Inecuaciones en la Vida Real

Aquí aprenderás como expresar las soluciones de una inecuación de cuatro formas diferentes. También aprenderás como identificar la cantidad de soluciones posibles para una inecuación y resolverás problemas cotidianos usando inecuaciones.

Digamos que has resuelto una inecuación y la solución es $x > -3$ ¿De qué otra forma podrías expresar esta solución? Tras completar esta sección, podrás expresar la solución de una inecuación como notación de inecuación, notación de conjunto, notación de intervalo, y como un gráfico de solución.

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CK-12 Foundation: 0604S Using Inequalities (H264)

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Orientación

La Srta. Jerome quiere comprar cajas idénticas con artículos de arte para sus 25 estudiantes. Si ella no puede gastar más de $375 en artículos de arte, ¿qué inecuación describe el precio que ella puede permitirse para cada caja de artículos individual?

Expresar Soluciones de una Inecuación

La solución de una inecuación puede expresarse de cuatro formas diferentes:

Notación de Inecuación The answer is simply expressed as $x < 15$ .
Notación de Conjunto La respuesta se expresa como un conjunto: $\{x|x < 15 \}$ . Los corchetes indican un intervalo y la línea vertical significa "tal que," por lo que leemos esta expresión como "el conjunto de todo valor de $x$ tal que $x$ es un número real menor que 15".
Notación de Intervalo Se usan corchetes para indicar el rango de valores en la solución. Por ejemplo, la respuesta a nuestro problema podría expresarse como , lo que significa "el intervalo que contiene todos los números entre y 15, sin que se incluyan ni él ni el 15".
1. Los corchetes cuadrados o cerrados "[" y "]" indican que el número al lado del corchete se incluye en el grupo solución.
2. Round or redondos o abiertos "(" y ")"indican que el número al lado del corchete no se incluye en el grupo solución. Cuando usamos el infinito and infinito negativo ( $\infty$ y $-\infty$ ), siempre usamos estos corchetes pues el infinito no es un número en sí y, por ello, no puede ser incluido en un intervalo.
4. Gráfico de Solución La solución se muestra en una recta numérica con números reales. Un círculo completo en un número indica que ese número se incluye en el conjunto solución, mientras que un círculo vacío indica que el número no se incluye en el conjunto. Para nuestro ejemplo, el gráfico solución es:

Ejemplo A

a) [-4, 6] significa que la solución son todos los números entre -4 y 6 incluyendo -4 y 6.

b) (8, 24) significa que la solución son todos los números entre 8 y 24 sin incluir los números 8 y 24.

c) [3, 12) significa que la solución son todos los números entre 3 y 12, incluyendo 3, pero sin incluir 12.

d) $(-10, \infty)$ significa que la solución son todos los números mayores que -10, sin incluir -10.

e) $(-\infty,\infty)$ significa que la solución son todos los números reales.

Identifica la Cantidad de Soluciones de una Inecuación

Las inecuaciones pueden tener:

Un conjunto con un número infinito de soluciones.
Un conjunto con un número finito de soluciones.
Ninguna solución.

Hasta ahora, las inecuaciones que hemos resuelto tienen, al menos en teoría, un número infinito de soluciones. Por ejemplo, la inecuación $\frac{5x-1}{4} > -2(x+5)$ tiene la solución $x>-3$ . Esta solución nos dice que todos los números reales mayores que -3 hacen que esta inecuación sea correcta, por lo que hay una cantidad infinita de esos números.

Sin embargo, en la vida real, a veces tratamos de resolver un problema que solo puede tener respuestas con enteros positivos, pues las respuestas describen cantidades de objetos limitados.

Por ejemplo, supongamos que tratas de hallar cuantos CD de $8 puedes comprar si quieres gastar menos de $50. Una inecuación para describir esta situación podría ser $8x<50$ , y, si resolvieras esa inecuación, obtendrías $x < \frac{50}{8}$ , o $x < 6.25$ .

Sin embargo, ¿cómo podrías comprar algún CD, siempre en cuando que compres como máximo 6.25 CD? No; no podrías, en verdad, comprar 6.1 CD, o -5 CD, o cualquier cantidad fraccionaria o negativa de CD. Por tanto, si quisiéramos expresar nuestra solución en notación de conjunto, no podríamos expresarla como el conjunto de todos los números menores que 6.25, o $\{x|x<6.25\}$ . En vez de eso, la solución es tan solo el conjunto que contiene todos los números enteros no negativos menores que 6.25, o {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cuando resolvemos un problema de la vida real que involucra objetos de cantidad limitada, como unos CD, nuestro conjunto solución, a menudo, estará compuesto de un conjunto finito de números en vez de un intervalo infinito.

Además, una inecuación puede no tener solución alguna. Por ejemplo, consideremos la inecuación $x-5>x+6$ . Si restamos $x$ fen ambos lados, obtenemos $-5>6$ , lo cual no es correcto para ningún valor de $x$ . Entonces, decimos que esta inecuación no tiene solución.

También puede darse el caso opuesto. Si invertimos el signo de desigualdad en la inecuación anterior, obtenemos $x-5 < x+6$ , que se simplifica en $-5<6$ . Tal resultado es siempre correcto, sin importar que valor tenga $x$ por lo que la solución a esa inecuación serían todos los números reales, o $(-\infty,\infty)$ .

