Gráficos de Sistemas Lineales

En esta sección, aprenderás a determinar si un par ordenado es la solución a un sistema de ecuaciones y cómo resolver un sistema de ecuaciones mediante el uso de gráficos. Finalmente, resolverás problemas de planteo que incluyan sistemas de ecuaciones.

Digamos que te presentan un conjunto de ecuaciones lineales como $y = -3x + 4$ y $y = 6x - 1$ ¿Cómo podrías determinar la (s) solución(es) que ambas ecuaciones tienen en común? Tras completar esta sección, serás capaz de determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de ecuaciones y encontrarás esas soluciones mediante el uso de gráficos.

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CK-12 Foundation: 0701S Linear Systems by Graphing (H264)

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Orientación

En esta sección, vamos a descubrir métodos para determinar si un par ordenado es una solución a un sistema de dos ecuaciones. Luego, vamos a aprender a resolver las dos ecuaciones mediante gráficos y confirmaremos que la solución es el punto donde las dos rectas se intersectan. Finalmente, observaremos problemas del mundo real que se pueden resolver mediante el uso de los métodos descritos en este capítulo.

Determinar si un Par Ordenado es una Solución a un Sistema de Ecuaciones

Un sistema lineal de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que se debe resolver de forma conjunta para encontrar la solución única que les sirve a ambas.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$y & = x + 2\\\y & = -2x + 1$

Debido a que las dos rectas se encuentran en un sistema, las resolvemos juntas y las graficamos en el mismo eje de coordenadas. Podemos usar cualquier método para graficarlas; hagámoslo mediante la creación de una tabla de valores para cada recta.

Recta 1: $y = x + 2$

$x$	$y$
0	2
1	3

Recta 2: $y = -2x + 1$

$x$	$y$
0	1
1	-1

Ya sabemos que cualquier punto que se encuentre sobre una recta es una solución a la ecuación de esa recta. Lo anterior quiere decir que cualquier punto que se encuentre sobre ambas rectas en un sistema es una solución a ambas ecuaciones.

Entonces, tenemos que en este sistema:

El punto $A$ no es una solución al sistema, porque no se encuentra sobre ninguna de las rectas.
El punto $B$ no es una solución al sistema, porque solo se encuentra sobre la recta de color azul, pero no sobre la de color rojo.
El punto $C$ es una solución al sistema, porque se encuentra al mismo tiempo sobre ambas rectas.

De hecho, el punto $C$ es la única solución al sistema, porque es el único punto que se encuentra sobre ambas rectas. Para un sistema de ecuaciones, la solución geométrica es la intersección de las dos rectas en el sistema y la solución algebraica es el par ordenado que resuelve ambas ecuaciones, es decir, las coordenadas de ese punto de intersección.

Puedes confirmar la solución al sustituirla en el sistema de ecuaciones y comprobar que la solución sirve en cada ecuación.

Ejemplo A

Determina cuál de los puntos (1, 3), (0, 2), o (2, 7) es una solución al siguiente sistema de ecuaciones:

$y & = 4x - 1\\\y & = 2x + 3$

Solución

Para comprobar si un punto de coordenadas es una solución al sistema de ecuaciones, sustituimos en las ecuaciones cada uno de los valores de $x$ e $y$ para ver si sirven.

Punto (1, 3):

$y &= 4x - 1\\\3 \ {^{?}}&={^{?}} \ 4(1) - 1\\\3 &= 3 \ \text{solution checks}\\\\\\y &= 2x + 3\\\3\ {^{?}}&={^{?}} \ 2(1) + 3\\\3 &\neq 5 \ \text{solution does not check}\\\$

El punto (1, 3) se encuentra sobre la recta $y = 4x - 1$ , pero no se encuentra sobre la recta $y = 2x + 3$ , por lo tanto, no es una solución al sistema.

Punto (0, 2):

$y &= 4x - 1\\\2 \ {^{?}}&={^{?}} \ 4(0) - 1\\\2 &\neq -1 \ \text{solution does not check}$

El punto (0, 2) no se encuentra sobre la recta $y = 4x - 1$ , y, por lo tanto, no es una solución al sistema. Fíjate que no es necesario comprobar la segunda ecuación, porque el punto necesita estar sobre ambas rectas para que sea una solución al sistema.

