Inecuaciones Compuestas

Aquí aprenderás a escribir inecuaciones con más de una restricción en los posibles valores que puede tener la solución. También aprenderás a graficar tales inecuaciones en una recta numérica.

Digamos que tienes una inecuación con más de un símbolo de desigualdad, como $-4 < x < 5$ o $x > -2$ o $x < -7$ ¿Cómo podrías graficar tales inecuaciones? Tras completar esta sección, podrás graficar inecuaciones compuestas como esas en una recta numérica.

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CK-12 Foundation: 0605S Graphs of Compound Inequalities (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En esta sección, resolveremos inecuaciones compuestas-inecuaciones con más de una restricción en los posibles valores que puede tener una solución.

Hay dos tipos de inecuaciones compuestas:

1. Las inecuaciones unidas por la palabra “y,” donde la solución es un conjunto de valores mayores que cierto número y menores que otro número. Podemos escribir tales inecuaciones en la forma “ $x>a$ y $x<b$ ,” pero generalmente escribimos “ $a<x<b$ .” Los posibles valores de $x$ son aquellos que hacen que las las dos inecuaciones sean correctas.
2. Las inecuaciones unidas por la palabra “o,” donde la solución es un conjunto de valores mayores que cierto número o menores que otro número. Escribimos tales inecuaciones en la forma “ $x>a$ o $x<b$ .” Los posibles valores de $x$ son aquellos que hacen que, al menos una de las inecuaciones sea correcta.

Quizá te preguntes porque la variable $x$ debe ser mayor que un número y/o menor que el otro número; ¿porque no puede ser mayor o menor que ambos números? Para ver porque, analicemos un ejemplo.

Consideremos la inecuación compuesta “ $x>5$ y $x>3$ .” ¿Hay algún número mayor que 5 que no sea mayor que 3? ¡No! Ya que 5 es mayor que 3, todo lo que sea superior a 5 también es mayor que 3. Si decimos que $x$ es superior tanto a 5 como a 3, no nos da más información que solo decir que $x$ es mayor que 5. Por tanto, esta inecuación compuesta no es, de hecho, compuesta; es equivalente a la inecuación simple $x > 5$ . Esto seguiría sucediendo aun si usáramos otros números; decir que $x$ es mayor a ambos números es lo mismo que decir que es mayor que el número más alto. A su vez, decir que $x$ es menos que ambos números es lo mismo que decir que $x$ es menos que el número más bajo.

Las inecuaciones compuestas con "o" funcionan de forma similar. Todo número que sea mayor que 3 o mayor que 5 también es, sencillamente, mayor que 3 y cada número que sea mayor que 3 es, certeramente mayor que 3 o mayor que 5-por tanto, si decimos que “ $x>5$ o $x>3$ ,” es lo mismo que solo decir “ $x>3$ .” Decir que $x$ es mayor a, al menos, uno de los dos números es lo mismo que decir que $x$ es mayor que el número menor y decir que $x$ es menor que, al menos, uno de los dos números es lo mismo que decir que $x$ es menor que el número mayor.

Escribir y Graficar Inecuaciones compuestas en una Recta Numérica

Ejemplo A

Escribe las inecuaciones representadas por las siguientes rectas numéricas.

Solución

a) El grafico solución muestra que la solución es cualquier valor entre -40 y 60, incluyendo el -40, pero excluyendo el 60.

Cualquier valor en el grupo solución satisface a las inecuaciones $x \ge -40$ y $x<60$ .

Normalmente, esto se escribe como $-40 \le x < 60$ .

b) El grafico solución muestra que la solución es cualquier valor mayor a 1 (sin incluir el 1) o cualquier valor menor a -2 (sin incluir el -2). Puedes ver que no hay valores que puedan satisfacer ambas condiciones al mismo tiempo. Escribimos: $x>1$ o $x < -2$ .

c) El grafico solución muestra que la solución es cualquier valor mayor que 4 (incluyendo el 4) o cualquier valor menor que -1 (incluyendo el - 1). Escribimos: $x \ge 4$ o $x \le -1$ .