Resolver Problemas Cotidianos Usando Inecuaciones

Resolver problemas cotidianos que involucren inecuaciones es muy similar a resolver problemas que involucren ecuaciones.

Ejemplo B

Para poder obtener este mes un bono extra en su pago, León debe vender, al menos, 120 suscripciones al periódico. Vendió 85 suscripciones las primeras tres semanas del mes. ¿Cuantas suscripciones debe vender León en la última semana del mes?

Solución

Definamos $x =$ la cantidad de suscripciones que León vende en la última semana del mes. La cantidad de suscripciones del mes debe ser superior a 120, por lo que escribimos $85+x \ge 120$ . Resolvemos la inecuación restando 85 de ambos lados: $x \ge 35$ .

León debe vender 35 suscripciones o más en la última semana para obtener su bono extra.

Para verificar la respuesta, vemos que $85 + 35 = 120$ . Si vende 35 suscripciones o más, la cantidad total de suscripciones que vende ese mes, sería de 120 o más. La respuesta es correcta. .

Ejemplo C

La tropa Scout de Virena intenta recaudar, al menos, $650 esta primavera. ¿Cuantas cajas de galletas deben vender, a $4.50 la caja, para poder alcanzar su objetivo?

Solución

Definamos $x =$ la cantidad de cajas vendidas. Luego, la inecuación que describe este problema es $4.50x \ge 650$ .

Resolvemos la inecuación al dividir 4.50 en ambos lados: $x \ge 144.44$ .

Redondeamos la respuesta a 145, pues solo pueden venderse cajas enteras.

La tropa de Virena debe vender, al menos, 145 cajas.

Si multiplicamos 145 por $4.50, obtenemos $652.50, por lo que si la tropa de Virena vende más de 145 cajas, ganarón más de $650. Sin embargo si venden 144 cajas, solo ganarón $648, lo cual no es suficiente. Por tanto, efectivamente deben vender al menos 145 cajas. La respuesta es correcta. .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Las inecuaciones pueden tener soluciones infinitas, ninguna solución o soluciones finitas.
" Hay cuatro formas de representar una inecuación: notación de inecuación, notación de conjunto, notación de intervalo, y gráfico de solución.

Practica Guiada

El ancho de un rectángulo es 20 pulgadas. ¿Cuál debe ser el largo si el perímetro mide, al menos, 180 pulgadas?

Solución

Definamos $x =$ largo del rectángulo. La fórmula para el perímetro es

$\text{Perimeter} = 2 \times \text{length} + 2 \times \text{width}$

Ya que el perímetro debe medir, al menos, 180 pulgadas, tenemos $2x+2(20) \ge 180$ .

Simplifica: $2x+40 \ge 180$

Resta 40 de ambos lados: $2x \ge 140$

Divide 2 por ambos lados: $x \ge 70$

El largo debe medir, al menos, 70 pulgadas.

Si el largo es de, al menos, 70 pulgadas y el ancho es de 20 pulgadas, entonces el perímetro es, al menos $2(70) + 2(20) = 180 \ inches$ . La respuesta es correcta. .

Práctica

Resuelve cada inecuación. Muestra la solución en notación de inecuación y notación de intervalo.

$x+15 < 12$
$x-4 \ge 13$
$9x > -\frac{3}{4}$
$-\frac{x}{15} \le 5$
$620x > 2400$
$\frac{x}{20} \ge -\frac{7}{40}$
$\frac{3x}{5} > \frac{3}{5}$
$x+3 > x-2$

Resuelve cada inecuación. Muestra la solución en notación de inecuación y notación de conjunto.

$x+17<3$
$x-12 \ge 80$
$-0.5x \le 7.5$
$75x \ge 125$
$\frac{x}{-3} > -\frac{10}{9}$
$\frac{x}{-15} < 8$
$\frac{x}{4} > \frac{5}{4}$
$3x-7 \ge 3(x-7)$

Resuelve las siguientes inecuación, presenta la solución en notación de conjunto y muestra el gráfico solución.

$4x+3< -1$
$2x<7x-36$
$5x>8x+27$
$5-x<9+x$
$4-6x\le 2(2x+3)$
$5(4x+3)\ge 9(x-2)-x$
$2(2x-1)+3<5(x+3)-2x$
$8x-5(4x+1) \ge -1+2(4x-3)$
$9. \ 2(7x-2)-3(x+2)<4x-(3x+4)$
$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}(4x-1) \ge x+2(x-3)$
27. En el Zoológico de San Diego, puedes pagar $22,75 por la entrada o $71 por un pase anual que te da la entrada liberada por un año.
1. ¿Cuantas veces máximo puedes entrar al zoológico pagando la entrada de $22,75 antes de gastar más que el costo de una membresía anual?
2. ¿Las soluciones de esta inecuación son infinitas o finitas?
28. Los puntajes de Proteek en cuatro exámenes fueron 82, 95, 86, y 88. ¿Qué puntaje debe sacar en su quinto y último examen para promediar un mínimo de 90 al término del semestre?

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