Inecuaciones Lineales con Dos Variables

Aquí aprenderás como graficar inecuaciones lineales con dos variables de la forma $y > mx + b$ o $y < mx + b$ . También resolverás problemas cotidianos que involucran el uso de tales inecuaciones.

Digamos que tienes una inecuación lineal como $2x - 3y \le 5$ ¿Cómo podrías graficar tal inecuación en el plano cartesiano? Tras completar esta sección, podrás graficar inecuaciones lineales con dos variables, similares a este.

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CK-12 Foundation: 0612S Linear Inequalities in Two Variables (H264)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

El procedimiento general para graficar inecuaciones con dos variables es el siguiente:

Re-escribe la inecuación en forma pendiente-intercepto: $y=mx+b$ . Al escribir la inecuación de esta forma, sabrás cuál es su dirección en el plano.
Grafica la recta de la ecuación $y=mx+b$ usando el método que más te guste (dibujando dos puntos, usando la pendiente y el intercepto $y-$ usando el intercepto $y-$ l. y otro punto o cualquier otro método). Dibuja la recta como una línea punteada si no se incluye el signo igual y como una línea completa si es que incluye el signo igual.
Rellena la mitad del plano sobre la recta si la inecuación es "mayor que." Rellena la mitad del plano bajo la recta si la inecuación es "menor que."

Ejemplo A

Grafica la inecuación $y \ge 2x-3$ .

Solución

La inecuación ya está escrita en forma pendiente-intercepto, por lo que es fácil de graficar. Primero, graficamos la recta $y=2x-3$ ; luego, rellenamos la mitad del plano sobre la recta. La línea es sólida porque la inecuación incluye el signo igual.

Ejemplo B

Grafica la inecuación $5x-2y>4$ .

Solución

Primero, debemos re-escribir la inecuación en forma pendiente-intercepto:

$-2y & > -5x +4\\\y & < \frac{5}{2}x - 2$

Nótese que el signo de desigualdad cambió de dirección porque dividimos por un número negativo.

Para graficar la inecuación, hacemos una tabla de valores:

$x$	$y$
-2	$\frac{5}{2}(-2)-2=-7$
0	$\frac{5}{2}(0)-2=-2$
2	$\frac{5}{2}(2)-2=3$

Tras graficar la recta, rellenamos el plano bajo la recta, porque la inecuación en forma pendiente-intercepto es menor que . La línea es punteada porque la inecuación no incluye un signo igual.

Resolver Problema Cotidianos Usando Inecuaciones Lineales

En esta sección, veremos cómo podemos usar las inecuaciones lineales para resolver situaciones de la vida real.

Ejemplo C

Un vendedor minorista vende dos tipos de granos de café. Uno cuesta $9 la libra y el otro, $7 la libra. Halla todas las cantidades posibles de mezclas de los dos granos de café, cuya cantidad total cueste $8,50 o menos.

Solución

Definamos $x =$ peso en libras de los granos de café de $9 por libra.

Definamos $y =$ peso en libras de los granos de café de $7 por libra.

El costo de una libra de una mezcla de café se define por $9x + 7y$ .

Estamos buscando las mezclas que cuesten $8,50 o menos. Escribimos la inecuación $9x+7y \le 8.50$ .

Ya que esta ecuación esta en forma estándar, es fácil graficarla, pues solo hay que encontrar los interceptos $x-$ e $y-$ Cuando $x=0$ , tenemos $7y=8.50$ o $y=\frac{8.50}{7} \approx 1.21$ . Cuando $y=0$ , tenemos $9x=8.50$ o $x=\frac{8.50}{9} \approx 0.94$ . Luego, podemos graficar la recta que incluye esos dos puntos.

Ahora solo hay que averiguar cuál lado de la recta hay que rellenar. En la forma intercepto $y-$ rellenamos el área bajo la recta cuando la inecuación es "menor que." Sin embargo, en forma estándar, eso no siempre ocurre. Podemos convertir la inecuación a la forma intercepto $y-$ para averiguar qué lado rellenar, pero hay otra forma que resulta ser más sencilla.

El otro método, que sirve para cualquier inecuación lineal escrita en cualquier forma, es ingresar un punto al azar en la inecuación y ver si el resultado es correcto. Cualquier punto que no está en la recta servirá el punto (0, 0) es, en general, el punto más conveniente.

En este caso, ingresar 0 en $x$ e $y$ nos resulta en $9(0)+7(0) \le 8.50$ , , lo cual es no correcto. Eso significa que debemos rellenar la mitad del plano que no incluya el punto (0, 0). Si ingresamos (0, 0), nos dará una inecuación falsa, lo que significa que el conjunto solución es la parte del plano que no contiene el punto (0, 0). *(revisar texto del original de este párrafo)

Nótese también que, en este gráfico, solo mostramos el primer cuadrante del plano cartesiano. Eso pasa porque, en la vida real, el peso es siempre un valor positivo, por lo que los puntos fuera del primer cuadrante no representan soluciones reales para este problema.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Inequalities in Two Variables

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Para una inecuación en sentido estricto, dibujamos una línea punteada para mostrar que los puntos en la recta no son parte de la solución. Para una inecuación que incluye el signo igual, dibujamos una solid line para mostrar que los puntos en la recta son parte de la solución.