Punto (2, 7):

$y &= 4x - 1\\\7 \ {^{?}}&={^{?}} \ 4(2) - 1\\\7 &= 7 \ \text{solution checks}\\\\\\y &= 2x + 3\\\7 \ {^{?}}&={^{?}} \ 2(2) + 3\\\7 &= 7 \ \text{solution checks}$

El punto (2, 7) es una solución al sistema, ya que se encuentra sobre ambas rectas.

La solución al sistema es el punto (2, 7).

Determinar la Solución a un Sistema Lineal Mediante el Uso de Gráficos

La solución a un sistema lineal de ecuaciones es el punto (si es que existe) que se encuentra sobre ambas rectas. En otras palabras, la solución es el punto donde las dos rectas se intersectan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones al graficar las rectas en el mismo plano de coordenadas y encontrar el punto de intersección en el gráfico.

Este método ofrece generalmente sólo soluciones aproximadas, por lo que no es adecuado cuando necesitas una respuesta exacta. Sin embargo, graficar el sistema de ecuaciones puede ser una buena manera de entender lo que sucede realmente en el problema que estás tratando de resolver, especialmente cuando es un problema del mundo real.

Ejemplo B

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el uso de gráficos:

$y & = 3x - 5\\\y & = -2x + 5$

Solución

Grafica ambas rectas en el mismo eje de coordenadas mediante el uso del método que escojas.

En este caso, hagamos una tabla de valores para cada recta.

Recta 1: $y = 3x - 5$

$x$	$y$
1	-2
2	1

Recta 2: $y = -2x + 5$

$x$	$y$
1	3
2	1

La solución al sistema está dada por el punto de intersección de las dos rectas. El gráfico muestra que las rectas se intersectan en el punto (2, 1). Por lo tanto la solución es $x = 2, y = 1$ o (2, 1).

Resolver un Sistema de Ecuaciones Mediante el Uso de una Calculadora Gráfica

Para encontrar o comprobar soluciones a un sistema de ecuaciones, puedes utilizar una calculadora gráfica como una alternativa a graficar de forma manual.

Ejemplo C

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando una calculadora gráfica.

$x - 3y & = 4\\\2x + 5y & = 8$

Para ingresar las ecuaciones a la calculadora, necesitas reescribirlas a la forma pendiente-intercepto (es decir, la forma, $y = mx + b$ ).

$x - 3y = 4 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}\!\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \!\\\2x + 5y = 8 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad y = - \frac{2}{5}x + \frac{8}{5}$

Presiona el botón [y=] en la calculadora gráfica e ingresa las dos funciones como:

$Y_1 & = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\\\Y_2 & = \frac{-2x}{5} + \frac{8}{5}$

Ahora presiona [GRAPH] . A continuación, puedes ver cómo debería lucir el gráfico en una calculadora gráfica del tipo TI-83 con la ventana ajustada a $-5 \le x \le 10$ y $-5 \le y \le 5$ .

Existen algunas formas diferentes para encontrar el punto de intersección.

Opción 1: Utiliza [TRACE] y mueve el cursor con las flechas hasta que se encuentre en la parte superior del punto de intersección. Los valores del punto de coordenadas se mostrarán en la parte inferior de la pantalla. La segunda pantalla presentada anteriormente muestra que los valores son $X = 4.0957447$ e $Y = 0.03191489$ .

Utiliza la función [ZOOM] para acercarte al punto de intersección y encontrar un resultado más preciso. La tercera pantalla presentada anteriormente muestra el sistema de ecuaciones luego de hacer zoom varias veces. Aparece una solución más precisa $X = 4$ e $Y = 0$ .

Opción 2 Presiona [2nd] [GRAPH] . para observar la tabla de valores. La primera pantalla presentada a continuación muestra una tabla de valores para este sistema de ecuaciones. Desplázate hacia abajo hasta que los valores de $Y-$ para ambas funciones sean los mismos. En este caso, esto ocurre en $X = 4$ e $Y = 0$ .

(Utiliza la función [TBLSET] para cambiar el valor inicial de tu tabla de valores, de forma que esté más cerca del punto de intersección y no tengas que mover demasiado el cursor. También puedes mejorar la precisión de la solución al establecer un valor menor en la tabla de valores de $\Delta$ .)

