en 1997. Usa interpolación lineal en los puntos de los datos entre 1996 y 2000.
Usa los datos del Ejemplo 2 ( Embarazadas fumadoras ) para estimar el porcentaje de fumadoras embarazadas en 2006. Usa interpolación lineal en los dos últimos puntos de los datos.
Usa los datos del Ejemplo 3 ( Record de Carreras ) tpara estimar el tiempo record de la carrera femenina de 100 metros en 1920. Usa la extrapolación lineal, porque los primeros dos o tres puntos de los datos tienen una pendiente distinta al resto de los datos.
La tabla siguiente muestra la temperatura más alta vs. las horas de luz de sol en la quincena de cada mes (día $15^{th}$ ) en el año 2006 en San Diego, California.

Horas de luz de sol	Temperatura más alta (F)
10.25	60
11.0	62
12	62
13	66
13.8	68
14.3	73
14	86
13.4	75
12.4	71
11.4	66
10.5	73
10	61

(a) ¿Hay otra forma mejor de organizar esta tabla si quisieras facilitar el análisis de la relación entre las horas de luz de sol y la temperatura?

(b) Estima la temperatura más alta de un día con 13,2 horas de luz de sol usando interpolación lineal.

(c) Estima la temperatura más alta de un día con 9 horas de luz de sol usando interpolación lineal. ¿Es precisa tu predicción?

(d) Estima la temperatura más alta de un día con 9 horas de luz de sol usando una recta de ajuste.

La tabla siguiente muestra la esperanza de vida esperada basada en el año de nacimiento (Departamento de Censo de USA). Úsala para responder las preguntas 8-15.

Año de nacimiento	Esperanza de vida en años
1930	59.7
1940	62.9
1950	68.2
1960	69.7
1970	70.8
1980	73.7
1990	75.4
2000	77

Haz un diagrama de dispersión de los datos.
Usa una recta de ajuste para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 1955.
Usa la interpolación lineal para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 1955.
Usa una recta de ajuste para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 1976.
Usa la interpolación lineal para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 1976.
Usa una recta de ajuste para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 2012.
Usa la interpolación lineal para estimar la esperanza de vida de una persona nacida en 2012.
¿Qué método da mejores estimaciones en este grupo de datos? ¿Porque?

La tabla siguiente muestra la temperatura más alta del primer día del mes del año 2006 en San Diego, California (Fuente: Weather Underground). Úsala para responder las preguntas 16-21.

Número de mes	Temperatura (F)
1	63
2	66
3	61
4	64
5	71
6	78
7	88
8	78
9	81
10	75
11	68
12	69

Haz un diagrama de dispersión de los datos.
Usa una recta de ajuste para estimar la temperatura a mediados del $4^{th}$ mes (mes 4,5).
Usa la interpolación lineal para estimar la temperatura a mediados del $4^{th}$ mes (mes 4,5).
Usa una recta de ajuste para estimar la temperatura del mes 13 (Enero del 2007).
Usa la interpolación lineal para estimar la temperatura del mes 13 (Enero del 2007).
¿Qué método da mejores estimaciones en este grupo de datos? ¿Porque?
22. Nombra una situación cotidiana donde debes hace predicciones en base a los datos disponibles. ¿Es mejor usar en esta situación la extrapolación/interpolación lineal o el método de la recta de ajuste? ¿Porque?

Recursos Instrumentales de Texas

IEn el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo. Véase http://www.ck12.org/flexr/chapter/9615 .

Interpolación y Extrapolación Lineales

Mira este video

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Recursos Instrumentales de Texas

Licencia