Solucionar Inecuaciones Compuestas

Aquí aprenderás a separar inecuaciones compuestas con la conjunción "y" y la conjunción "o" para luego resolverlas por separado. También aprenderás a combinar tus respuestas en una sola solución y graficar el conjunto solución.

Digamos que tienes una inecuación compuesta como $0 \le 2x + 6 \le 6$ ¿Cómo podrías resolverla y graficar su conjunto solución? Tras completar esta sección, podrás graficar el conjunto solución de inecuaciones compuestas como ésta en una recta numérica.

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CK-12 Foundation: 0606S Solving Compound Inequalities (H264)

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Orientación

Cuando resolvemos inecuaciones compuestas, separamos las inecuaciones y resolvemos cada una por separado. Luego, combinamos las soluciones al final.

Ejemplo A

Resuelve las siguientes inecuaciones compuestas y grafica el conjunto solución.

a) $-2 < 4x-5 \le 11$

b) $3x-5 < x + 9 \le 5x+13$

Solución

a) Primero, re-escribimos la inecuación compuesta como dos inecuaciones individuales unidas por Y . Luego, resolvemos cada inecuación por separado.

$& -2 < 4x-5 \qquad \qquad 4x-5 \le 11\\\& \quad 3<4x \qquad \quad and \qquad \quad 4x \le 16\\\& \quad \frac{3}{4} < x \qquad \qquad \qquad \qquad \ x \le 4$

Respuesta: $\frac{3}{4}<x$ y $x \le 4$ . Esto puede escribirse como $\frac{3}{4}< x \le 4$ .

b) Re-escribimos la inecuación compuesta como dos inecuaciones individuales unidas por y . Luego, resolvemos cada inecuación por separado.

$& 3x-5<x+9 \qquad \quad \ \ x+9 \le 5x+13\\\& \quad \ \ 2x<14 \qquad and \qquad -4 \le 4x\\\& \qquad x < 7 \qquad \qquad \qquad \ -1 \le x$

Respuesta: $x < 7$ y $x \ge -1$ . Esto puede escribirse como: $-1 \le x < 7$ .

Ejemplo B

Resuelve las siguientes inecuaciones compuestas y grafica el conjunto solución.

a) $9-2x \le 3$ o $3x+10 \le 6-x$

b) $\frac{x-2}{6} \le 2x-4$ o $\frac{x-2}{6} > x+5$

Solución

a) Resuelve cada inecuación por separado:

$& 9-2x \le 3 \qquad \qquad 3x+10 \le 6-x\\\& \ -2x \le -6 \qquad or \qquad \ \ 4x \le -4\\\& \qquad x \ge 3 \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \le -1$

Respuesta: $x \ge 3$ o $x \le -1$

b) Resuelve cada inecuación por separado:

$& \frac{x-2}{6} \le 2x-4 \qquad \qquad \quad \frac{x-2}{6} > x+5\\\& x-2 \le 6(2x-4) \qquad \qquad x-2 > 6(x+5)\\\& x-2 \le 12x-24 \qquad or \quad \ x-2 > 6x+30\\\& \quad \ 22 \le 11x \qquad \qquad \qquad \ -32 > 5x\\\& \quad \ \ \ 2 \le x \qquad \qquad \qquad \quad -6.4 > x$

Respuesta: $x \ge 2$ o $x < -6.4$

Si viste el video de esta sección, una cosa que pudiste notar es que, en el segundo problema, las dos soluciones se unían con el conector "o", por lo que la solución termina siendo el conjunto de todos los números reales, o $(-\infty,\infty)$ . Esto pasa a veces con las inecuaciones compuestas que involucran el conector "o"; por ejemplo, si la solución a una inecuación fuera “ $x<5$ o $x>1$ ,” el conjunto solución serían todos los números reales. Si lo pensamos bien, tiene sentido: todos los números reales pueden ser a) menores que 5, o ser b) mayores o igual a 5, y aquellos que son mayores o igual a 5 también son mayores que 1-por lo que todos los números reales pueden ser a) menores que 5 o b) mayores que 1.

Al mismo tiempo, las inecuaciones compuestas con "y" pueden no tener solución alguna. Por ejemplo, la inecuación “ $x<3$ y $x>4$ ”no tiene solución: no hay un número que sea mayor a 4 y menor a 3 al mismo tiempo. Si lo escribimos como $4<x<3$ es aún más obvio que no tiene solución; $4<x<3$ implica que $4 < 3$ , lo cual es falso.

Resolver Problemas Cotidianos Usando Inecuaciones Compuestas

Muchos problemas cotidianos exigen el uso de inecuaciones compuestas para hallar la solución.

Ejemplo C

La velocidad de una pelota de golf se determina por la formula $v=-32t+80$ . ¿En qué momento la pelota viaja entre 20 pies/seg y 30 pies/seg?

Solución

Primero, establecemos la inecuación $20 \le v \le 30$ ,y, luego, reemplaza $v$ con la fórmula $v=-32t+80$ para obtener $20 \le -32t+80 \le 30$ .

