Problemas de Mezcla

En esta sección, aprenderás a utilizar la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables que impliquen mezclas.

Digamos que tienes $90 para comprar 8 pizzas para una fiesta. Las pizzas simples cuestan $10 y las con pepperoni cuestan $12. ¿Cómo podrías descubrir cuantas pizzas de cada una puedes comprar? Tras completar esta sección, serás capaz de resolver problemas de mezclas como el anterior mediante el uso de sistemas de ecuaciones.

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CK-12 Foundation: 0703S Solving Mixture Problems by Substitution (H264)

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Orientación

Los sistemas de ecuaciones surgen frecuentemente en problemas relacionados con mezclas de dos elementos, ya sean químicos en una solución, maní y pasas, o incluso el cambio que tienes en tu bolsillo. Revisemos algunos ejemplos de estos casos.

Ejemplo A

Janine vacía su cartera y descubre que solo contiene monedas de 5 centavos cada una y de 10 centavos cada una. Si ella tiene un total de 7 monedas con un valor combinado de 55 centavos, ¿cuántas monedas de cada una tiene?

Debido a que tenemos dos tipos de monedas, definamos al número de monedas de cinco centavos como $x$ y al número de monedas de diez centavos como $y$ . Tenemos dos datos clave para determinar nuestras ecuaciones: el número de monedas y su valor.

$& \# \ \text{of coins equation:} && x + y = 7 && (number \ of \ nickels) + (number \ of \ dimes)\\\& \text{value equation:} && 5x + 10y = 55 && (since \ nickels \ are \ worth \ 5c \ and \ dimes \ 10c)$

Rápidamente podemos reordenar la primera ecuación para despejar $x$ :

$& x = 7 - y && now \ substitute \ into \ equation \ 2:\\\&5(7 - y) + 10y = 55 && distribute \ the \ 5:\\\&35 - 5y + 10y = 55 && collect \ like \ terms:\\\&35 + 5y = 55 && subtract \ 35 \ from \ both \ sides:\\\&5y = 20 && divide \ by \ 5:\\\&\underline{y = 4} && substitute \ back \ into \ equation \ 1:\\\& x + 4 = 7 && subtract \ 4 \ from \ both \ sides:\\\&\underline{x = 3}$

Janine tiene 3 monedas de 5 centavos y 4 monedas de 10 centavos.

Algunas veces, se te pide determinar (en concentraciones) cuánto usar de una sustancia particular. La sustancia en cuestión podría ser algo similar a las monedas del ejemplo anterior o podría ser una solución química o incluso calor. En tales casos, necesitas saber cuál es la cantidad de la sustancia en cada parte. Existen muchas situaciones comunes en las que, para obtener una ecuación, simplemente sumas dos cantidades dadas, pero para obtener la segunda ecuación necesitas usar un producto. A continuación, se muestran tres ejemplos.

Tipo de mezcla	Primera ecuación	Segunda ecuación
Monedas (elementos con valor $)	Número total de elementos $(n_1 + n_2)$	*Valor* total (valor total $\times$ número de elementos)
Soluciones químicas	Volumen total de la solución $(V_1 + V_2)$	Cantidad de *soluto* (volumen $\times$ concentración)
Densidad de dos sustancias	Cantidad o volumen total de la mezcla	*Masa* total (volumen $\times$ densidad)

Por ejemplo, cuando se trabaja mezclando soluciones químicas, es más probable que necesitemos considerar la cantidad total de soluto en las partes individuales y en la mezcla final. (Un soluto es el químico que se disuelve en una solución. La sal es un ejemplo de soluto cuando se le agrega al agua para hacer salmuera). Para encontrar la cantidad total, simplemente multiplica la cantidad de la mezcla por la concentración fraccional . Para ilustrar, observemos un ejemplo donde se te dan cantidades relativas a un todo.

Ejemplo B

Un químico necesita preparar 500 ml de una solución de sulfato de cobre con una concentración del 15%. Para lograr esto, quiere usar una solución de alta concentración (60%) y diluirla con una solución de baja concentración (5%). ¿Qué cantidad de cada solución debe usar?