Ejemplo B

Grafica las siguientes inecuaciones compuestas en una recta numérica.

a) $-4 \le x \le 6$

b) $x < 0$ o $x > 2$

c) $x \ge -8$ o $x \le -20$

Solución

a) La solución son todos los número entre -4 y 6, incluyendo el -4 y el 6.

b) La solución son todos los números menores que 0 o mayores que 2, sin incluir el 0 o el 2.

c) La solución son todos los números mayores o iguales a -8 o menores o iguales a -20.

Resolver Inecuaciones Compuestas Usando una Calculadora Gráfica (clase TI-83/84)

Las calculadoras graficas pueden mostrarte la solución a una inecuación de forma gráfica. Esto puede resultarte muy útil a la hora de resolver inecuaciones compuestas.

Ejemplo C

Resuelve las siguientes inecuaciones usando una calculadora gráfica.

a) $5x+2(x-3) \ge 2$

b) $7x-2 < 10x+1 < 9x+5$

c) $3x+2 \le 10$ o $3x+2 \ge 15$

Solución

a) Pulsa el botón [Y=] e ingresa la inecuación en la primera línea de la pantalla.

(Para usar el símbolo $\ge$ ,pulsa [TEST] [2nd] [MATH] y elige la opción 4 4.)

Luego, pulsa el botón [GRAPH] .

Ya que la calculadora usa el 1 para representar "verdadero" y el 0 para representar "falso", verás una función escalonada con el valor de $y-$ variando de 0 a 1.

El conjunto solución son los valores de $x$ por lo que la gráfica muestra $y=1$ —en otras palabras, el conjunto de valores de $x-$ que hacen que la inecuación sea correcta.

Nota: Para ajustar la ventana para ver el grafico completo, presiona la tecla [WINDOW] o la tecla [ZOOM] para ajustar la ventana y ver el gráfico completo

La solución es $x>\frac{8}{7}$ , lo cual explica porque ves que el valor de $y-$ cambia de 0 a 1 cerca del punto 1.14.

b) Esta es una inecuación compuesta: $7x-2 < 10x +1$ y $10x+1 < 9x+5$ . Ingrésalo de esta forma:

(Para encontrar el símbolo [AND] pulsa [TEST] , escoge [LOGIC] en la primera fila y elige la opción 1.)

El gráfico resultante debiera parecerse a este:

La solución son los valores de $x$ para los que $y=1$ ;en este caso sería $-1<x<4$ .

c) Esta es otra inecuación compuesta.

(Para ingresar el símbolo [OR] ,pulsa [TEST] , escoge [LOGIC] en la primera fila y elige la opción 2.)

El gráfico resultante debiera parecerse a este:

La solución son los valores de $x$ para los que $y=1$ --en este caso sería, $x \le 2.7$ o $x \ge 4.3$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphs of Compound Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Las Inecuaciones Compuestas combinan dos o más inecuaciones con las conjunciones “y” u “o.”
Las combinaciones con “Y” significan que solo las soluciones que apliquen a both inecuaciones serán válidas para la inecuación compuesta.
Las combinaciones con “O” significan que las soluciones que apliquen a either inecuación serán válidas para la inecuación compuesta.

Practica Guiada

1. Escribe la inecuación representada en la siguiente recta numérica.

2. Grafica la siguiente inecuación compuesta en una recta numérica.

$-15 < x \le 85$

Solución

1. . El grafico solución muestra que la solución es cualquier valor que sea tanto menor que 25 (sin incluir el 25) como mayor que -25 (sin incluir el -25). Cualquier valor dentro del conjunto solución satisface la inecuación $x >-25$ la inecuación y $x < 25.$

Normalmente se escribe como $-25 < x < 25.$

2. La solución son todos los números entre -15 y 85, sin incluir el -15, pero incluyendo el 85.

Práctica

Escribe las inecuaciones compuestas representadas por los siguientes gráficos.

Grafica las siguientes inecuaciones compuestas en una recta numérica.

$-2 \le x \le 20$
$x < 7$ o $x > 25$
$x \ge -100$ o $x \le -50$
$-1 < x < 200$
$2000 < x \le 2001$
$x \le 1.56$ o $x > 1.78$
$x > 0.0005$ o $x \le -0.03$

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