Después, separamos la inecuación compuesta y resolvemos cada inecuación por separado:

$& \ 20 \le -32t+80 \qquad \quad \ \ \ -32t + 80 \le 30\\\& 32t \le 60 \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad \quad \ 50 \le 32t\\\& \quad t \le 1.875 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 1.56 \le t$

Respuesta: $1.56 \le t \le 1.875$

Para verificar la respuesta, ingresamos los valores mínimos y máximos de . $t$ en la fórmula de la velocidad

Para $t = 1.56, \ v=-32t+80 = -32(1.56)+80=30 \ ft/sec$

Para $t = 1.875, \ v=-32t+80= -32(1.875)+80= 20 \ ft/sec$

Por tanto, la velocidad está entre 20 y 30 pies/seg La respuesta es correcta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Solving Compound Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Las Inecuaciones Compuestas combinan dos o más inecuaciones con las conjunciones “y” u “o.”
Las combinaciones con “Y” significan que solo las soluciones que apliquen a ambas inecuaciones serán válidas para la inecuación compuesta.
Las combinaciones con “O” significan que las soluciones que apliquen a cualquier inecuación serán válidas para la inecuación compuesta.

Practica Guiada

La camioneta pick-up de William puede correr entre 18 a 22 millas por galón de gasolina. Su tanque de gasolina puede almacenar hasta 15 galones de gasolina. Si maneja a una velocidad promedio de 40 millas por hora, ¿cuánto tiempo puede conducir con el tanque de gasolina lleno?

Solución

Definamos $t =$ tiempo de conducción. Podemos hacer un análisis dimensional para vincular el tiempo por tanque de gasolina con las millas por galón:

$\frac{t \ hours}{1 \ tank} \times \frac{1 \ tank}{15 \ gallons} \times \frac{40 \ miles}{1 \ hour} \times \frac{40t}{15} \frac{miles}{gallon}$

Ya que la camioneta puede ir entre 18 y 22 millas/galón, definimos la inecuación compuesta $18 \le \frac{40t}{15} \le 22$ . Luego, separamos la inecuación compuesta y resolvemos cada inecuación por separado:

$& \ \ 18 \le \frac{40t}{15} \qquad \qquad \quad \ \frac{40t}{15} \le 22\\\& \ 270 \le 40t \qquad \text{and} \qquad 40t \le 330\\\& 6.75 \le t \qquad \qquad \qquad \quad \ \ t \le 8.25$

Respuesta: $6.75 \le t \le 8.25$ .

Wiliam puede conducir entre 6.75 y 8.25 horas con el tanque lleno.

Si ingresamos $t = 6.75$ obtenemos $\frac{40t}{15} = \frac{40(6.75)}{15} = 18 \ miles \ per \ gallon$ .

Si ingresamos $t = 8.25$ obtenemos $\frac{40t}{15} = \frac{40(8.25)}{15} = 22 \ miles \ per \ gallon$ .

La respuesta es correcta.

Práctica

Resuelve las siguientes inecuaciones compuestas y grafica el conjunto solución en una recta numérica.

$-5 \le x-4 \le 13$
$1 \le 3x +5 \le 4$
$-12 \le 2-5x \le 7$
$\frac{3}{4} \le 2x+9 \le \frac{3}{2}$
$-2 \le \frac{2x-1}{3} < -1$
$4x-1 \ge 7$ o $\frac{9x}{2} < 3$
$3-x < -4$ o $3-x > 10$
$\frac{2x+3}{4} < 2$ o $-\frac{x}{5} + 3 < \frac{2}{5}$
$2x-7 \le -3$ o $2x-3 > 11$
$4x+3< 9$ o $-5x+4 \le -12$
¿Cómo podrías expresar la respuesta del problema 1 como un conjunto?
¿Cómo podrías expresar la respuesta del problema 1 como un intervalo?
¿Cómo podrías expresar la respuesta del problema 6 como un conjunto?
1. ¿Podrías expresar la respuesta del problema 6 como un solo intervalo? ¿Porque o porque no?
2. ¿Cómo podrías expresar la primera parte de la solución en forma de intervalo?
3. ¿Cómo podrías expresar la segunda parte de la solución en forma de intervalo?
Expresa la respuesta a los problemas del 2 al 5 en notación de intervalo.
Resuelve la inecuación “ $x \ge -3$ o $x < 1$ ” y expresa la respuesta en notación de intervalo.
¿Cuantas soluciones tiene la inecuación “ $x \ge 2$ y $x \le 2$ ” ?
Para poder tener una nota B en su clase de Algebra, Stacey debe tener un promedio mayor o igual a 80 y menor a 90. Ella obtuvo en sus tres primeras pruebas, respectivamente, las notas 92, 78, y 85.
1. ¿Entre que valores debe estar la nota de su último examen si ella quiere obtener una nota B en la clase? (Asumiendo que las 4 pruebas tienen el mismo peso en el promedio.)
2. Si una nota C exige un puntaje promedio mayor o igual a 70 y menor que 80, ¿Que rango de puntajes en la prueba final le darían una nota promedio de C?
3. Si una nota A exige un puntaje de, al menos 90 y el máximo puntaje en un solo examen es de 100, ¿Es posible para ella obtener una A en esta clase? (Pista: mira nuevamente tu respuesta de la parte A.)

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