Solución

Para plantear este problema, primero necesitamos definir nuestras variables. Nuestras incógnitas son la cantidad de solución concentrada $(x)$ y la cantidad de solución diluida $(y)$ . También convertiremos los porcentajes (60%, 15% y 5%) en decimales (0,6; 0,15 y 0,05). Las dos partes fundamentales de información son el volumen final (500 ml) y la cantidad final de soluto (15% de $500 \ ml = 75 \ ml$ Nuestras ecuaciones se verán así:

Ecuación del volumen: $x + y = 500$

Ecuación del soluto: $0.6x + 0.05y = 75$

Para despejar una variable mediante sustitución, podemos ver que es más fácil comenzar con la ecuación 1:

$& x + y = 500 && subtract \ y \ from \ both \ sides:\\\& x = 500 - y && now \ substitute \ into \ equation \ 2:\\\& 0.6(500 - y) + 0.05y = 75 && distribute \ the \ 0.6:\\\& 300 - 0.6y + 0.05y = 75 && collect \ like \ terms:\\\& 300 - 0.55y = 75 && subtract \ 300 \ from \ both \ sides:\\\& -0.55y = -225 && divide \ both \ sides \ by \ -0.55:\\\& \underline{y = 409 \ ml} && substitute \ back \ into \ equation \ for \ x:\\\& x = 500 - 409 = \underline{91 \ ml}$

Por lo tanto, el químico debería mezclar 91 ml de la solución al 60% con 409 ml de la solución al 5%.

Ejemplo C

Una empresa de café fabrica un producto que es una mezcla de dos cafés. Para ello, utiliza un café que cuesta $10,20 la libra y otro café que cuesta $6,80 la libra. Para poder producir 20 libras de una mezcla que cuesta $8,50 la libra, ¿cuánta cantidad de cada tipo de café debería usar la empresa?

Solución:

Definamos $m$ como la cantidad del café de $10,20 y a $n$ como la cantidad necesaria del café de $6,80. Debido a que queremos 20 libras de café que cuesten $8,50 la libra, el costo total de las 20 libras es $20\cdot $8.50=$170$ . El costo de las 20 libras de mezcla es igual al costo combinado de cada tipo de café agregado: $10.20\cdot m + 6.8\cdot n =170$ .

Además, la cantidad combinada de cada tipo de café agregado es igual a 20 libras: $m+n=20$ .

El sistema es: $\begin{cases}\qquad \quad \ \ m+n=20\\\10.20\cdot m + 6.8\cdot n =170 \end{cases}$ .

Podemos despejar una variable y utilizar la sustitución para resolver el sistema:

$m=20-n$

Ahora, resolver $n$ .

$10.20(20-n) + 6.8n &=170\\\204 -10.20n+6.8n&=0170 \qquad \text{Distributive Property}\\\204 -3.4n&=170 \qquad \text{Add like terms.}\\\-3.4n&=-34 \quad \ \text{Subtract} \ 204.\\\n& =10 \qquad \quad \ \text{Divide by} \ -3.4.$

Debido a que $n=10$ , podemos sustituir eso en $m+n=20$ .

$m+10=20 \Rightarrow m=10$ .

La empresa de café necesita usar 10 libras de cada tipo de café para poder tener una mezcla de $20 libras que cueste $8,50 la libra.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Mixture Problems by Substitution

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Vocabulario

Resolver sistemas lineales mediante sustitución significa despejar una variable en una ecuación y luego sustituirla en la otra ecuación, lo que resuelve la otra variable.

Práctica Guiada

Una pintura látex de color verde claro que contiene 20% de pintura amarilla se combina con una pintura látex de color verde más oscuro que contiene 45% de pintura amarilla. ¿Cuántos galones de cada pintura se deben usar para crear 15 galones de una pintura de color verde que contenga 25% de pintura amarilla?

