Ecuaciones con Valor Absoluto

Aquí aprenderás como resolver ecuaciones con valor absoluto aún más complejas y a interpretar tus respuestas.

Digamos que te piden resolver una ecuación con valor absoluto como $|3x-4|=5$ ¿Cómo podrías interpretar la solución? Tras completar esta sección, podrás interpretar las soluciones de ecuaciones con valor absoluto como esta al graficarlas en una recta numérica.

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CK-12 Foundation: 0608S Analyze Solutions to Absolute Value Equations (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En la sección anterior, vimos cómo resolver ecuaciones simples con valor absoluto. En esta sección, verás cómo resolver ecuaciones más complicadas que tengan valor absoluto.

Ejemplo A

Resuelve la ecuación $|x-4|=5$ e interpreta las respuestas.

Solución

Consideremos dos posibilidades: la expresión dentro del valor absoluto puede ser positiva o puede ser negativa. Luego, resolvemos cada ecuación por separado.

$& x-4 = 5 \quad \text{and} \quad x-4=-5\\\& \quad \ \ x=9 \qquad \qquad \quad \ x=-1$

$x = 9$ y $x = -1$ son las soluciones.

La ecuación $|x-4|=5$ puede ser interpretada como "¿qué números de la recta están a 5 unidades de distancia del número 4?" Si dibujamos la recta numérica, vemos que hay dos posibilidades: 9 y -1.

Ejemplo B

Resuelve la ecuación $|x+3|=2$ e interpreta las respuestas.

Solución

Resuelve las dos ecuaciones:

$& x+3 = 2 \quad \text{and} \quad \ \ x+3=-2\\\& \quad \ \ x=-1 \qquad \qquad \quad \ x=-5$

$x = -5$ y $x = -1$ son las respuestas.

La ecuación $|x+3|=2$ puede ser re-escrita como: $|x-(-3)|=2$ . Podemos interpretar esto como "¿qué números en la recta numérica están a 2 unidades de distancia del -3?" Hay dos posibilidades: -5 y -1.

Resolver Problemas Cotidianos Usando Ecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo C

Una compañía empaqueta granos de café en bolsas herméticas. Cada bolsa debiera pesar 16 onzas, pero es difícil llenar cada bolsa con el peso exacto. Tras ser llenadas, se pesa cada bolsa; si está 0,25 onzas por sobre la medida o por debajo de la medida ideal, la bolsa se vacía y se llena nuevamente. ¿Cuál es la bolsa más ligera y la más pesada dentro de las medidas ideales?

Solución

Se permite que el peso de cada bolsa está a 0,25 onzas de distancia de las 16 onzas; en otras palabras, la diferencia entre el peso de la bolsa y las 16 onzas debe ser de 0,25 onzas. Por tanto, si $x$ es el peso de una bolsa en onzas, entonces la ecuación que describe este problema es $|x-16|=0.25$ .

Ahora, debemos considerar las opciones positivas y negativas y resolver cada ecuación por separado:

$& x-16 = 0.25 \qquad \text{and} \quad x-16 =-0.25\\\& \qquad x=16.25 \qquad \qquad \qquad \ \ x=15.75$

La bolsa más ligera debe pesar 15,75 onzas y la bolsa más pesada, 16,25 onzas.

Vemos que $16.25 - 16 = 0.25 \ ounces$ y $16 - 15.75 = 0.25 \ ounces$ . Las respuestas son, respectivamente 0,25 onzas mayor y menor que 16 onzas.

La respuesta es correcta.

La respuesta que encontraste describe las bolsas más ligeras y más pesadas de granos de café que aprueba la compañía. Sin embargo, ¿cómo describimos el rango total posible de pesos aceptables? Es en este punto donde las inecuaciones vuelven a tener importancia.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Analyze Solucións to Absolute Value Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

" El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en una recta numérica.
$|x|=x$ si $x$ no es negativo y $|x|=-x$ si $x$ es negativo.
Una ecuación o inecuación con un valor absoluto incluido se divide en dos ecuaciones, una donde la expresión dentro del valor absoluto es positiva y otra donde es negativa. Cuando la expresión dentro del valor absoluto es positiva , thentonces el signo de valor absoluto no hace nada y puede omitirse. Cuando la expresión, en cambio, es negativa, entonces la expresión dentro de los signos de valor absoluto debe ser anulada antes de remover los signos de valor absoluto.
Las inecuaciones del tipo $|x|<a$ puede re-escribirse como “ $-a < x < a$ .”
Las inecuaciones del tipo $|x|>b$ puede re-escribirse como “ $x < -b$ or $x > b$ .”

Practica Guiada

Resuelve la ecuación $|2x-7|=6$ e interpreta las respuestas.

Solución

Resuelve las dos ecuaciones:

$& 2x-7 = 6 \qquad \qquad \quad 2x-7=-6\\\& \quad \ \ 2x=13 \qquad \text{and} \qquad \ \ 2x=1\\\& \quad \ \ \ x=\frac{13}{2} \qquad \qquad \qquad \ \ x=\frac{1}{2}$

Respuesta: $x=\frac{13}{2}$ y $x=\frac{1}{2}$ .

La interpretación de este problema es más clara si en la ecuación $|2x-7|=6$ dividimos por 2 en ambos lados para obtener $\frac{1}{2}|2x-7|=3$ . Ya que $\frac{1}{2}$ no es negativo, podemos distribuirlo por el signo del valor absoluto para obtener $\left | x-\frac{7}{2} \right |=3$ . Entonces, la pregunta sería "¿qué números de la recta numérica están a 3 unidades de distancia de $\frac{7}{2}$ ?" Hay dos respuestas: $\frac{13}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

Práctica

Resuelve las ecuaciones de valor absoluto e interpreta los resultados al graficar las soluciones en la recta numérica.

$|x-5|=10$
$|x+2|=6$
$|5x-2|=3$
$|x-4|=-3$
$\left|2x-\frac{1}{2}\right|=10$
$|-x+5|=\frac{1}{5}$
$\left|\frac{1}{2}x-5\right|=100$
$|10x-5|=15$
$|0.1x+3|=0.015$
$|27-2x|=3x+2$

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