Opción 3 Usar la función [2nd] [TRACE] resulta en la segunda pantalla presentada anteriormente.

Deslízate hacia abajo y selecciona "intersect".

La calculadora mostrará el gráfico con la interrogante [FIRSTCURVE] ? Mueve el cursor a lo largo de la primera curva hasta que se encuentre cercano a la intersección y presiona [ENTER] .

La calculadora mostrará ahora [SECONDCURVE] ?

Mueve el cursor a la segunda recta (si es necesario) y presiona [ENTER] .

La calculadora mostrará [GUESS] ?

Presiona [ENTER] y la calculadora mostrará la solución en la parte inferior de la pantalla (observa la tercera pantalla presentada anteriormente).

El punto de intersección es $X = 4$ e $Y = 0$ . Fíjate que con este método, la calculadora resuelve el punto de intersección por ti, lo que es generalmente más preciso que tu propio estimado visual.

Resolver Problemas del Mundo Real Mediante el Uso de Gráficos de Sistemas Lineales

Considera el siguiente problema:

Ejemplo D

A Peter y a Nadia les gusta hacer carreras. Peter puede correr a una velocidad de 5 pies por segundo y Nadia puede correr a una velocidad de 6 pies por segundo. Para ser una buena competidora, a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto tarda Nadia en alcanzar a Peter? ¿A qué distancia del punto de inicio Nadia alcanza a Peter?

Solución:

Empecemos por hacer un dibujo de la situación. Así es como luce la carrera cuando Nadia comienza a correr; llamaremos a este tiempo $t = 0$ .

A continuación, definamos dos variables en este problema:

$t =$ el tiempo en el que Nadia empieza a correr.

$d =$ la distancia de los corredores desde el punto de inicio.

Debido a que hay dos corredores, necesitamos escribir ecuaciones para cada uno de ellos. Ese será el sistema de ecuaciones en este problema.

Para cada ecuación, usamos la fórmula: $\text{distance} = \text{speed}\times \text{time}$

La ecuación de Nadia: $d = 6t$

La ecuación de Peter: $d = 5t + 20$

(Recuerda que cuando Nadia comenzó a correr, Peter ya se encontraba a 20 pies de distancia del punto de inicio).

Grafiquemos estas dos ecuaciones en los mismos ejes de coordenadas.

El tiempo debería estar en el eje horizontal, ya que es la variable independiente, y la distancia debería estar en el eje vertical, ya que es la variable dependiente.

Podemos utilizar cualquier método para graficar las rectas, pero en este caso, usaremos el método pendiente-intercepto ya que físicamente tiene más sentido.

Para graficar la recta que describe la corrida de Nadia, comienza por graficar el intercepto en $y-$ (0, 0). (Si no ves que este es el intercepto en $y-$ intenta sustituir $x = 0$ para probar el valor).

La pendiente nos dice que Nadia corre 6 pies cada segundo, por lo que otro punto en la recta es (1,6). La recta de Nadia resulta al conectar estos puntos:

Para graficar la recta que describe la corrida de Peter, de nuevo comienza con el intercepto en $y-$ En este caso, es el punto (0, 20).

La pendiente nos dice que Peter corre 5 pies cada segundo, por lo que otro punto en la recta es (1, 25). La recta de Peter resulta al conectar estos puntos:

Para poder establecer cuándo y dónde Nadia y Peter se encuentran, graficaremos ambas rectas en el mismo gráfico y extenderemos las rectas hasta que se crucen. El punto de cruce es la solución a este problema.

El gráfico muestra que Nadia y Peter se encuentran 20 segundos luego de que Nadia empiece a correr y a 120 pies del punto de inicio.

Estos ejemplos son excelentes para demostrar que la solución a un sistema de ecuaciones lineales resulta en el punto en el que las rectas se intersectan. De hecho, esta es la mayor fortaleza del método de gráficos, porque ofrece una representación muy visual del sistema de ecuaciones y su solución. Aunque también puedes notar que encontrar la solución a partir de un gráfico requiere graficar las rectas con mucho cuidado y es realmente solo un asunto práctico cuando estás seguro de que la solución da valores enteros para $x$ e $y$ . Generalmente, este método solo puede ofrecer soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones, así que necesitamos utilizar otros métodos para obtener una solución exacta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Linear Systems by Graphing

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Vocabulario

Un sistema lineal de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que se debe resolver de manera conjunta para encontrar la solución única que satisface a ambas.

