Sistemas que Usan Sustitución

Digamos que te presentan un sistema de ecuaciones lineales como y ¿Cómo podrías sustituir una ecuación en la otra para resolver las variables? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de la sustitución.

Intenta esto

Para practicar mucho más la resolución de sistemas lineales, visita esta página web: http://www.algebra.com/algebra/homework/coordinate/practice-linear-system.epl

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Orientación

En esta sección, aprenderemos a resolver un sistema de dos ecuaciones mediante el método de sustitución.

Resolver Sistemas Lineales Usando la Sustitución de Expresiones Variables

Volvamos a revisar el problema de Peter y Nadia.

A Peter y a Nadia les gusta hacer carreras. Peter puede correr a una velocidad de 5 pies por segundo y Nadia puede correr a una velocidad de 6 pies por segundo. Para ser una buena competidora, a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto tarda Nadia en alcanzar a Peter? ¿A qué distancia del punto de inicio Nadia alcanza a Peter?

En ese ejemplo, conseguimos dos ecuaciones:

La ecuación de Nadia:

La ecuación de Peter:

Cada ecuación produjo su propia recta en la gráfica y para resolver el sistema encontramos el punto donde las rectas se intersectaron, el punto dónde los valores para y satisficieron ambas relaciones. Cuando los valores para y son iguales, significa que Peter y Nadia se encuentran en el mismo lugar al mismo tiempo.

Sin embargo, existe una manera más rápida para resolver este sistema de ecuaciones que graficar. Como queremos que el valor de sea el mismo en ambas ecuaciones, podemos simplemente hacer que los dos lados derechos de las ecuaciones sean iguales entre sí para despejar . Es decir, si y , y las dos son iguales entre sí, entonces, según la propiedad transitiva, tenemos que . Podemos resolver :

Incluso si las ecuaciones no fuesen tan obvias, podemos usar manipulación algebraica simple para encontrar una expresión para una variable en términos de la otra. Si reordenamos la ecuación de Peter para despejar :

Ahora, para resolver el sistema, podemos sustituir esta expresión para en la ecuación de Nadia :

De esta forma, encontramos que Nadia y Peter se encuentran 20 segundos después de empezar la carrera, a una distancia de 120 pies.

El método que acabamos de utilizar se llama Método de Sustitución. En esta sección, aprenderás varias técnicas para despejar variables en un sistema de ecuaciones y para usar las expresiones obtenidas con el objeto de resolver sistemas de ecuaciones que describan situaciones como esta.

Ejemplo A

Observemos un ejemplo en donde las ecuaciones están escritas en forma estándar.

Resuelve el sistema

Nuevamente, empezamos por despejar una variable en cualquiera de las ecuaciones. Si observas la segunda ecuación, podrás ver que el coeficiente de es 1. Así que la forma más fácil de empezar es usar esta ecuación con el fin de despejar .

Despejar en la segunda ecuación:

Sustituye esta expresión en la primera ecuación:

Sustituye nuevamente en la expresión para :

Como puedes ver, obtuvimos la misma solución que encontramos cuando graficamos estas funciones en la Lección 7.1. El método de sustitución puede ser una forma muy eficiente de resolver sistemas, siempre y cuando tengas cuidado con los cálculos algebraicos.

A continuación, observemos un ejemplo más complicado. Aquí, los valores de e con los que terminamos no son números enteros, por lo que serían difíciles de leer en un gráfico.

Ejemplo B

Resuelve el sistema

Nuevamente, empezamos por despejar una variable en cualquiera de las ecuaciones. No importa qué ecuación usemos en este caso, ya que todas las variables parecen ser igualmente fáciles de resolver.

Así que despejemos en la primera ecuación:

Sustituye esta expresión en la segunda ecuación:

Sustituye en la expresión que obtuvimos para :

Por lo tanto, nuestra solución es . Puedes notar que hubiera sido muy difícil leer con precisión la solución en un gráfico.

Resolver problemas del Mundo Real Mediante el Uso de Sistemas Lineales

Las ecuaciones simultáneas nos pueden ayudar a resolver muchos problemas del mundo real. Podríamos, por ejemplo, decidir en una compra si es más barato comprar un artículo en línea donde pagas el envío o en una tienda en donde no tienes que pagar ese servicio. O podrías querer ingresar a un club de música, pero no estás seguro si de esta forma verdaderamente ahorrarás dinero al comprar un CD nuevo cada mes. O podrías estar considerando dos contratos telefónicos diferentes. Ahora, observemos un ejemplo de esto.

Ejemplo C

Anne está tratando de escoger entre dos planes telefónicos. El primer plan, perteneciente a la compañía Vendafone, cuesta $20 mensuales, con un costo de llamadas de 25 centavos adicionales por minuto. La segunda compañía, Sellnet, cobra $40 mensuales, pero las llamadas solo cuestan 8 centavos por minuto. ¿Qué plan debería escoger?

Deberías notar que la elección de Anne dependerá de cuántos minutos de llamadas espera usar cada mes. Empezaremos por escribir dos ecuaciones para el costo en dólares en términos de los minutos usados. El número de minutos será nuestra . ya que es la variable independiente. El costo depende de los minutos, por lo tanto, el costo mensual es la variable dependiente y se le asignará .

Para Vendafone:

Para Sellnet:

Al escribir las ecuaciones en la forma pendiente-intercepto , puedes dibujar una gráfica para visualizar la situación:

La recta para Vendafone posee un intercepto de 20 y una pendiente de 0,25. La recta para Sellnet tiene un intercepto de 40 y una pendiente de 0,08 (la cual es aproximadamente una tercera parte de la pendiente de la recta de Vendafone). Para poder ayudar a Anne a decidir qué plan escoger, encontraremos el lugar donde las dos rectas se intersectan mediante la resolución de las dos ecuaciones como un sistema.

Debido a que la ecuación 1 nos brinda una expresión para , podemos sustituir directamente esta expresión en la ecuación 2:

Entonces, si Anne usara 117,65 minutos al mes (aunque no puede usar eso exactly debido a que los planes telefónicos solo cuentan números enteros de minutos), los planes telefónicos costarían lo mismo. Ahora necesitamos observar nuestro gráfico para ver qué plan es mejor si Anne utiliza más minutos que esos y qué plan es mejor si utiliza menos. Puedes notar que el plan de Vendafone cuesta más cuando Anne usa más minutos y el plan de Sellnet cuesta más cuando usa menos minutos.

Por lo tanto, si Anne usará 117 minutos o menos cada mes, debería escoger Vendafone. Si planea usar 118 minutos o más, debería escoger Sellnet.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Linear Systems by Substitution

Vocabulario

• Resolver sistemas lineales mediante sustitución quiere decir despejar una variable en una ecuación y luego sustituirla en la otra ecuación, lo que resuelve la otra variable.

Práctica Guiada

Resuelve el sistema

Solución:

Nuevamente, empezamos por despejar una variable en cualquiera de las ecuaciones. No importa qué ecuación usemos en este caso, ya que todas las variables parecen ser igualmente fáciles de resolver.

Así que despejemos en la primera ecuación:

Sustituye esta expresión en la segunda ecuación:

Sustituye en la expresión que obtuvimos para :

Por lo tanto, nuestra solución es .

Práctica

1. Resuelve el sistema:
2. Solve the system:
3. Resuelve el sistema:
4. Resuelve el sistema:
5. Resuelve el sistema:
6. Resuelve el sistema:
7. Resuelve el sistema:
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12. Un rayo corta una recta, lo que forma dos ángulos. La diferencia entre los dos ángulos es de . ¿Cuánto mide cada ángulo?
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