Inecuaciones con Valor Absoluto

Aquí aprenderás como resolver inecuaciones con valor absoluto y mostrar su grafico solución. También resolverás problemas cotidianos usando inecuaciones con valor absoluto.

Digamos que tienes una inecuación con valor absoluto como $|2x| \le 16$ ¿Cómo podrías resolverla? Tras completar esta sección, podrás hallar el conjunto solución y mostrar el grafico solución de inecuaciones similares a esta.

Mira Esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 0610S Absolute Value Inequalities (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven de forma similar a las ecuaciones con valor absoluto. En ambos casos, debemos considerar las mismas dos posibilidades:

La expresión dentro del valor absoluto no es negativa.
La expresión dentro del valor absoluto es negativa.

Luego, deberás resolver cada inecuación por separado.

Resolver Inecuaciones con Valor Absoluto

Considera la inecuación $|x| \le 3$ . Ya que el valor absoluto de $x$ representa su distancia desde el cero, las soluciones a esta inecuación son aquellos números cuya distancia al cero sea menor o igual a 3. El gráfico siguiente representa esta solución:

Nótese que este también es el gráfico para la inecuación compuesta $-3 \le x \le 3$ .

Ahora, considera la inecuación $|x|>2$ . Ya que el valor absoluto de $x$ representa su distancia desde el cero, las soluciones a esta inecuación son aquellos números cuya distancia al cero sea mayor a 2. El gráfico siguiente representa esta solución.

Nótese que este también es el gráfico para la inecuación compuesta $x < -2$ o $x >2$ .

Ejemplo A

Resuelve las siguientes inecuaciones y muestra el grafico solución.

a) $|x|<5$

b) $|x| \ge 2.5$

Solución

a) $|x|<5$ represents all numbers whose distance from zero is less than 5.

Esta respuesta puede escribirse como “ $-5 < x < 5$ ”.

b) $|x| \ge 2.5$ representa a todos los números cuya distancia del cero sea mayor o igual que 2.5

Esta respuesta puede escribirse como “ $x \le -2.5$ o $x \ge 2.5$ ”.

Re-escribir y Resolver Inecuaciones con Valor Absoluto como Inecuaciones Compuestas

En la última sección, vimos que las inecuaciones con valor absoluto son, de hecho, inecuaciones compuestas.

Las inecuaciones del tipo $|x|<a$ pueden re-escribirse como “ $-a < x < a$ ”.

Las inecuaciones del tipo $|x|>b$ pueden re-escribirse como “ $x < -b$ or $x >b$ .”

Para resolver una inecuación con valor absoluto, separamos la expresión en dos inecuaciones y resolvemos cada una por separado. .

Ejemplo B

Resuelve la inecuación $|x-3|<7$ y muestra el grafico solución.

Solución

Re-escribe como una inecuación compuesta: $-7<x-3<7$

Escríbela como dos inecuaciones separadas: $x-3<7$ y $x-3>-7$

Resuelve cada inecuación: $x<10$ y $x > -4$

Re-escribe la solución: $-4 < x < 10$

El gráfico solución es

Podemos pensar que la pregunta solicitada es "¿qué números están dentro de un área de 7 unidades de distancia del 3?"; la respuesta, entonces, puede expresarse como "Todos los números entre -4 y 10."

Ejemplo C

Resuelve la inecuación $|4x+5| \le 13$ y muestra el grafico solución.

Solución

Re-escribe como una inecuación compuesta: $-13 \le 4x+5 \le 13$

Escríbela como dos inecuaciones separadas: $4x+5 \le 13$ y $4x +5 \ge -13$

Resuelve cada inecuación: $4x \le 8$ y $4x \ge -18$

$x \le 2$ y $x \ge -\frac{9}{2}$

Re-escribe la solución: $-\frac{9}{2} \le x \le 2$

El gráfico solución es

Ejemplo D

Resuelve la inecuación $|x+12|>2$ y muestra el grafico solución.

Solución

Re-escribe como una inecuación compuesta: $x+12 < -2$ o $x+12 > 2$

Resuelve cada inecuación: $x < -14$ o $x > -10$

El gráfico solución es

Resolver Problemas Cotidianos Usando Inecuaciones con Valor Absoluto

Las inecuaciones con valor absoluto son útiles en problemas que involucran un rango de valores

Ejemplo E

El velocidad de un objeto se define por la formula $v=25t-80$ , donde el tiempo se expresa en segundos y la velocidad se expresa en pies por segundo. Encuentra los tiempos en los cuales la magnitud de la velocidad es mayor o igual a 60 pies por segundo.