Práctica Guiada

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el uso de gráficos:

$2x + 3y & = 6\\\4x - y & = -2$

Solución

Debido a que las ecuaciones se encuentran en forma estándar, esta vez las graficaremos mediante la búsqueda de los interceptos en $x-$ e $y-$ de cada una de las rectas.

Recta 1: $2x + 3y = 6$

$x-$ Intercepto en: $y = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ así el intercepto es (3, 0)

$y-$ Intercepto en: $x = 0 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$ así el intercepto es (0, 2)

Recta 2: $-4x + y = 2$

Intercepto enIntercepto en $x-$ : $y = 0 \Rightarrow -4x = 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$ así el intercepto es $\left ( - \frac{1}{2}, 0 \right )$

Intercepto enIntercepto en $y-$ : $x = 0 \Rightarrow y = 2$ así el intercepto es (0, 2)

El gráfico muestra que las rectas se intersectan en (0, 2). Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es $x = 0, y = 2$ .

Práctica

Determina qué par ordenado satisface el sistema de ecuaciones lineales.

1. (1, 4)
2. (2, 9)
3. $\left (\frac{1}{2}, \frac{-1}{2} \right )$
1. (8, 13)
2. (-7, 6)
3. (0, 4)
1. (-9, 1)
2. (-6, 20)
3. (14, 2)
1. $\left (3, \frac{-3}{2} \right )$
2. (-4, 3)
3. $\left (\frac{1}{2}, 4 \right )$
1. (4, -2)
2. (1, -8)
3. (-2, 5)

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de gráficos.

$y = x + 3\!\\\y = -x + 3$
$y = 3x - 6\!\\\y = -x + 6$
$2x = 4\!\\\y = -3$
$y = -x + 5\!\\\-x + y = 1$
$x + 2y = 8\!\\\5x + 2y = 0$
$3x + 2y = 12\!\\\4x - y = 5$
$5x + 2y = -4\!\\\x - y = 2$
$2x + 4 = 3y\!\\\x - 2y + 4 = 0$
$y = \frac{1}{2}x - 3\!\\\2x - 5y = 5$
$y = 4\!\\\x = 8 - 3y$
Intenta resolver el siguiente sistema usando el método de gráficos: .
1. ¿Cómo debería lucir la coordenada $x-$ de la solución?
2. ¿Esa coordenada realmente da el mismo valor en $y-$ cuando la sustituyes en ambas ecuaciones?
3. ¿Por qué es difícil encontrar la solución real a este sistema?
Intenta resolver el siguiente sistema usando el método de gráficos: . Usa una cuadrícula con valores e que vaya desde -10 a 10.
1. ¿Parece que estas rectas se intersectan?
2. Basándote en sus ecuaciones, ¿estas son rectas paralelas?
3. ¿Qué tendríamos que hacer para encontrar su punto de intersección?
Intenta resolver el siguiente sistema usando el método de gráficos: . Utiliza la misma cuadrícula del ejercicio anterior.
1. ¿Puedes decir exactamente dónde se cruzan las rectas?
2. ¿Qué tendríamos que hacer para dejarlo más claro?

Resuelve los siguientes problemas usando el método de gráficos.

El auto de Mary se ha descompuesto y le costará $1200 arreglarlo o, por $4500, puede comprar uno nuevo y más eficiente. Su auto actual usa un valor cercano a los $2000 de gasolina al año, mientras que la gasolina para el auto nuevo costaría cerca de $1500 por año. ¿Luego de cuántos años el costo total de arreglar el auto igualaría el costo total de reemplazarlo?
Una tortuga y una liebre deciden hacen una carrera de 30 pies. Como la liebre es mucho más rápida, decide darle a la tortuga una ventaja de 20 pies. La tortuga corre a 0,5 pies por segundo y la libre corre a 5,5 pies por segundo. ¿Cuánto tiempo demora la liebre en alcanzar a la tortuga?

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