Gráficos de Inecuaciones de Una Variable

Aquí aprenderás a graficar inecuaciones lineales con una variable en el plano cartesiano. También aprenderás a hallar su plano solución.

Digamos que tienes una inecuación lineal como $|y| \ge -5$ ¿Cómo podrías graficar esa inecuación en el plano cartesiano? Tras completar esta sección, podrás graficar inecuaciones lineales con una variable, similares a esta.

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CK-12 Foundation: 0611S Graphing Linear Inequalities in the Coordinate Plane (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Una inecuación lineal con dos variables tiene la siguientes formas $y > mx+b$ o $y < mx + b$ . Las inecuaciones lineales están muy relacionadas a los gráficos de rectas; recuerda que una recta tiene la ecuación $y = mx + b$ .

Cuando graficamos una recta en el plano cartesiano, vemos que divide el plano en dos:

La solución a una inecuación incluye todos los puntos de una mitad del plano. Podemos averiguar de cual mitad hablamos al ver el signo de desigualdad:

> El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta.

$\ge$ El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

< El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta.

$\le$ El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

Para una inecuación en sentido estricto, dibujamos una línea punteada para mostrar que los puntos en la recta no son parte de la solución. Para una inecuación que incluye el signo igual, dibujamos una línea completa para mostrar que los puntos en la recta son parte de la solución.

Ejemplo A

Este es un gráfico de $y \ge mx + b$ ; el conjunto solución es la recta y la mitad del plano sobre la recta.

Este es un gráfico de $y < mx + b$ ; el conjunto solución es la mitad del plano bajo la recta, sin incluir la recta en sí.

Graficar Inecuaciones Lineales de Una Variable en el Plano Cartesiano

En las últimas sesiones, graficamos ecuaciones de una variable en la recta numérica. También podemos graficar inecuaciones de una variable en el plano cartesiano. Solo hemos de recordar que, cuando graficamos una ecuación del tipo $x = a$ obtenemos una recta vertical y, cuando graficamos una ecuación del tipo $y = b$ obtenemos una recta horizontal.

Ejemplo B

Grafica la inecuación $x > 4$ en el plano cartesiano.

Solución

Primero, recordemos que la solución a $x > 4$ aparece en la recta numérica.

La solución a esta inecuación es el conjunto de todo número real $x$ que sea mayor que 4, sin incluir el 4. La solución se representa por una recta.

IEn dos dimensiones, la solución aún consiste en todos los puntos a la derecha de $x = 4$ , pero también para todos los valores posibles de $y-$ Esta solución se representa por la mitad del plano a la derecha de $x = 4$ . (Piénsalo como si fuera la solución graficada en la recta numérica, solo que ampliada verticalmente.)

La recha $x = 4$ es punteada porque el signo igual no aparece en la inecuación, lo que significa que los puntos de la recta no se incluyen en la solución.

Ejemplo C

Grafica la inecuación $|y| < 5$

Solución

La inecuación con valor absoluto $|y| < 5$ puede re-escribirse como $-5 < y < 5$ . Esta es una inecuación compuesta, que puede expresarse como

$y > -5 \quad \text{and} \quad y < 5$

En otras palabras, la solución son todos los puntos de coordenadas en las que el valor de $y$ es mayor que -5 y menor que 5. La solución se representa en el plano entre las rectas horizontales $y = -5$ y $y = 5$ .

Las dos rectas horizontales están punteadas porque los puntos de las rectas no se incluyen en la solución.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Graphing Inequalities in the Coordinate Plane

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Las inecuaciones del tipo $|x|<a$ puede re-escribirse como “ $-a < x < a$ .”
Las inecuaciones del tipo $|x|>b$ puede re-escribirse como “ $x < -b$ o $x > b$ .”
Las rectas horizontales se definen por la ecuación $y=$ constante; las rectas verticales se definen por la ecuación $x=$ constante.
" Para una inecuación en sentido estricto, dibujamos una línea punteada para mostrar que los puntos en la recta no son parte de la solución. Para una inecuación que incluye el signo igual, dibujamos una línea completa para mostrar que los puntos en la recta son parte de la solución.

" La solución a una inecuación incluye todos los puntos de una mitad del plano. Podemos averiguar de cual mitad hablamos al ver el signo de desigualdad:

> El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta.

$\ge$ El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

< El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta.

$\le$ El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

Practica Guiada

Grafica la inecuación: $|x| \ge 2$ .

Solución:

La inecuación con valor absoluto $|x| \ge 2$ puede re-escribirse como una inecuación compuesta:

$x \le -2 \quad \text{or} \quad x \ge 2$

En otras palabras, la solución son todos los puntos de coordenadas en los que el valor de $x$ es menor o igual a -2 o mayor o igual a 2. La solución se representa en el plano a la izquierda de la recta vertical $x = -2$ y por el plano a la derecha de la recta $x = 2$ .

Ambas rectas verticales son sólidas (no punteadas) porque los puntos de las rectas se incluyen en la solución.

Práctica

Grafica las siguientes inecuaciones en el plano cartesiano.

$x < 20$
$y \ge -5$
$x > 0.5$
$x \le \frac{1}{2}$
$y > -\frac{2}{3}$
$y < -0.2$
$|x| > 10$
$|y| \le 7$
$|y| < \frac{1}{3}$
$|x| \ge -10$

Texas Instruments Resources

IEn el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo. Véase http://www.ck12.org/flexr/chapter/9616 .

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