Valor Absoluto

Aquí aprenderás a encontrar la distancia entre dos valores en una recta numérica y a resolver ecuaciones que incluyen valores absolutos.

Digamos que te dan dos puntos como -8 y 12. ¿Cómo podrías encontrar la distancia entre ellos en una recta numérica? Tras completar esta sección, podrás usar las propiedades del valor absoluto para resolver problemas como este.

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CK-12 Foundation: 0607S Absolute Value Equations (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Timmy está probando sus nuevos patines. Aún no se le permite cruzar la calle solo, por lo que patina en frente de su casa. Si él patina 20 yardas al este y, luego, 10 yardas al oeste, ¿qué tan lejos queda desde donde empezó? ¿Qué tan lejos quedaría si patina 20 yardas al oeste y, luego, 10 yardas al este?

El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en una recta numérica. Siempre hay dos números en la recta numérica que tienen la misma distancia desde el cero. Por ejemplo, los números 4 y -4 tienen ambos una distancia de 4 unidades a partir del cero.

$|4|$ representa la distancia entre 4 y cero, lo que es igual a 4.

$|-4|$ representa la distancia entre -4 y cero, lo que también es igual a 4.

De hecho, para cualquier número real $x$ :

$|x| = x$ si $x$ no es negativo, y $|x| = -x$ si $x$ es negativo.

El valor absoluto no tiene efecto en un número positivo, pero cambia un número negativo a su opuesto positivo.

Ejemplo A

Calcula los siguientes valores absolutos.

a) $|25|$

b) $|-120|$

c) $|-3|$

d) $|55|$

e) $\left | - \frac{5}{4} \right |$

Solución

a) $|25|= 25$ Ya que 25 es un número positivo, el valor absoluto no cambia su signo.

b) $|-120| = 120$ Ya que -120 es un número negativo, el valor absoluto cambia su signo a positivo.

c) $|-3| = 3$ Ya que -3 es un número negativo, el valor absoluto cambia su signo a positivo.

d) $|55| = 55$ Ya que 55 es un número positivo, el valor absoluto no cambia su signo.

e) $\left | -\frac{5}{4} \right | =\frac{5}{4}$ Ya que $-\frac{5}{4}$ es un número negativo, el valor absoluto cambia su signo a positivo.

El valor absoluto es muy útil para encontrar la distancia entre dos puntos de la recta numérica. La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ cualesquiera en la recta numérica es $|a - b|$ o $|b - a|$ .

Por ejemplo, la distancia entre 3 y -1 en la recta numérica es $|3 - (-1)| = |4| = 4$ .

También podemos encontrar la distancia al restar en el orden opuesto: $|-1 - 3| = |-4| = 4$ . TEsto tiene sentido, pues la distancia es la misma sin importar si vamos desde 3 al -1 o desde -1 al 3.

Ejemplo B

Encuentra la distancia entre los siguientes puntos en la recta numérica.

a) 6 y 15

b) -5 y 8

c) -3 y -12

Solución

La distancia es el valor absoluto de la diferencia entre los dos puntos.

a) $\text{distance} = |6 - 15| = |-9| = 9$

b) $\text{distance} = |-5 - 8| = |-13| = 13$

c) $\text{distance} = |-3 - (-12)| = |9| = 9$

Recuerda: Cuando calculamos el cambio en $x$ y el cambio en $y$ como parte del cálculo de la pendiente, tales valores eran positivos o negativos dependiendo de la dirección del movimiento. En este caso, sin embargo, la "distancia" solo puede tener lugar con valores positivos.

Resolver una Ecuación de Valor Absoluto

Ahora vamos a intentar resolver ecuaciones que incluyen valores absolutos. Considera la siguiente ecuación:

$|x|=8$

Esto significa que la distancia del número $x$ hasta cero es 8. Hay dos números que satisfacen esta condición: 8 y -8.

Cuando resolvemos ecuaciones de valor absoluto, siempre hay que considerar dos posibilidades:

La expresión dentro del símbolo de valor absoluto no es negativo.
La expresión dentro del símbolo de valor absoluto es negativo.

Luego, resolvemos cada ecuación por separado.

Ejemplo C

Resolver las siguientes ecuaciones de valor absoluto.

a) $|x| = 3$

b) $|x| = 10$

Solución

a) Hay dos posibilidades: $x = 3$ y $x = -3.$

b) Hay dos posibilidades: $x = 10$ y $x = -10.$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Absolute Value Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en una recta numérica.
$|x|=x$ si $x$ no es negativo y $|x|=-x$ si $x$ es negativo.
Una ecuación o inecuación con un valor absoluto incluido se divide en dos ecuaciones, una donde la expresión dentro del valor absoluto es positiva y otra donde es negativa. Cuando la expresión dentro del valor absoluto es positiva , entonces el signo de valor absoluto no hace nada y puede omitirse. Cuando la expresión, en cambio, es negativa, entonces la expresión dentro de los signos de valor absoluto debe ser anulada antes de remover los signos de valor absoluto.
Las inecuaciones del tipo $|x|<a$ puede re-escribirse como “ $-a < x < a$ .”
" Las inecuaciones del tipo $|x|>b$ puede re-escribirse como “ $x < -b$ o $x > b$ .”

Practica Guiada

Encuentra la distancia entre los valores $-\frac{1}{3}$ and $\frac{1}{5}$ en la recta numérica. y

Solución:

La distancia es el valor absoluto de la diferencia:

$\left|-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right|&= \quad \text{Set up the absolute value.} \\\\left|-\frac{5}{15}-\frac{3}{15}\right|&= \quad \text{Give the two terms common denominators.}\\\\left|\frac{-5-3}{15}\right|&= \quad \text{Combine the terms.}\\\\left|\frac{-8}{15}\right|&= \quad \text{Simplify.}\\\\frac{8}{15} &= \quad \text{Evaluate.}$

La distancia entre los dos puntos es $\frac{8}{15}$ .

Práctica

Calcula los valores absolutos.

$|250|$
$|-12|$
$|-0.003|$
$\left | -\frac{2}{5} \right |$
$\left | \frac{1}{10} \right |$

Encuentra la distancia entre los puntos.

12 y -11
5 y 22
-9 y -18
-2 y 3
-0.012 y 1.067
$-\frac{2}{3}$ y $\frac{7}{8}$

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