Solución:

Definamos $x$ como el número de galones de la pintura con 20% de amarillo y a $y$ como el número de galones de la pintura con 40% de amarillo. Esto quiere decir que queremos que esos dos números sumen 15: $x+y=15$

Entonces, si queremos 15 galones de pintura con 20% de amarillo, eso significa que queremos $0.25 \cdot 15=3.75$ galones de pigmento amarillo puro. La expresión $0.20\cdot x$ representa la cantidad de pigmento amarillo puro en los galones $x$ con 20% de pintura amarilla. La expresión $0.45\cdot y$ representa la cantidad de pigmento amarillo puro en los galones $y$ con 45% de pintura amarilla. Al combinar las dos, suman 3.75 galones de pigmento puro en la mezcla final:

$0.20x+0.40y=3.75$

El sistema es: $\begin{cases}\qquad \quad \ \ x+y=15\\\0.20x+0.45y=3.75 \end{cases}$ .

Podemos despejar una variable y usar sustitución para resolver el sistema:

$x=15-y$

Ahora, despejamos $y$ .

$0.20(15-y)+0.45y&=3.75\\\3-0.20y+0.45y&=3.75 \qquad \text{Distributive Property}\\\3+0.2y&=3.75 \qquad \text{Add like terms.}\\\0.25y&=0.75\quad \ \text{Subtract} \ 3.\\\y& =3 \qquad \quad \ \text{Divide by} \ 0.25.$

Ahora, podemos sustituir $y=3$ en $x+y=15$ :

$x+y=15 \Rightarrow x+3=15 \Rightarrow x=12$ .

Esto significa que se debería mezclar 12 galones de pintura con 20% de amarillo con 3 galones de pintura con 45% de amarillo para obtener 15 galones de pintura con 25% de amarillo.

Práctica

Tengo $15 y deseo comprar cinco libras de frutos secos para una fiesta. El maní cuesta $2,20 la libra y las castañas de cajú cuestan $4,70 la libra.
1. ¿Cuántas libras de cada uno debería comprar?
2. Si de pronto me doy cuenta que necesito reservar $5 para comprar papas fritas, ¿puedo todavía comprar 5 libras de frutos secos con los $10 que quedan?
3. ¿Cuál es la mayor cantidad de frutos secos que puedo comprar?
Un experimento de química requiere un litro de ácido sulfúrico a una concentración del 15%, pero en la bodega sólo hay ácido sulfúrico a una concentración del 10% y 35%.
1. ¿Cuántos litros de cada uno se deberían mezclar para proporcionar el ácido necesario para el experimento?
2. ¿Cuántos litros se deberían mezclar para proporcionar dos litros de ácido sulfúrico a una concentración del 15%?
Bachelle quiere saber la densidad de su brazalete, el cual es una mezcla de oro y plata. La densidad es la masa total dividida por el volumen total. La densidad del oro es 19,3 grs/cc y la densidad de la plata es 10,5 grs/cc. El joyero le dijo que el volumen de plata usado fue 10 cc y el volumen de oro fue 20 cc. Encuentra la densidad combinada de su brazalete.
Los boletos para un show cuestan $10 si se pagan por adelantado y $15 si se pagan al momento de la entrada. Si 120 boletos son vendidos a un total de $1390, ¿cuántos de los boletos fueron comprados por adelantado?
Una pintura látex de color morado claro que contiene 40% de pintura azul es combinada con una pintura látex azul que contiene 100% de pintura azul. ¿Cuántos galones de cada pintura deben ser usados para crear 15 galones de una pintura de color morado oscuro que contiene 60% de pintura azul?

Para los ejercicios 6-10: las preguntas de selección múltiple en una prueba valen 2 puntos cada una y las preguntas con respuesta corta valen 5 puntos cada una.

Si la prueba completa vale 100 puntos y tiene 35 preguntas, ¿cuántas de las preguntas son de selección múltiple y cuántas son de respuesta corta?
Si Kwan obtiene 31 respuestas correctas y termina la prueba con un puntaje de 86, ¿cuántas preguntas de cada tipo contestó correctamente? (Asume que no existe crédito parcial).
Si Ashok obtiene 5 preguntas incorrectas y termina la prueba con un puntaje de 87, ¿cuántas preguntas de cada tipo contestó incorrectamente? (¡Ten cuidado!)
¿Cuáles son las dos formas en las que podrías haber establecido las ecuaciones para la parte c?
¿Cómo podrías haber establecido de forma diferente la parte b?

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