La solución a una inecuación incluye todos los puntos de una mitad del plano. Podemos averiguar de cual mitad hablamos al ver el signo de desigualdad:

> El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta.

$\ge$ El conjunto solución es la mitad del plano arriba de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

< El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta.

$\le$ El conjunto solución es la mitad del plano abajo de la recta y, también, todos los puntos de la recta.

Practica Guiada

Julius tiene un trabajo como vendedor de electrodomésticos. El gana una comisión de $60 por cada lavadora que vende y $130 por cada refrigerador que vende. ¿Cuantas lavadoras y refrigeradores debe vender Julius para ganar $1000 o más de comisión?

Solución

Definamos $x =$ número de lavadoras que vende Julius.

Definamos $y =$ número de refrigeradores que vende Julius.

La comisión total es $60x + 130y$ .

Buscamos una comisión total de $1000 o más, por lo que escribimos la inecuación $60x+130y \ge 1000$ .

Nuevamente, podemos facilitar el proceso al hallar los interceptos $x-$ e $y-$ Cuando $x=0$ , tenemos $130y=1000$ , o $y=\frac{1000}{30} \approx 7.69$ . Cuando $y=0$ , tenemos $60x=1000$ , o $x=\frac{1000}{60} \approx 16.67$ .

Dibujamos una línea sólida que conecte esos puntos y rellenamos el área sobre la recta porque la inecuación es "mayor que." Podemos verificar esto al ingresar el punto (0, 0): el vender 0 lavadoras y 0 refrigeradores le daría a Julius una comisión de $0, lo cual no es mayor ni igual a $1000, por lo que el punto (0, 0) no es parte de la solución; en su lugar, rellenaremos el lado de la recta que no incluye ese punto.

Nótese también que, nuevamente, solo mostramos el primer cuadrante del plano cartesiano, porque la comisión de Julius debe ser positiva.

Práctica

Grafica las siguientes inecuaciones en el plano cartesiano.

$y \le 4x+3$
$y > -\frac{x}{2}-6$
$3x-4y \ge 12$
$x+7y < 5$
$6x+5y>1$
$y+5 \le -4x+10$
$x-\frac{1}{2}y \ge 5$
$6x+y < 20$
$30x+5y < 100$
10. Recuerda lo que has aprendido en el último capítulo sobre las familias de rectas.
1. ¿Qué tienen en común los gráficos de $y > x+2$ y $y < x+5$ ?
2. ¿A qué crees que se parece el gráfico de $x+2 < y < x+5$ ?
Si restaras 2 al lado derecho de la inecuación del problema 6, ¿de qué forma cambiaría la respuesta?
Si sumaras 12 al lado derecho del problema 7, ¿de qué forma cambiaría la respuesta?
¿En qué forma cambiaría la respuesta del problema 8 si invirtieras el signo de desigualdad?
Una compañía de telefonía cobra 50 centavos el minuto durante el día y 10 centavos el minuto durante la noche. ¿Cuantos minutos usarías en el día y en la noche durante una semana si quisieras pagar menos de $20?
Supongamos que estas graficando la inecuación .
1. ¿Porque no puedes usar el punto (0, 0) para saber cuál lado de la recta has de rellenar?
2. ¿Qué pasaría si lo ingresas a la ecuación?
3. Ahora intenta ingresar el punto (0, 1). ¿Qué lado de la recta deberáas rellenar ahora?
Un teatro busca obtener, al menos, $2000 de ganancia por cierto evento. Los boletos para niños cuestan $5 cada uno y los boletos para adultos, $10 cada uno.
1. Si $x$ representa el número de boletos para adulto vendidos e $y$ representa el número de boletos para niños, escribe una inecuación que describa el número de boletos que harán que el teatro alcance su meta mínima.
2. b. Si ya se vendieron 100 boletos para niños y 100 boletos para adultos, ¿qué inecuación describe cuantos boletos más de ambos tipos debe vender el teatro?
3. c. Si el teatro solo tiene capacidad para 300 asientos (por lo que solo quedan 100 asientos aún vacíos), ¿qué inecuación describe el número máximo de boletos adicionales de ambos tipos que puede vender el teatro?

Texas Instruments Resources

IEn el FlexBook "CK-12 Texas Instruments Algebra I", hay actividades para calculadoras graficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las lecciones en este Capítulo. Véase http://www.ck12.org/flexr/chapter/9616 .

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