Solución

La magnitud de la velocidad es el valor absoluto de la velocidad. Si la velocidad es $25t-80$ pies por segundo, entonces su magnitud es $|25t-80|$ pies por segundo. Queremos encontrar cuando esa magnitud es mayor o igual a 60, por lo que debemos resolver la $|25t-80| \ge 60$ dentro de $t$ .

Primero, debemos dividir la inecuación: $25t-80 \ge 60$ or $25t-80 \le -60$

Luego, resuelve: $25t \ge 140$ o $25t \le 20$

$t \ge 5.6$ o $t \le 0.8$

La magnitud de la velocidad es mayor a 60 pies/seg en los tiempos menores a 0,8 segundos y en los tiempos mayores a 5,6 segundos.

Cuando $t = 0.8 \ seconds, \ v=25(0.8)-80 = -60 \ ft/sec .$ La magnitud de la velocidad es de 60 pies/seg. (El signo negativo en la respuesta significa que el objeto se mueve hacia atrás.)

Cuando $t = 5.6 \ seconds, \ v=25(5.6)-80 = 60 \ ft/sec .$

Para hallar cuando la magnitud de la velocidad es mayor a 60 pies/seg, verifica con algunos valores arbitrarios en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo: $t \le 0.8, \ 0.8 \le t \le 5.6$ y $t \ge 5.6$ .

Verifica $t = 0.5: \ v=25(0.5) -80 = -67.5 \ ft/sec$

Verifica $t = 2: \ v = 25(2)-80 =-30 \ ft/sec$

Verifica $t = 6: \ v=25(6)-80 = -70 \ ft/sec$

Puedes ver que la magnitud de la velocidad es mayor a 60 pies/seg solo cuando $t \ge 5.6$ o cuando $t \le 0.8$ .

La respuesta es correcta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Absolute Value Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

" El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en una recta numérica.
$|x|=x$ si $x$ no es negativo y $|x|=-x$ si $x$ es negativo.
" Una ecuación o inecuación con un valor absoluto incluido se divide en dos ecuaciones, una donde la expresión dentro del valor absoluto es positiva y otra donde es negativa. Cuando la expresión dentro del valor absoluto es positiva , entonces el signo de valor absoluto no hace nada y puede omitirse. Cuando la expresión, en cambio, es negativa, entonces la expresión dentro de los signos de valor absoluto debe ser anulada antes de remover los signos de valor absoluto.
Las inecuaciones del tipo $|x|<a$ puede re-escribirse como “ $-a < x < a$ .”
Las inecuaciones del tipo $|x|>b$ puede re-escribirse como “ $x < -b$ or $x > b$ .”

Practica Guiada

Resuelve la inecuación $|8x-15| \ge 9$ y muestra el gráfico solución.

Solución

Re-escríbela como una inecuación compuesta: $8x-15 \le -9$ o $8x-15 \ge 9$

Resuelve cada inecuación: $8x \le 6$ o $8x \ge 24$

$x \le \frac{3}{4}$ o $x \ge 3$

El gráfico solución es

Práctica

Resuelve las siguientes inecuaciones y muestra el gráfico solución.

$|x| \le 6$
$|x| > 3.5$
$|x| < 12$
$|x| > 10$
$|7x| \ge 21$
$|x-5| > 8$
$|x+7| < 3$
$\left | x-\frac{3}{4} \right | \le \frac{1}{2}$
$|2x-5| \ge 13$
$|5x+3| < 7$
$\left | \frac{x}{3}-4 \right | \le 2$
1. ¿Cuantas soluciones tiene la inecuación $|x| \le 0$ ?
2. ¿Y cuantas tiene la inecuación $|x| \ge 0$ ?
Una compañía produce reglas de medir. Sus reglas de 12 pulgadas aprueban el control de calidad si están $\frac{1}{32} \ inches$ dentro del largo ideal. ¿Cuánto mide, según los estándares de la fábrica, la regla más pequeña y la regla más larga que producen?
14. Un bebe de tres meses pesa un promedio de 13 libras. Se considera un niño saludable si pesa, al menos 2,5 lb. alrededor del peso promedio. Encuentra el rango de peso que se considera saludable para los niños de tres meses de edad.

Prev Next

Inecuaciones con Valor Absoluto

Mira Esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

Ejemplo E

Vocabulario

Practica Guiada

Práctica

Licencia